Totala rörelsemängdsmomentet. Inledande statistisk fysik

Föreläsning 13
Totala rörelsemängdsmomentet. Inledande statistisk fysik
Förra gången:
Pauliprincipen:
• Bosoner
Ett system med ej särskiljbara partiklar med heltaligt spinn har en symmetrisk vågfunktion m.a.p
utbyte av partiklarna.
 
 
 ab (r1 , r2 )   ab (r2 , r1 )
•
Fermioner
Ej särskiljbara partiklar med halvtaligt spinn har en asymmetrisk vågfunktion m.a.p. partikelbyte.
 
 
 ab (r1 , r2 )   ab (r2 , r1 )
 




1
a (r1 )a (r2 )   a (r2 ) a (r1 )   0
Vågfunktionen för två fermioner i exakt samma tillstånd:  A aa (r1 , r2 ) 
2
Pauliprincipen (the exclusion principle)
Två ej särskiljbara fermioner kan inte vara i samma individuella kvanttillstånd
Elektroner i atomer kan beskrivas med kvanttal med följande tillåtna värden:
n = 1, 2, .....
ℓ = 0, 1, .... n -1
mℓ = -ℓ, -ℓ +1, .. 0,..., ℓ -1, ℓ
ms = -1/2, 1/2
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Genom att utnyttja att elektroner är fermioner och måste uppfylla Pauliprincipen (en elektron i varje tillstånd)
kan man förklara det
huvudkvantal n = 1, 2
periodiska systemet:
Nomenklatur: exempel: 1s22s22p5
tillstånd med olika ℓ anges med bokstav: s=0, p=1, d=2, f=3 ...
Antal e- för viss n,ℓ-kombination
Varje kombination av n, ℓ och mℓ kan enligt
Pauliprincipen ha 2 elektroner om dessa har
olika ms ( respektive ).
s-skal (ℓ =0) hara bara mℓ=0 och därför max 2 ep-skal (ℓ =1) hara mℓ=-1,0,1 och därför max 6 eför visst ℓ finns 2ℓ+1 olika mℓ-värden, vilket
tillåter 2(2ℓ +1) elektroner i n,ℓ-kombinationen
(När elektroner ”fylls på” i p-skal för högre
atomtal, är det oftast (beroende på e- i
andra n,ℓ –skal) energimässigt fördelaktigt
att fylla på i olika mℓ-värden med lika
riktade spinn (assymetrisk rumsdel, symmetrisk
spinndel) därför att elektronerna, som har
samma laddning hamnar längre ifrån
varandra. (Hunds regel). )
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Relativa energinivåer för olika skal som
funktion av atomnummer.
Med fler än en elektron i atomen, kommer elektronerna att skärma kärnladdningen för varandra.
Systemet kan inte lösas analytiskt utan beräknas med hjälp av dator i approximationer.
Notera dock: kärnladdningen ökar med atomnummer. 1s skalet är närmast kärnan och har minst skärmning.
Bindningsenergin för en jon med bara en elektron är proportionell mot Z 2.
(Z2-beroendet fås genom att i alla härledningar för väte ersätta qe2 me Zqe2)
(Mosley visade att spektrallinjer för övergångar mellan n=2 och n=1 skalen ändras proportionellt mot (Z-1)2)
Jonisationsenergin för först frigjorda
elektronen som funktion av Z.
Ädelgaser är svårast att jonisera.
Notera: helium, 24,6 eV för första
frigjorda elektronen. Kvar finns en ebunden till kärna med Z=2.
Bindningsenergin för denna enda
elektron i He+ är då 2213,6 eV = 54,2 eV
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Totala rörelsemängdsmomentet. Inledande statistisk fysik
Totala rörelsemängdsmomentet
Rörelsemängdsmomentsvektorer (till vilka vi nu räknar spinn) kan inte bara adderas rakt up och ner utan lyder
vissa kvantiseringsregler. Låt oss studera dessa regler genom att addera spinn S och rörelsemängdsmoment L.
Totala rörelsemängdsmomentet:
J =L + S
Vektorernas storlek är L  (  1)
och
S  s ( s  1)
Även det totala rörelsemängdsmomentet är kvantiserat. (Stämmer experimentellt)
J  j( j  1)
där j    s ,   s  1,.....,   s  1,   s
Jz  m j 
där m j   j ,  j  1,...., j  1, j
Exempel: ℓ=2, s =1/2
(totalt (2ℓ+1)(2s+1) = 10 kombinationer av j och mj)
Pga reglerna för storleken av J, L och S kan L och S
aldrig vara helt parallella eller motriktade.
2
J max  (  s )(  s  1)  J max
 ( 2    s 2  s  2s ) 2
L  S  (  1)  s( s  1)
 ( L  S ) 2  (  2    s 2  s  2  2 s 2   2 s  s 2   s )  2
Vi ser att Jmax < L+S
Pss kan visas att Jmin > |L-S|
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Vilken av följande förändringar av j i övergång mellan två energinivåer där
en foton utsänds är möjlig:
1) Δj = +1/2
2) Δj = -1
3) Δj = +2
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
I övergångar, t.ex. från exciterat 2P3/2 tillstånd,
gäller att totala rörelsemängdsmomentet bevaras.
Eftersom fotonen som utsänds(absorberas) har
spinn=1 kommer j att ändras 1.
mj kan ändras -1, 0 eller 1
(P anger att ℓ=1, 3/2 anger att j=3/2)
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Spinn-ban-koppling
Elektronens rörelsemängdsmoment i förhållande till
atomkärnan ger ur elektronens synvinkel upphov till ett
magnetfält från atomkärnans ”rörelse”.
Detta magnetfält verkar på elektronens magnetiska
dipolmoment från spinnet.
 
U    s  B pga L
Notera att magnetfält pga rörelesemängdsmoment
kräver att L≠0, dvs n >1.
Om vi förenklat antar att strömmen som cirkulär
rörelse med L ger upphov till ström som skapar B
I
B
qe
qe
qe
qe


me vr 
L
2
2me r 2
T 2r / v 2me r
0 I
2r


 0 qe
 0 qe 
L

B

L
4 me r 3
4 me r 3
För att förstå storleksordning av effekten:
Väteatom i tillstånd med n =2, L=√2ħ ger
B ≈ 0,28T (stort),
U ≈ 10-4 eV (litet, jmfr excitationsenergier: eV)


qe    0 qe  
 0 qe2  




U    s  BpgaL    g e
S
L  ge
S L
2me  4 me r 3 
8 me2 r 3


SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Statistisk fysik
(Inledning som ger grunderna för resonemang inom denna kurs.
Mer detaljer i kursen ”Termodymanik och statistisk mekanik” i åk 3 för F och MIEL).
Betrakta ett makroskopiskt system med ett stort antal partiklar, typ N  1023 (jmfr Avogadros tal).
Partiklarna kan vara identiska eller särskiljbara.
Varje partikel beskrivs av 3-dimensionell rörelsemängd och position.
 3N rörelsemängdskoordinater och 3N positionskoordinater, beskriver systemets tillstånd.
Tillståndet utvecklas med tiden. För att beskriva systemet i detalj skulle vi behöva en
lösning för alla partiklarna, vilket är omöjligt även med avancerade datorer.
Vi beskriver istället systemet med medelvärden från statistiska lösningar baserade på fysikens lagar.
Om dessa medelvärden är tillräckligt precisa talat vi om termodynamiska system.
Exempel: Fördela N (särskiljbara) partiklar i
ett rum som delas i två lika stora delar. Vad
är medelvärdet av antalet partiklar i ena
halvan (N1) ? Totala antalet tillstånd är 2N.
Antal sätt att fördela med N1 i ena halvan:
N 
N!
  
 N1  N1! N  N1 !
(binomialkoefficienten)
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Smalare fördelningar kring
medelvärdet N1=N/2 för ökat
N. Vid N 1023 : närmar sig
delta-funktion.
N =100
N1/N
N =1000
N1/N
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Mikrokanonisk ensemble.
Isolerat, slutet, system i jämvikt. Volym, energi och antal partiklar är konstant.
Använd klassisk statistisk sannolikhet för varje tillåtet kvanttillstånd (mikrotillstånd).
Varje tillstånd är lika sannolikt !!!
Med antal möjliga tillstånd Ω(E ) (W i boken). (E givet för systemet)
Tillstånd är här alla kombinationer av rörelsemängd pi och position qi (fasrummet) som är möjliga givet
systemets energi och antalet partiklar mm. (Dessa utgör en ensemble).
Sannolikhet för tillstånd j Pj = 1/Ω
Koppling till termodynamiken via entropin:
S (E )  kB ln (E )
Boltzmanns antagande: S (E) =kBln Ω(E ), kB = Boltzmanns konstant = 1,38•10-23 J/K
Termodynamikens 1:a huvudsats:
ger: 1   S 


T
 E N ,V
dE  TdS  PdV  dN  TdS  dE  PdV  dN
S 

 V N ,E
P T 
 S 
  T 

 N E ,V
Exempel: I ideal gas är partiklarna oberoende. Antal tillstånd per partikel blir proportionellt mot
volymen:
1
 S 
(N , E ,V )  V N  S  konst  NkB lnV  P T 
 NkBT
 PV  NkBT

V
 V N ,E
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Kanonisk ensemble.
System S med energi E i kontakt med värmebad R med energi ER. Det totala systemet är isolerat och
utgör en kanonisk ensemble med ET =E +ER.  ER=ET – E
Antal tillstånd hos det totala systemet med energi inom ET,ET+δE är: ΩT(ET)=ΩS(E)ΩR(ET - E)
för visst E
Sannolikeheten att S i visst tillstånd i är proportionellt mot antal mikrotillstånd av det totala
systemet för vilket S är i mikrotillstånd ”i ” med energi Ei, vilket motsvarar antal mikrotillstånd för
värmebadet med ER=ET –Ei
Pi  ΩR(ER)=ΩR(ET - Ei)

kB ln R (ET )Ei  ...
E
kB ln R (ET  Ei )  kB ln R (ET ) 
(1)
men
(2)
utveckla ΩR i Ei utgående från entropi SR
1
T

En term räcker pga ET ≈ ER >>Ei
SR

kB ln R (ET ) 

E
E
R (ET  Ei )  R (ET )e
Kombinera (1) och (2) samt exponentiera ger
Normalisera:
i pi
1
pi 
e


Ei
kBT
dvs pi  e

Ei
kBT
Ei
kBT
e

Ei
kBT
i
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Z  e
Inför tillståndssumman:

Ei
kBT
i
Om tillstånd ”i ” degenererat tillkommer degenerationsfaktor gi:
( Koppling till termodynamiken via Helmholtz fria energi:
Z   gi e

Ei
kBT
i
F  E  TS  kBT ln Z
)
I många sammanhang är skillnaden mellan olika energinivåerna Ei så liten och de ligger så tätt att de bör
betraktas som kontinuerliga istället för diskreta. Summan övergår då till en integral, där vi måste ta
hänsyn till antal tillstånd inom ett litet energiintervall E, E+δE vilket ges av tillståndstätheten ρ(E)
Z   (E )e
Partitionsfunktionen:

E
kBT
(E ) 
dE
(E )
E
Sannolikheten för att systemet har energi E ges av Maxwell-Boltzmann-fördelningen:
P (E ) 
1
Z
(E )e

E
kBT
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Medelvärdet av energin kan nu beräknas:
E 
1
Z
 E(E )e

E
kBT
dE
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Exempel:
Förhållandet mellan antal väteatomer i 1:a exciterade tillståndet och grundstillståndet vid
rumstemperatur
(Lite artificiellt eftersom väte normalt är en tvåatomig molekyl vid rumstemperatur).
Energi för en väteatom ges huvudsakligen av huvudkvantalet n. (Enligt tidigare kan spinn-bankoppling i detta fall försummas och vi har inget magnetfält).
Tillräckligt få väteatomer för att de skall kunna särskiljas  M-B fördelning.
Vi skall beräkna
n( E2 )
där
n( E1 )
n (E ) = D (E ) NMB(E ) dE
n(Ei) står för antal atomer i energitillstånd i och i =1 är grundtillståndet.
Här: diskreta energinivåer ger
n( E2 ) D( E2 ) Ae  E2 / k BT D( E2 ) ( E2  E1 ) / k BT


e
n( E1 ) D( E1 ) Ae  E1 / k BT
D( E1 )
E2  E1 
 13,6  13,6
 2  10,2eV
22
1
n( E2 ) 8 10, 2eV /(8.62105 300 eV )
 e
 10 171
n( E1 ) 2
D(E ) är tillståndstätheten. I grundtillståndet, dvs då
huvudkvantalet = 1, finns bara två tillstånd, ett med
elektronen i spinn upp och ett med spinn ner.
I första exciterade tillståndet, dvs då
huvudkvantalet = 2, kan ℓ =0 och ℓ =1, där det senare
ger 2ℓ + 1 = 3 olika tillstånd, vardera med 2
spinntillstånd. Totalt: D (E2) = 8.
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH