UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Linjär algebra II Tredje tentamensförberedande uppgiften Dessa uppgifter utgör extra övningsmaterial inför tentan. De är frivilliga, löses hemma, och lämnas inte in för rättning. Istället går vi igenom lösningarna på föreläsningen den 11 december. 1. Avbildningen (a) Visa att (b) Ange F : P2 → P3 , p 7→ F (p) F F :s (F (p))(x) = xp(x − 3). ges av är linjär. matris med avseende på standardbaserna i (c) Finn en bas i F :s kärna. (d) Finn en bas i F :s bild. P2 ochP3 . (e) Hur hänger dina svar på (c) och (d) ihop med dimensionssatsen? (f) Utred huruvida 2. Ytan Y i E3 F är injektiv, surjektiv eller bijektiv. består av alla punkter (x, y, z) som uppfyller ekvationen 7x2 + 6y 2 + 6z 2 + 2xy + 2xz + 4yz = 36. Bestäm ytans typ, ytans största och minsta avstånd från origo, samt de punkter på ytan där det största och minsta avståndet antas. (Punkternas koordinater ska anges i standardbasen.) 3. Den linjära operatorn R på E3 ges som rotation med vinkeln genom origo som har riktningsvektor tittar på ⊥ A så att vektorn (a) Finn en on-bas (b) Ange R:s (c) Bestäm (d) Ange a a = (1, 1, 1). b = (b1 , b2 , b3 ) i E3 så att b2 R(x) matris i standardbasen. för x = (29, 31, 37). kring den axel A Rotationen sker moturs om vi pekar mot oss. matris i denna bas b. R:s 2π 3 ⊥a och b3 ⊥ a. 4. Visa att avbildningarna 2x1 + x2 x1 f = x1 + x2 x2 3x1 + x2 och x1 2x + x + x 1 2 3 g x2 = x1 + 2x2 + x3 x3 är linjära. Utred huruvida de är injektiva, surjektiva eller bijektiva.