Matematikcentrum
Matematik NF
Repetitionsfrågor i Lineär algebra
Lineära rum
1.
Skriv upp axiomen för lineära rum.
2.
Ge tre exempel på lineära rum.
3.
Vad menas med ett underrum till ett lineärt rum? Ge exempel på underrum.
4.
Vad menas med nollrummet och värderummet till en matris?
5.
Vad menas med att en uppsättning vektorer är lineärt beroende, genererar ett lineärt rum, är en bas för ett
lineärt rum?
6.
Visa att två olika baser i samma lineära rum har lika många element. Hur definieras dimensionen av ett
lineärt rum?
7.
Visa att n vektorer i ett n-dimensionellt rum V genererar V om och endast om de är lineärt oberoende.
8.
Visa att AB = E ⇐⇒ BA = E om A och B är n × n-matriser.
Euklidiska rum
9.
Definiera skalärprodukt i ett euklidiskt rum. Ge exempel!
10. Bevisa Cauchy-Schwarz olikhet och triangelolikheten.
11. Beskriv Gram-Schmidts metod.
12. Vad menas med en ortogonal matris? Visa att kolonnerna i en n × n-matris är en ortonormerad bas i Rn
om och endast om raderna har samma egenskap.
13. Vad är en QR-faktorisering av en matris? Hur går man till väga för att finna en QR-faktorisering av en
given matris?
14. Definiera begreppet ortogonalt komplement. Visa att om U är ett ändligdimensionellt underrum till ett
lineärt rum V så kan varje vektor u ∈ V skrivas u = u0 + u00 med entydigt bestämda vektorer u0 ∈ U
och u00 ∈ U ⊥ .
⊥
15. Visa att N (A) = V (At ) .
16. Förklara minsta kvadratmetoden och härled normalekvationerna.
14 oktober 2003
Var god vänd!
Determinanter
17. Hur definieras determinanten av en n × n-matris?
18. Bevisa formeln för utveckling av en determinant efter en rad.
19. Visa att det (A) = det (At ).
20. Formulera och bevisa produktsatsen för determinanter.
21. Visa att en kvadratisk matris är inverterbar om och endast om dess determinant är skild från noll.
22. Skriv upp Cramers regel för lösningen av ett kvadratiskt ekvationssystem.
Lineära avbildningar
23. Definiera begreppet lineär avbildning. Ge exempel.
24. Hur kan en lineär avbildning av ett ändligdimensionellt rum på sig själv beskrivas med hjälp av en matris?
25. Formulera dimensionssatsen.
26. Härled hur matrisen för en lineär avbildning ändras då man byter bas. Visa att determinanten av matrisen
ej ändras.
27. Vad menas med att ett lineärt rum V är den direkta summan av två underrum U1 och U2 ? Vad menas
med en projektion på U1 parallellt med U2 ?
28. Visa att en lineär avbildning P är en projektion om och endast om P = P 2 .
29. Vad är en symmetrisk lineär avbildning på ett euklidiskt rum?
30. Definiera begreppet isometri. Visa att en isometri bevarar skalärprodukter. Visa också att med avseende
på en ortonormerad bas beskrivs isometrier av ortogonala matriser.
31. Visa att en isometri i två dimensioner geometriskt betyder en rotation eller en spegling beroende på om
dess determinant är 1 eller −1.
32. Karakterisera isometrierna i tre dimensioner.
Egenvärden och egenvektorer
33. Vad menas med att ett tal λ är ett egenvärde till en lineär avbildning F : V → V . Ge exempel.
34. Visa att om V är ett ändligdimensionellt lineärt rum så är λ ett egenvärde till den lineära avbildning
F : V → V om och endast om λ är en rot till motsvarande karakteristiska ekvation.
35. Visa att om en lineär avbildning F : V → V , där dim V = n, har n olika reella egenvärden så finns en
bas för V av egenvektorer till F . Visa att detta betyder att man kan finna en matris T som diagonaliserar
den ursprungliga matrisen A för F .
36. Hur hänger begreppen algebraisk multiplicitiet, geometrisk multiplicitet och diagonaliserbarhet ihop?
37. Visa att en Hermitsk matris endast har reella egenvärden.
38. Formulera och bevisa spektralsatsen.
Kvadratiska former
39. Definiera begreppet kvadratisk form.
40. Visa att till varje kvadratisk form q på ett ändligdimensionellt euklidiskt rum finns en ortonormerad bas
som diagonaliserar q.
41. Beskriv klassifikationerna av andragradsytor.
42. Hur avgör man om en kvadratisk form är positivt definit?
43. Formulera och bevisa tröghetslagen för kvadratiska former.
44. Definiera tröghetsindex. Hur bestämmer man detta?
