Kap. 7. Kvantmekanik: introduktion
7A.1-2 I begynnelsen
Kvantmekanik
Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp
i den mikroskopiska världen
(och i den makroskopiska!)
Kvantmekanik
Specialfall!
Klassisk fysik
Speciellt: Växelverkan mellan elektroner
och atomkärnor
= Kemi!
H = E
^
1
Historia
1800-t: Klassisk mekanik ansågs ”komplett”,
men en del fenomen kunde inte förklaras:
A) Spektrallinjer:
Exciterad gas:
B) Svartkroppsstrålning: Strålning från varmt
föremål vid viss temperatur
Klassiskt: då 0 ”Ultravioletta katastrofen”
Max Planck 1900: Elektromagnetiska fältets
energi är kvantiserad:
E heltal
konstanten = h = 6.602608·1034 Js
( = frekvens = c/ )
Perfekt överensstämmelse med experiment,
men den teoretiska motiveringen oklar
2
C) Värmekapacitet (för kristaller):
Klassiskt (idealt): Cv,m = 3 R
Observerat: Cv,m 0 då T 0 K
Einstein 1905: Vibrationsenergin kvantiserad:
E heltal
Prop. konstanten = h Samma
som ovan!
Cv,m 0 då T 0 K
D) Fotoelektriska effekten: Emission av
elektroner från en metallyta när den
bestrålas med UV-strålning:
{
antal e ljusets I enbart
{ E ljusets enbart
antal e ljusets I och
Ekin
ljusets I och
Klassiskt:
Observerat:
kin
Dessutom måste vara större än ett visst
minimum-värde för att emittering ska ske
Einstein 1905: Ett ”ljuskvantum” med energin E = h
kolliderar med, och avger sin energi till,
en elektron bunden med energin
me v 2
h
2
3
h = Plancks konstant!
Energin hos ljuset: E = h ”ljuskvantum” eller foton
Det elektromagnetiska fältet har
partikelegenskaper
E) Diffraktion av elektronstråle:
Interferensmönster på
samma sätt som för ljus
som passerar genom ett
gitter (Davisson & Germer 1925,
Thomson 1925)
De Broglie 1924: Fria partiklar med rörelsemängd p
kan associeras med en våglängd :
h
p
( p m v)
Materien (partiklar) har vågegenskaper
D) + E) Våg-Partikeldualiteten
Eftersom partiklar uppför sig som vågor, så
behöver vi en vågekvation för att beskriva deras
dynamik
Schrödinger 1926
4
7B.1-3, 7C.4 Schrödingerekvationen
Postulat!
Schrödingerekvationen: (1 partikel, 1 dim.)
2 d 2 ( x )
V ( x ) ( x ) E ( x )
2
2 m dx
där
h
2
V(x) = Potentiella energin
E = Totala energin
(x) = Vågfunktionen för partikeln
3 dimensioner:
2 2 2 2
2 2 2
2 m x
y
z
V ( x, y , z ) ( x, y , z ) E ( x, y , z )
eller kortare:
2 2
V E
2m
där
2
2
2
2 2 2 2
x
y
z
(Laplaceoperatorn)
5
Vad är ?
Postulat:
Vågfunktionen för ett system
(t.ex. en partikel) beskriver
fullständigt tillståndet för systemet
En tolkning/aspekt av (Borns tolkning):
Sannolikheten att finna en partikel
inom volymen d = d V = dx·dy·dz
kring punkten (x,y,z) är lika med:
( x , y , z ) d
2
Dvs. | (r)|2 är sannolikhetsfördelningen
att finna partikeln i punkten r = (x,y,z).
Dessutom måste gälla att sannolikheten att
finna partikeln någonstans överhuvudtaget
måste vara lika med 1
( x, y , z )
2
d 1
hela rummet
Normering av
6
7C.1 Tillbaka till vågekvationen:
2 d 2 ( x )
1 dim.:
V ( x ) ( x ) E ( x )
2
2 m dx
Jämför klassiskt:
K+V=E
( Ekin + Epot = E )
m v 2x
V ( x) E
2
Vi skriver Schrödingerekvationen analogt:
Kˆ ( x) Vˆ ( x) ( x) E ( x)
eller
Hˆ ( x) E ( x)
där
Hˆ Kˆ Vˆ
Ĥ Hamiltonoperatorn
Matematik:
En operator är en process som verkar på en
funktion (ex: derivering dxd f dfdx ) och ger som
resultat en (annan) funktion (ex:
Beteckning operator: Â (ex:
Â
d 2
x 2x
dx
d
dx
)
)
7
I kvantmekaniken gäller (nedan 1 dim.):
Vˆ ( x) V ( x)
2
2
d
Kˆ
2 m dx 2
Postulat: Varje mätbar storhet (”observabel”)
motsvaras av en operator i
kvantmekaniken
m v 2x m v x
p x2
K
Ex: Jämför klassiskt:
2
2m
2m
2
Om kvantmekaniskt
analogt:
Enligt ovan:
d
pˆ x i
2
2
dx
d
ˆ
K
operatorn för
2 m dx 2
rörelsemängd
2
ˆ
p
Kˆ x
2m
Matematik:
(MB3.1)
Komplexa tal: z = a + b i
a,b : reella tal. a : realdelen, b : imaginärdelen
i är en lösning till ekvationen: x2 = 1
d.v.s. ii = 1. i kallas för imaginärenheten.
Komplexkonjugatet: z* = a b i
|z|2 = z*z = (a + b i)(a b i) = a2 b2 i2 = a2 + b2
8
Betrakta exv 3-dim. Schrödingerekvationen:
Hˆ (r ) E (r ) , r ( x, y, z )
2
2
ˆ
där
H
V (r )
2m
Schrödingerekv. är en slags differentialekvation.
Matematik:
Om  f = a f , där a är ett tal, så är f en
egenfunktion till  och a är dess egenvärde.
Ekvationen kallas för en egenekvation.
är en egenfunktion till Ĥ, och E är
motsvarande egenvärde.
Schrödingerekv. är en egenekvation.
9
7C.2 Relationen till experiment
Mätning av storheter. Antag att observabeln A
motsvaras av operatorn Â.
Postulat: Om systemet befinner sig i tillstånd
som är en egenfunktion till  med egenvärde a
(d.v.s. Â = a), så ger en enskild mätning av A
resultatet a.
Antag nu att är en godtycklig vågfunktion, som
inte nödvändigtvis är en egenfunktion till Â.
Definiera
Förväntningsvärdet av A:
 d
hela rymden
Postulat’:
Medelvärdet av A från en serie
mätningar av A =
förväntningsvärdet.
A
 d
hela rymden
10
7C.3 Heisenbergs osäkerhetsrelation
Heisenberg (1927):
p x x
2
px = osäkerhet i rörelsemängd längs x-axeln
x = osäkerhet i läge längs x-axeln
Omöjligt att känna px och x noggrannare
än så samtidigt. Man säger att px och x är
komplementära observabler.
(Detta är en konsekvens av vågkaraktären hos
materien.)
Anm: Man kan under vissa antaganden
skriva om osäkerhetsrelationen som:
E t
11
7C.2 (Schrödingers katt)
Överkurs!
Ett system kan beskrivas av en vågfunktion som
inte är en egenfunktion till en observabels operator
En sådan vågfunktion kan alltid skrivas som en
linjärkombination av egenfktionerna till operatorn
(1, 2, ... är egenfunktionerna till operatorn  med
egenvärdena a1, a2, ..., , d.v.s. Âi= aii , i=1,2, ...):
c1 1 c2 2
där c1, c2, ... är koefficienter, d.v.s. tal.
Detta kallas för en superposition av tillstånd.
Men en enskild mätning av ger fortfarande som
resultat precis ett av egenvärdena a1, a2, ....
Dessutom är sannolikheten för att man ska få
resultatet aj lika med |cj|2.
Man säger att systemet kollapsar till tillståndet j
(med vågfunktionen j) vid mätningen.
Ex: Schrödingers katt
12
