Delbarhet
Delbarhet
Diskret matematik
Algoritm (Divisionsalgoritmen)
Om a, b ∈ Z och b 6= 0
så finns entydigt en kvot k ∈ Z och en principal rest r ∈ Z
så att 0 ≤ r ≤ |b| − 1 och ba = k + br .
Föreläsning 3: Delbarhet
Example
Eric Järpe
Hitta kvot och rest då −30 heltalsdivideras med 9.
C 2014 Eric Järpe
MPE-lab
IDE-sektionen
Högskolan i Halmstad
Lösning: Divisionsalgritmen
a
b
=k+
r
b
kan även skrivas a = kb + r varmed
−30 = k · 9 + r där r = 0, 1, . . . , 8
⇒ k måste vara största heltal så att 9k ≤ −30
= (−4) · 9+6. ⇒ k = −4 och r = 6.
| {z }
December 18, 2014
=−36
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
1 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Delbarhet
Diskret matematik
December 18, 2014
Delbarhet
Delbarhet
Är talet n delbart med...
I
Talet d är delare till talet a om det finns ett tal k så att a = dk .
I
I
Exempel
4 är inte delare till 11
eftersom det inte finns ett (heltal) q så att 11 = 4q.
... 2? Ja, om n är jämnt (dvs n slutar på 0, 2, 4, 6 eller 8).
Annars är n udda och ej delbart med 2.
I
Exempel
4 är delare till 12
eftersom 12 = 4q med q = 3.
... 3? Ja, om siffersumman är delbar med 3.
T ex är 1 001 001 delbar med 3 eftersom 1+1+1 = 3 är delbar med 3.
Annars inte.
I
... 4? Ja, om n är delbart 2 gånger med 2.
Annars inte.
I
... 5? Ja, om n slutar på 0 eller 5.
Annars inte.
I
... 6? Ja, om n är delbart både med 2 och med 3.
Annars inte.
I
Sedan blir det värre...
I
I
Exempel
8 är inte delare till 12
eftersom det inte finns q så att 12 = 8q.
I
Exempel
7 är delare till 7 eftersom 7 = 7 · 1 (men ej äkta delare).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
2 / 21
Diskret matematik
December 18, 2014
3 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
4 / 21
Delbarhet
Delbarhet
Delbarhet
Största gemensamma delare
I
Att ett tal d är delare till ett annat tal a
kan även uttryckas “a är jämnt delbart med d”
eller “a är en multipel av d”.
I
Betrakta nu talen 12 och 18.
Inget av dem är delare till den andre men talet 2 är delare till båda.
Även 3 delar båda.
Men 4 delar bara 12, inte 18.
Vilket är då det största talet som delar både 12 och 18?
Delare till 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Delare till 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Största gemensamma delare: 6.
I
Största gemensamma delare till två tal a och b
betecknas gcd(a, b).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
För stora a och b är det jobbigt att resonera som ovan. Då har man hjälp av...
Euklides algoritm
För att bestämma gcd(a, b), där a > b,
bestäm r1 , r2 , r3 , . . . så att
a = c1 b + r1 där 0 ≤ r1 ≤ |b| − 1
b = c2 r1 + r2 där 0 ≤ r2 ≤ r1 − 1
och fortsättningsvis
r1 = c3 r2 + r3
där 0 ≤ r3 ≤ r2 − 1
r
=
c
r
+
r
där 0 ≤ r4 ≤ r3 − 1
2
4
3
4
..
..
.
.
rn−2 = cn rn−1 + rn där 0 ≤ rn ≤ rn−1 − 1
rn−1 = cn+1 rn + 0 (där alltså rn+1 = 0)
Den sista icke-försvinnande resten, rn , är gcd(a, b).
December 18, 2014
5 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Delbarhet
6 / 21
December 18, 2014
8 / 21
Diofantisk ekvation
Största gemensamma delare
gcd och Euklides algoritm
I
Exempel Beräkna gcd(1653, 3952).
Example (Diofantisk ekvation)
I
Lösning:
3953 = 2 · 1653 + 646
1653 = 2 · 646 + 361
646 = 1 · 361 + 285
361 = 1 · 285 + 76
285 = 3 · 76 + 57
76 = 1 · 57 + 19
57 = 3 · 19 + 0
Alltså är gcd(1653, 3952) = 19.
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
I
December 18, 2014
Gcd
Eukl.alg.
3·3367
3·37·91
10101
4107 = 3·1369 = 3·37·37 ⇒
10101
4107
1887
333
222
=
=
=
=
=
gcd(10101, 4107) = 3 · 37 = 111
2 · 4107 + 1887
2·1887+333
5·333+222
1·222+111
2·111+0
OBS! Om gcd(a, b) = 1 så a och b relativt prima.
Observera att a och b ej behöver vara primtal för att vara relativt prima. T ex
gcd(4, 9) = 1 så 4 och 9 är relativt prima trots att varken 4 eller 9 är primtal.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
7 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Diofantisk ekvation
Diofantisk ekvation
gcd och Euklides algoritm
gcd och Euklides algoritm
Example (Diofantisk ekvation)
Example (Diofantisk ekvation)
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
= 2 · 4107 + 1887
= 2·1887+333
= 5·333+222
= 1·222+111
= 2·111+0
− 4107
| {z } y = 111 · 11
10101
4107
1887
333
222
Ekvationen 10101
| {z } x
Eukl.alg.
111·91
10101
4107
1887
333
222
Hjälpekv. 10101x
Eukl.alg.
= 2 · 4107 + 1887
= 2·1887+333
= 5·333+222
= 1·222+111
= 2·111+0
− 4107y = 111
Eukl
renskr
Eukl.bakl. 111 = 333 − 222 = 333 − (1887 − 5 · 333) = 6 · 333 − 1887
111·37
Hjälpekv. 10101x − 4107y = 111
Eukl
renskr
= 6(4107 − 2 · 1887) − 1887 = 6 · 4107 − 13 · 1887
Eukl.bakl. 111 =
Eukl
renskr
= 6 · 4107 − 13(10101 − 2 · 4107) = 32 · 4107 − 13 · 10101
P.-lösn. (x, y ) = (−13, −32)
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
9 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diofantisk ekvation
Diskret matematik
gcd och Euklides algoritm
Example (Diofantisk ekvation)
Example (Diofantisk ekvation)
+
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
Hitta minsta x, y ∈ Z så att 10101x − 4107y = 1221.
10101
4107
1887
333
222
Hjälpekv. 10101x
= 2 · 4107 + 1887
= 2·1887+333
= 5·333+222
= 1·222+111
= 2·111+0
− 4107y = 111
10101
4107
1887
333
222
Hjälpekv. 10101x
Eukl.alg.
Eukl
renskr
Eukl
renskr
Eukl
Eukl
= 6 · 4107 − 13(10101 − 2 · 4107) = 32 · 4107 − 13 · 10101
P.-lösn. (x, y ) = (−13, −32)
December 18, 2014
renskr
= 6(4107 − 2 · 1887) − 1887 = 6 · 4107 − 13 · 1887
renskr
Diskret matematik
renskr
Eukl.bakl. 111 = 333 − 222 = 333 − (1887 − 5 · 333) = 6 · 333 − 1887
= 6(4107 − 2 · 1887) − 1887 = 6 · 4107 − 13 · 1887
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
= 2 · 4107 + 1887
= 2·1887+333
= 5·333+222
= 1·222+111
= 2·111+0
− 4107y = 111
Eukl
Eukl.bakl. 111 = 333 − 222 = 333 − (1887 − 5 · 333) = 6 · 333 − 1887
Eukl
10 / 21
Diofantisk ekvation
gcd och Euklides algoritm
Eukl.alg.
December 18, 2014
renskr
= 6 · 4107 − 13(10101 − 2 · 4107) = 32 · 4107 − 13 · 10101
P.-lösn. (x, y ) = (−13, −32)
10 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
10 / 21
Diofantisk ekvation
Diofantisk ekvation
gcd och Euklides algoritm
gcd och Euklides algoritm
Example (Diofantisk ekvation)
Example (Diofantisk ekvation)
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
10101
4107
1887
333
222
Hjälpekv. 10101x
Eukl.alg.
= 2 · 4107 + 1887
= 2·1887+333
= 5·333+222
= 1·222+111
= 2·111+0
− 4107y = 111
10101
4107
1887
333
222
Hjälpekv. 10101x
Eukl.alg.
Eukl
renskr
Eukl
Eukl.bakl. 111 = 333 − 222 = 333 − (1887 − 5 · 333) = 6 · 333 − 1887
Eukl
Eukl
= 6(4107 − 2 · 1887) − 1887 = 6 · 4107 − 13 · 1887
Eukl
= 6 · 4107 − 13(10101 − 2 · 4107) = 32 · 4107 − 13 · 10101
P.-lösn. (x, y ) = (−13, −32)
Diskret matematik
December 18, 2014
renskr
= 6(4107 − 2 · 1887) − 1887 = 6 · 4107 − 13 · 1887
renskr
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
renskr
Eukl.bakl. 111 = 333 − 222 = 333 − (1887 − 5 · 333) = 6 · 333 − 1887
renskr
Eukl
= 2 · 4107 + 1887
= 2·1887+333
= 5·333+222
= 1·222+111
= 2·111+0
− 4107y = 111
renskr
= 6 · 4107 − 13(10101 − 2 · 4107) = 32 · 4107 − 13 · 10101
P.-lösn. (x, y ) = (−13, −32)
10 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diofantisk ekvation
Diskret matematik
gcd och Euklides algoritm
Example (Diofantisk ekvation)
Example (Diofantisk ekvation)
+
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
Hitta minsta x, y ∈ Z så att 10101x − 4107y = 1221.
10101
4107
1887
333
222
Hjälpekv. 10101x
= 2 · 4107 + 1887
= 2·1887+333
= 5·333+222
= 1·222+111
= 2·111+0
− 4107y = 111
10101
4107
1887
333
222
Hjälpekv. 10101x
Eukl.alg.
Eukl
renskr
renskr
Eukl
Diskret matematik
December 18, 2014
renskr
= 6(4107 − 2 · 1887) − 1887 = 6 · 4107 − 13 · 1887
renskr
Eukl
= 6 · 4107 − 13(10101 − 2 · 4107) = 32 · 4107 − 13 · 10101
P.-lösn. (x, y ) = (−13, −32)
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
renskr
Eukl.bakl. 111 = 333 − 222 = 333 − (1887 − 5 · 333) = 6 · 333 − 1887
= 6(4107 − 2 · 1887) − 1887 = 6 · 4107 − 13 · 1887
Eukl
= 2 · 4107 + 1887
= 2·1887+333
= 5·333+222
= 1·222+111
= 2·111+0
− 4107y = 111
Eukl
Eukl.bakl. 111 = 333 − 222 = 333 − (1887 − 5 · 333) = 6 · 333 − 1887
Eukl
10 / 21
Diofantisk ekvation
gcd och Euklides algoritm
Eukl.alg.
December 18, 2014
renskr
= 6 · 4107 − 13(10101 − 2 · 4107) = 32 · 4107 − 13 · 10101
P.-lösn. (x, y ) = (−13, −32)
10 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
10 / 21
Diofantisk ekvation
Diofantisk ekvation
gcd och Euklides algoritm
gcd och Euklides algoritm
Example (Diofantisk ekvation)
Example (Diofantisk ekvation)
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
10101
4107
1887
333
222
Hjälpekv. 10101x
Eukl.alg.
= 2 · 4107 + 1887
= 2·1887+333
= 5·333+222
= 1·222+111
= 2·111+0
− 4107y = 111
10101
4107
1887
333
222
Hjälpekv. 10101x
Eukl.alg.
Eukl
renskr
Eukl
Eukl.bakl. 111 = 333 − 222 = 333 − (1887 − 5 · 333) = 6 · 333 − 1887
Eukl
Eukl
= 6(4107 − 2 · 1887) − 1887 = 6 · 4107 − 13 · 1887
Eukl
= 6 · 4107 − 13(10101 − 2 · 4107) = 32 · 4107 − 13 · 10101
P.-lösn. (x, y ) = (−13, −32)
Diskret matematik
December 18, 2014
renskr
= 6(4107 − 2 · 1887) − 1887 = 6 · 4107 − 13 · 1887
renskr
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
renskr
Eukl.bakl. 111 = 333 − 222 = 333 − (1887 − 5 · 333) = 6 · 333 − 1887
renskr
Eukl
= 2 · 4107 + 1887
= 2·1887+333
= 5·333+222
= 1·222+111
= 2·111+0
− 4107y = 111
renskr
= 6 · 4107 − 13(10101 − 2 · 4107) = 32 · 4107 − 13 · 10101
P.-lösn. (x, y ) = (−13, −32)
10 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diofantisk ekvation
Diskret matematik
gcd och Euklides algoritm
Example (Diofantisk ekvation)
Example (Diofantisk ekvation)
+
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
Hitta minsta x, y ∈ Z så att 10101x − 4107y = 1221.
10101
4107
1887
333
222
Hjälpekv. 10101x
= 2 · 4107 + 1887
= 2·1887+333
= 5·333+222
= 1·222+111
= 2·111+0
− 4107y = 111
10101
4107
1887
333
222
Hjälpekv. 10101x
Eukl.alg.
Eukl
renskr
Eukl
renskr
Eukl
Eukl
= 6 · 4107 − 13(10101 − 2 · 4107) = 32 · 4107 − 13 · 10101
P.-lösn. (x, y ) = (−13, −32)
December 18, 2014
renskr
= 6(4107 − 2 · 1887) − 1887 = 6 · 4107 − 13 · 1887
renskr
Diskret matematik
renskr
Eukl.bakl. 111 = 333 − 222 = 333 − (1887 − 5 · 333) = 6 · 333 − 1887
= 6(4107 − 2 · 1887) − 1887 = 6 · 4107 − 13 · 1887
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
= 2 · 4107 + 1887
= 2·1887+333
= 5·333+222
= 1·222+111
= 2·111+0
− 4107y = 111
Eukl
Eukl.bakl. 111 = 333 − 222 = 333 − (1887 − 5 · 333) = 6 · 333 − 1887
Eukl
10 / 21
Diofantisk ekvation
gcd och Euklides algoritm
Eukl.alg.
December 18, 2014
renskr
= 6 · 4107 − 13(10101 − 2 · 4107) = 32 · 4107 − 13 · 10101
P.-lösn. (x, y ) = (−13, −32)
10 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
10 / 21
Diofantisk ekvation
Diofantisk ekvation
gcd och Euklides algoritm
gcd och Euklides algoritm
Example (Diofantisk ekvation)
Example (Diofantisk ekvation)
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
10101
4107
1887
333
222
Hjälpekv. 10101x
Eukl.alg.
= 2 · 4107 + 1887
= 2·1887+333
= 5·333+222
= 1·222+111
= 2·111+0
− 4107y = 111
10101
4107
1887
333
222
Hjälpekv. 10101x
Eukl.alg.
Eukl
renskr
Eukl
Eukl.bakl. 111 = 333 − 222 = 333 − (1887 − 5 · 333) = 6 · 333 − 1887
Eukl
Eukl
= 6(4107 − 2 · 1887) − 1887 = 6 · 4107 − 13 · 1887
Eukl
= 6 · 4107 − 13(10101 − 2 · 4107) = 32 · 4107 − 13 · 10101
P.-lösn. (x, y ) = (−13, −32)
Diskret matematik
renskr
= 6(4107 − 2 · 1887) − 1887 = 6 · 4107 − 13 · 1887
renskr
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
renskr
Eukl.bakl. 111 = 333 − 222 = 333 − (1887 − 5 · 333) = 6 · 333 − 1887
renskr
Eukl
= 2 · 4107 + 1887
= 2·1887+333
= 5·333+222
= 1·222+111
= 2·111+0
− 4107y = 111
December 18, 2014
renskr
= 6 · 4107 − 13(10101 − 2 · 4107) = 32 · 4107 − 13 · 10101
P.-lösn. (x, y) = (−13, −32)
11 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diofantisk ekvation
Diskret matematik
gcd och Euklides algoritm
Example (Diofantisk ekvation)
Example (Diofantisk ekvation)
+
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
Hitta minsta x, y ∈ Z så att 10101x − 4107y = 1221.
Hjälpekv. 10101x − 4107y = 111
Hjälpekv. 10101x − 4107y = 111
P.-lösn. (x, y) = (−13, −32)
P.-lösn. (x, y) = (−13, −32)
Ekvationen 10101x − 4107y = 1221
Ekvationen 10101x − 4107y = 1221
P.-lösn. (x, y ) = 11(−13, −32) = (−143, −352)
P.-lösn. (x, y ) = 11(−13, −32) = (−143, −352)
Fullst.lösn. (x, y ) = (−143 + 4107k , −352 + 10101k ), k ∈ Z
Fullst.lösn. (x, y ) = (−143 + 4107k , −352 + 10101k ), k ∈ Z
Svar: Minsta positiva är
(x, y ) = (−143 + 4107, −352 + 10101) = (3964, 9749).
Svar: Minsta positiva är
(x, y ) = (−143 + 4107, −352 + 10101) = (3964, 9749).
Diskret matematik
12 / 21
Diofantisk ekvation
gcd och Euklides algoritm
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
December 18, 2014
December 18, 2014
13 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
13 / 21
Diofantisk ekvation
Diofantisk ekvation
gcd och Euklides algoritm
gcd och Euklides algoritm
Example (Diofantisk ekvation)
Example (Diofantisk ekvation)
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
Hjälpekv. 10101x − 4107y = 111
Hjälpekv. 10101x − 4107y = 111
P.-lösn. (x, y) = (−13, −32)
P.-lösn. (x, y) = (−13, −32)
Ekvationen 10101x − 4107y = 1221
Ekvationen 10101x − 4107y = 1221
P.-lösn. (x, y ) = 11(−13, −32) = (−143, −352)
P.-lösn. (x, y ) = 11(−13, −32) = (−143, −352)
Fullst.lösn. (x, y ) = (−143 + 4107k , −352 + 10101k ), k ∈ Z
Fullst.lösn. (x, y ) = (−143 + 4107k , −352 + 10101k ), k ∈ Z
Svar: Minsta positiva är
(x, y ) = (−143 + 4107, −352 + 10101) = (3964, 9749).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
Svar: Minsta positiva är
(x, y ) = (−143 + 4107, −352 + 10101) = (3964, 9749).
13 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diofantisk ekvation
Diskret matematik
gcd och Euklides algoritm
Example (Diofantisk ekvation)
Example (Diofantisk ekvation)
+
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
Hitta minsta x, y ∈ Z så att 10101x − 4107y = 1221.
Hjälpekv. 10101x − 4107y = 111
Hjälpekv. 10101x − 4107y = 111
P.-lösn. (x, y) = (−13, −32)
P.-lösn. (x, y) = (−13, −32)
Ekvationen 10101x − 4107y = 1221
Ekvationen 10101x − 4107y = 1221
P.-lösn. (x, y ) = 11(−13, −32) = (−143, −352)
P.-lösn. (x, y ) = 11(−13, −32) = (−143, −352)
Fullst.lösn. (x, y ) = (−143 + 4107k , −352 + 10101k ), k ∈ Z
Fullst.lösn. (x, y ) = (−143 + 4107k , −352 + 10101k ), k ∈ Z
Svar: Minsta positiva är
(x, y ) = (−143 + 4107, −352 + 10101) = (3964, 9749).
Diskret matematik
13 / 21
Diofantisk ekvation
gcd och Euklides algoritm
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
December 18, 2014
December 18, 2014
Svar: Minsta positiva är
(x, y ) = (−143 + 4107, −352 + 10101) = (3964, 9749).
13 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
13 / 21
Diofantisk ekvation
Diofantisk ekvation
gcd och Euklides algoritm
gcd och Euklides algoritm
Example (Diofantisk ekvation)
Example (Diofantisk ekvation)
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
Hjälpekv. 10101x − 4107y = 111
Hjälpekv. 10101x − 4107y = 111
P.-lösn. (x, y) = (−13, −32)
P.-lösn. (x, y) = (−13, −32)
Ekvationen 10101x − 4107y = 1221
Ekvationen 10101x − 4107y = 1221
P.-lösn. (x, y ) = 11(−13, −32) = (−143, −352)
P.-lösn. (x, y ) = 11(−13, −32) = (−143, −352)
Fullst.lösn. (x, y ) = (−143 + 4107k , −352 + 10101k ), k ∈ Z
Fullst.lösn. (x, y ) = (−143 + 4107k , −352 + 10101k ), k ∈ Z
Svar: Minsta positiva är
(x, y ) = (−143 + 4107, −352 + 10101) = (3964, 9749).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
Svar: Minsta positiva är
(x, y ) = (−143 + 4107, −352 + 10101) = (3964, 9749).
13 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diofantisk ekvation
Diskret matematik
gcd och Euklides algoritm
Example (Diofantisk ekvation)
Example (Diofantisk ekvation)
+
Hitta minsta x, y ∈ Z+ så att 10101x − 4107y = 1221.
Hitta minsta x, y ∈ Z så att 10101x − 4107y = 1221.
Hjälpekv. 10101x − 4107y = 111
Hjälpekv. 10101x − 4107y = 111
P.-lösn. (x, y) = (−13, −32)
P.-lösn. (x, y) = (−13, −32)
Ekvationen 10101x − 4107y = 1221
Ekvationen 10101x − 4107y = 1221
P.-lösn. (x, y ) = 11(−13, −32) = (−143, −352)
P.-lösn. (x, y ) = 11(−13, −32) = (−143, −352)
Fullst.lösn. (x, y ) = (−143 + 4107k , −352 + 10101k ), k ∈ Z
Fullst.lösn. (x, y ) = (−143 + 4107k , −352 + 10101k ), k ∈ Z
Svar: Minsta positiva är
(x, y ) = (−143 + 4107, −352 + 10101) = (3964, 9749).
Diskret matematik
13 / 21
Diofantisk ekvation
gcd och Euklides algoritm
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
December 18, 2014
December 18, 2014
Svar: Minsta positiva är
(x, y ) = (−143 + 4107, −352 + 10101) = (3964, 9749).
13 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
13 / 21
Kongruenser
Kongruenser
En ny beteckning
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Algoritm (Divisionsalgoritmen)
Alla bråktal ba
kan skrivas som kvot q och principal rest r
a
r
= q+
b
b
där 0 ≤ r ≤ |b| − 1
Exempel Beräkna 178 mod 17
I
a = kb + r ,
I
a ≡ r
0 ≤ r ≤ b − 1.
Lösning: Eftersom 178 = 170 + 8 och 170 = 17 · 10 ≡ 0 (mod 17) och
8 ≡ 8 (mod 17), så är resten vid heltalsdivision av 170 + 8 med 17: 0 + 8 = 8.
På så sätt kan det vara enklare att tänka att
“man får dra bort multipler av det tal man räknar modulo”.
Så t ex är 178 ≡ 178 − 17 · 10 = 8 (mod 17).
(mod b)
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
14 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Kongruenser
Diskret matematik
December 18, 2014
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Exempel Beräkna 178 mod 17
Exempel Beräkna 178 mod 17
Lösning: Eftersom 178 = 170 + 8 och 170 = 17 · 10 ≡ 0 (mod 17) och
8 ≡ 8 (mod 17), så är resten vid heltalsdivision av 170 + 8 med 17: 0 + 8 = 8.
På så sätt kan det vara enklare att tänka att
“man får dra bort multipler av det tal man räknar modulo”.
Så t ex är 178 ≡ 178 − 17 · 10 = 8 (mod 17).
Lösning: Eftersom 178 = 170 + 8 och 170 = 17 · 10 ≡ 0 (mod 17) och
8 ≡ 8 (mod 17), så är resten vid heltalsdivision av 170 + 8 med 17: 0 + 8 = 8.
På så sätt kan det vara enklare att tänka att
“man får dra bort multipler av det tal man räknar modulo”.
Så t ex är 178 ≡ 178 − 17 · 10 = 8 (mod 17).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
15 / 21
Diskret matematik
December 18, 2014
15 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
15 / 21
Kongruenser
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Exempel Beräkna 178 mod 17
Exempel Beräkna 178 mod 17
Lösning: Eftersom 178 = 170 + 8 och 170 = 17 · 10 ≡ 0 (mod 17) och
8 ≡ 8 (mod 17), så är resten vid heltalsdivision av 170 + 8 med 17: 0 + 8 = 8.
På så sätt kan det vara enklare att tänka att
“man får dra bort multipler av det tal man räknar modulo”.
Så t ex är 178 ≡ 178 − 17 · 10 = 8 (mod 17).
Lösning: Eftersom 178 = 170 + 8 och 170 = 17 · 10 ≡ 0 (mod 17) och
8 ≡ 8 (mod 17), så är resten vid heltalsdivision av 170 + 8 med 17: 0 + 8 = 8.
På så sätt kan det vara enklare att tänka att
“man får dra bort multipler av det tal man räknar modulo”.
Så t ex är 178 ≡ 178 − 17 · 10 = 8 (mod 17).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
15 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Kongruenser
Diskret matematik
December 18, 2014
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Exempel Beräkna 178 mod 17
Exempel Beräkna 178 mod 17
Lösning: Eftersom 178 = 170 + 8 och 170 = 17 · 10 ≡ 0 (mod 17) och
8 ≡ 8 (mod 17), så är resten vid heltalsdivision av 170 + 8 med 17: 0 + 8 = 8.
På så sätt kan det vara enklare att tänka att
“man får dra bort multipler av det tal man räknar modulo”.
Så t ex är 178 ≡ 178 − 17 · 10 = 8 (mod 17).
Lösning: Eftersom 178 = 170 + 8 och 170 = 17 · 10 ≡ 0 (mod 17) och
8 ≡ 8 (mod 17), så är resten vid heltalsdivision av 170 + 8 med 17: 0 + 8 = 8.
På så sätt kan det vara enklare att tänka att
“man får dra bort multipler av det tal man räknar modulo”.
Så t ex är 178 ≡ 178 − 17 · 10 = 8 (mod 17).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
15 / 21
Diskret matematik
December 18, 2014
15 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
15 / 21
Kongruenser
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Exempel Beräkna 178 mod 17
Exempel Beräkna 178 mod 17
Lösning: Eftersom 178 = 170 + 8 och 170 = 17 · 10 ≡ 0 (mod 17) och
8 ≡ 8 (mod 17), så är resten vid heltalsdivision av 170 + 8 med 17: 0 + 8 = 8.
På så sätt kan det vara enklare att tänka att
“man får dra bort multipler av det tal man räknar modulo”.
Så t ex är 178 ≡ 178 − 17 · 10 = 8 (mod 17).
Lösning: Eftersom 178 = 170 + 8 och 170 = 17 · 10 ≡ 0 (mod 17) och
8 ≡ 8 (mod 17), så är resten vid heltalsdivision av 170 + 8 med 17: 0 + 8 = 8.
På så sätt kan det vara enklare att tänka att
“man får dra bort multipler av det tal man räknar modulo”.
Så t ex är 178 ≡ 178 − 17 · 10 = 8 (mod 17).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
15 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Kongruenser
Diskret matematik
December 18, 2014
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Exempel Beräkna 178 mod 17
Exempel Beräkna 178 mod 17
Lösning: Eftersom 178 = 170 + 8 och 170 = 17 · 10 ≡ 0 (mod 17) och
8 ≡ 8 (mod 17), så är resten vid heltalsdivision av 170 + 8 med 17: 0 + 8 = 8.
På så sätt kan det vara enklare att tänka att
“man får dra bort multipler av det tal man räknar modulo”.
Så t ex är 178 ≡ 178 − 17 · 10 = 8 (mod 17).
Lösning: Eftersom 178 = 170 + 8 och 170 = 17 · 10 ≡ 0 (mod 17) och
8 ≡ 8 (mod 17), så är resten vid heltalsdivision av 170 + 8 med 17: 0 + 8 = 8.
På så sätt kan det vara enklare att tänka att
“man får dra bort multipler av det tal man räknar modulo”.
Så t ex är 178 ≡ 178 − 17 · 10 = 8 (mod 17).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
15 / 21
Diskret matematik
December 18, 2014
15 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
15 / 21
Kongruenser
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Exempel Beräkna 178 mod 17
Exempel Beräkna 178 mod 17
Lösning: Eftersom 178 = 170 + 8 och 170 = 17 · 10 ≡ 0 (mod 17) och
8 ≡ 8 (mod 17), så är resten vid heltalsdivision av 170 + 8 med 17: 0 + 8 = 8.
På så sätt kan det vara enklare att tänka att
“man får dra bort multipler av det tal man räknar modulo”.
Så t ex är 178 ≡ 178 − 17 · 10 = 8 (mod 17).
Lösning: Eftersom 178 = 170 + 8 och 170 = 17 · 10 ≡ 0 (mod 17) och
8 ≡ 8 (mod 17), så är resten vid heltalsdivision av 170 + 8 med 17: 0 + 8 = 8.
På så sätt kan det vara enklare att tänka att
“man får dra bort multipler av det tal man räknar modulo”.
Så t ex är 178 ≡ 178 − 17 · 10 = 8 (mod 17).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
15 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Kongruenser
Diskret matematik
December 18, 2014
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Exempel Beräkna 178 mod 17
Exempel Beräkna 13 200 mod 49
Lösning: Eftersom 178 = 170 + 8 och 170 = 17 · 10 ≡ 0 (mod 17) och
8 ≡ 8 (mod 17), så är resten vid heltalsdivision av 170 + 8 med 17: 0 + 8 = 8.
På så sätt kan det vara enklare att tänka att
“man får dra bort multipler av det tal man räknar modulo”.
Så t ex är 178 ≡ 178 − 17 · 10 = 8 (mod 17).
Lösning: Eftersom 13 200 = 132 · 100 och 132 ≡ 132 − 2 · 49 = 34 (mod 49)
och 100 ≡ 100 − 2 · 49 = 2 (mod 49), så är resten vid heltalsdivision av 132 · 100
med 49: 34 · 2 = 68 ≡ 68 − 49 = 19 mod 49.
Eller: 13 200 = 132 · 100 ≡ (132 − 2 · 49)(100 − 2 · 49) = 34 · 2 ≡ 68 − 49 = 19.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
15 / 21
Diskret matematik
December 18, 2014
15 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
16 / 21
Kongruenser
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Exempel Beräkna 13 200 mod 49
Exempel Beräkna 13 200 mod 49
Lösning: Eftersom 13 200 = 132 · 100 och 132 ≡ 132 − 2 · 49 = 34 (mod 49)
och 100 ≡ 100 − 2 · 49 = 2 (mod 49), så är resten vid heltalsdivision av 132 · 100
med 49: 34 · 2 = 68 ≡ 68 − 49 = 19 mod 49.
Eller: 13 200 = 132 · 100 ≡ (132 − 2 · 49)(100 − 2 · 49) = 34 · 2 ≡ 68 − 49 = 19.
Lösning: Eftersom 13 200 = 132 · 100 och 132 ≡ 132 − 2 · 49 = 34 (mod 49)
och 100 ≡ 100 − 2 · 49 = 2 (mod 49), så är resten vid heltalsdivision av 132 · 100
med 49: 34 · 2 = 68 ≡ 68 − 49 = 19 mod 49.
Eller: 13 200 = 132 · 100 ≡ (132 − 2 · 49)(100 − 2 · 49) = 34 · 2 ≡ 68 − 49 = 19.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
16 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Kongruenser
Diskret matematik
December 18, 2014
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Exempel Beräkna 13 200 mod 49
Exempel Beräkna 13 200 mod 49
Lösning: Eftersom 13 200 = 132 · 100 och 132 ≡ 132 − 2 · 49 = 34 (mod 49)
och 100 ≡ 100 − 2 · 49 = 2 (mod 49), så är resten vid heltalsdivision av 132 · 100
med 49: 34 · 2 = 68 ≡ 68 − 49 = 19 mod 49.
Eller: 13 200 = 132 · 100 ≡ (132 − 2 · 49)(100 − 2 · 49) = 34 · 2 ≡ 68 − 49 = 19.
Lösning: Eftersom 13 200 = 132 · 100 och 132 ≡ 132 − 2 · 49 = 34 (mod 49)
och 100 ≡ 100 − 2 · 49 = 2 (mod 49), så är resten vid heltalsdivision av 132 · 100
med 49: 34 · 2 = 68 ≡ 68 − 49 = 19 mod 49.
Eller: 13 200 = 132 · 100 ≡ (132 − 2 · 49)(100 − 2 · 49) = 34 · 2 ≡ 68 − 49 = 19.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
16 / 21
Diskret matematik
December 18, 2014
16 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
16 / 21
Kongruenser
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Exempel Beräkna 13 200 mod 49
Exempel Beräkna 13 200 mod 49
Lösning: Eftersom 13 200 = 132 · 100 och 132 ≡ 132 − 2 · 49 = 34 (mod 49)
och 100 ≡ 100 − 2 · 49 = 2 (mod 49), så är resten vid heltalsdivision av 132 · 100
med 49: 34 · 2 = 68 ≡ 68 − 49 = 19 mod 49.
Eller: 13 200 = 132 · 100 ≡ (132 − 2 · 49)(100 − 2 · 49) = 34 · 2 ≡ 68 − 49 = 19.
Lösning: Eftersom 13 200 = 132 · 100 och 132 ≡ 132 − 2 · 49 = 34 (mod 49)
och 100 ≡ 100 − 2 · 49 = 2 (mod 49), så är resten vid heltalsdivision av 132 · 100
med 49: 34 · 2 = 68 ≡ 68 − 49 = 19 mod 49.
Eller: 13 200 = 132 · 100 ≡ (132 − 2 · 49)(100 − 2 · 49) = 34 · 2 ≡ 68 − 49 = 19.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
16 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Kongruenser
Diskret matematik
December 18, 2014
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Exempel Beräkna 13 200 mod 49
Exempel Beräkna 13 200 mod 49
Lösning: Eftersom 13 200 = 132 · 100 och 132 ≡ 132 − 2 · 49 = 34 (mod 49)
och 100 ≡ 100 − 2 · 49 = 2 (mod 49), så är resten vid heltalsdivision av 132 · 100
med 49: 34 · 2 = 68 ≡ 68 − 49 = 19 mod 49.
Eller: 13 200 = 132 · 100 ≡ (132 − 2 · 49)(100 − 2 · 49) = 34 · 2 ≡ 68 − 49 = 19.
Lösning: Eftersom 13 200 = 132 · 100 och 132 ≡ 132 − 2 · 49 = 34 (mod 49)
och 100 ≡ 100 − 2 · 49 = 2 (mod 49), så är resten vid heltalsdivision av 132 · 100
med 49: 34 · 2 = 68 ≡ 68 − 49 = 19 mod 49.
Eller: 13 200 = 132 · 100 ≡ (132 − 2 · 49)(100 − 2 · 49) = 34 · 2 ≡ 68 − 49 = 19.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
16 / 21
Diskret matematik
December 18, 2014
16 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
16 / 21
Kongruenser
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Exempel Beräkna 13 200 mod 49
Exempel Beräkna 13 200 mod 49
Lösning: Eftersom 13 200 = 132 · 100 och 132 ≡ 132 − 2 · 49 = 34 (mod 49)
och 100 ≡ 100 − 2 · 49 = 2 (mod 49), så är resten vid heltalsdivision av 132 · 100
med 49: 34 · 2 = 68 ≡ 68 − 49 = 19 mod 49.
Eller: 13 200 = 132 · 100 ≡ (132 − 2 · 49)(100 − 2 · 49) = 34 · 2 ≡ 68 − 49 = 19.
Lösning: Eftersom 13 200 = 132 · 100 och 132 ≡ 132 − 2 · 49 = 34 (mod 49)
och 100 ≡ 100 − 2 · 49 = 2 (mod 49), så är resten vid heltalsdivision av 132 · 100
med 49: 34 · 2 = 68 ≡ 68 − 49 = 19 mod 49.
Eller: 13 200 = 132 · 100 ≡ (132 − 2 · 49)(100 − 2 · 49) = 34 · 2 ≡ 68 − 49 = 19.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
16 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Kongruenser
Diskret matematik
December 18, 2014
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Exempel Beräkna 13 200 mod 49
Exempel Beräkna 13 200 mod 49
Lösning: Eftersom 13 200 = 132 · 100 och 132 ≡ 132 − 2 · 49 = 34 (mod 49)
och 100 ≡ 100 − 2 · 49 = 2 (mod 49), så är resten vid heltalsdivision av 132 · 100
med 49: 34 · 2 = 68 ≡ 68 − 49 = 19 mod 49.
Eller: 13 200 = 132 · 100 ≡ (132 − 2 · 49)(100 − 2 · 49) = 34 · 2 ≡ 68 − 49 = 19.
Lösning: Eftersom 13 200 = 132 · 100 och 132 ≡ 132 − 2 · 49 = 34 (mod 49)
och 100 ≡ 100 − 2 · 49 = 2 (mod 49), så är resten vid heltalsdivision av 132 · 100
med 49: 34 · 2 = 68 ≡ 68 − 49 = 19 mod 49.
Eller: 13 200 = 132 · 100 ≡ (132 − 2 · 49)(100 − 2 · 49) = 34 · 2 ≡ 68 − 49 = 19.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
16 / 21
Diskret matematik
December 18, 2014
16 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
16 / 21
Kongruenser
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Exempel Beräkna 13 200 mod 49
Exempel Beräkna 6789 mod 11
Lösning: Eftersom 13 200 = 132 · 100 och 132 ≡ 132 − 2 · 49 = 34 (mod 49)
och 100 ≡ 100 − 2 · 49 = 2 (mod 49), så är resten vid heltalsdivision av 132 · 100
med 49: 34 · 2 = 68 ≡ 68 − 49 = 19 mod 49.
Eller: 13 200 = 132 · 100 ≡ (132 − 2 · 49)(100 − 2 · 49) = 34 · 2 ≡ 68 − 49 = 19.
Lösning: Eftersom 67 ≡ 67 − 6 · 11 = 1 så är 67 ≡ 1 (mod 11)
och därmed 6789 ≡ 189 = 1 (mod 11).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
16 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Kongruenser
Diskret matematik
17 / 21
December 18, 2014
17 / 21
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Exempel Beräkna 6789 mod 11
Exempel Beräkna 6789 mod 11
Lösning: Eftersom 67 ≡ 67 − 6 · 11 = 1 så är 67 ≡ 1 (mod 11)
och därmed 6789 ≡ 189 = 1 (mod 11).
Lösning: Eftersom 67 ≡ 67 − 6 · 11 = 1 så är 67 ≡ 1 (mod 11)
och därmed 6789 ≡ 189 = 1 (mod 11).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
December 18, 2014
Diskret matematik
December 18, 2014
17 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Kongruenser
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
I
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
Exempel Beräkna 6789 mod 11
Exempel Beräkna 6789 mod 11
Lösning: Eftersom 67 ≡ 67 − 6 · 11 = 1 så är 67 ≡ 1 (mod 11)
och därmed 6789 ≡ 189 = 1 (mod 11).
Lösning: Eftersom 67 ≡ 67 − 6 · 11 = 1 så är 67 ≡ 1 (mod 11)
och därmed 6789 ≡ 189 = 1 (mod 11).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
17 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Kongruenser
December 18, 2014
18 / 21
Räkneregler
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är a + b ≡ r + s (mod c).
I
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Om a ≡ r och b ≡ s (mod c),
så är ab ≡ rs (mod c).
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
12 · 3456 + 78
Om a ≡ r (mod c),
så är ab ≡ r b (mod c).
89
Exempel Beräkna 67
mod 11
Lösning: Eftersom 67 ≡ 67 − 6 · 11 = 1 så är 67 ≡ 1 (mod 11)
och därmed 6789 ≡ 189 = 1 (mod 11).
56
Alltså ger 12 · 34
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
17 / 21
Kongruenser
Räkneregler
I
December 18, 2014
Diskret matematik
December 18, 2014
17 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
≡
(12 − 9)(34 − 4 · 9)7·8 + (78 − 8 · 9)
=
3 · ((−2)8 )7 + 6
≡
3 · (256 − 28 · 9)7 + 6
=
3 · 43+4 + 6
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
=
3·1·4+6
=
18
≡
18 − 2 · 9
=
0
+ 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
Diskret matematik
Kongruenser
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
56
12 · 34
+ 78
7·8
≡
(12 − 9)(34 − 4 · 9)
=
8 7
≡
=
I
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
12 · 3456 + 78
+ (78 − 8 · 9)
3 · ((−2) ) + 6
7
3 · (256 − 28 · 9) + 6
3+4
3·4
+6
=
3 · ((−2)8 )7 + 6
≡
3 · (256 − 28 · 9)7 + 6
=
3 · 43+4 + 6
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
3·1·4+6
=
3·1·4+6
=
18
=
18
≡
18 − 2 · 9
≡
18 − 2 · 9
=
0
=
0
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Alltså ger 12 · 3456 + 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
December 18, 2014
18 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Kongruenser
December 18, 2014
18 / 21
December 18, 2014
18 / 21
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
12 · 34
Alltså ger 12 · 34
(12 − 9)(34 − 4 · 9)7·8 + (78 − 8 · 9)
=
Alltså ger 12 · 3456 + 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
≡
56
56
+ 78
I
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
≡
(12 − 9)(34 − 4 · 9)7·8 + (78 − 8 · 9)
3 · ((−2) ) + 6
=
3 · ((−2)8 )7 + 6
3 · (256 − 28 · 9)7 + 6
≡
3 · (256 − 28 · 9)7 + 6
=
3 · 43+4 + 6
=
3 · 43+4 + 6
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
=
3·1·4+6
=
3·1·4+6
=
18
=
18
≡
18 − 2 · 9
≡
18 − 2 · 9
=
0
=
0
≡
(12 − 9)(34 − 4 · 9)
=
8 7
≡
7·8
12 · 3456 + 78
+ (78 − 8 · 9)
Alltså ger 12 · 34
+ 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
Diskret matematik
December 18, 2014
18 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
56
+ 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
Diskret matematik
Kongruenser
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
56
12 · 34
+ 78
7·8
≡
(12 − 9)(34 − 4 · 9)
=
8 7
≡
I
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
12 · 3456 + 78
+ (78 − 8 · 9)
3 · ((−2) ) + 6
7
3 · (256 − 28 · 9) + 6
3+4
(12 − 9)(34 − 4 · 9)7·8 + (78 − 8 · 9)
=
3 · ((−2)8 )7 + 6
≡
3 · (256 − 28 · 9)7 + 6
=
3 · 43+4 + 6
=
3·4
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
=
3·1·4+6
=
3·1·4+6
=
18
=
18
≡
18 − 2 · 9
≡
18 − 2 · 9
=
0
=
0
+6
Alltså ger 12 · 3456 + 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Alltså ger 12 · 3456 + 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
December 18, 2014
18 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Kongruenser
December 18, 2014
18 / 21
December 18, 2014
18 / 21
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
56
12 · 34
56
Alltså ger 12 · 34
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
≡
+ 78
7·8
≡
(12 − 9)(34 − 4 · 9)
8 7
I
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
12 · 3456 + 78
+ (78 − 8 · 9)
≡
(12 − 9)(34 − 4 · 9)7·8 + (78 − 8 · 9)
=
3 · ((−2) ) + 6
=
3 · ((−2)8 )7 + 6
≡
3 · (256 − 28 · 9)7 + 6
≡
3 · (256 − 28 · 9)7 + 6
=
3 · 43+4 + 6
=
3 · 43+4 + 6
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
=
3·1·4+6
=
3·1·4+6
=
18
=
18
≡
18 − 2 · 9
≡
18 − 2 · 9
=
0
=
0
56
Alltså ger 12 · 34
+ 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
Diskret matematik
December 18, 2014
18 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
+ 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
Diskret matematik
Kongruenser
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
56
12 · 34
+ 78
7·8
≡
(12 − 9)(34 − 4 · 9)
=
8 7
≡
I
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
12 · 3456 + 78
+ (78 − 8 · 9)
3 · ((−2) ) + 6
7
3 · (256 − 28 · 9) + 6
3+4
(12 − 9)(34 − 4 · 9)7·8 + (78 − 8 · 9)
=
3 · ((−2)8 )7 + 6
≡
3 · (256 − 28 · 9)7 + 6
=
3 · 43+4 + 6
=
3·4
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
=
3·1·4+6
=
3·1·4+6
=
18
=
18
≡
18 − 2 · 9
≡
18 − 2 · 9
=
0
=
0
+6
Alltså ger 12 · 3456 + 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Alltså ger 12 · 3456 + 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
December 18, 2014
18 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Kongruenser
December 18, 2014
18 / 21
December 18, 2014
18 / 21
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
56
12 · 34
56
Alltså ger 12 · 34
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
≡
+ 78
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
≡
(12 − 9)(34 − 4 · 9)7·8 + (78 − 8 · 9)
3 · ((−2) ) + 6
=
3 · ((−2)8 )7 + 6
3 · (256 − 28 · 9)7 + 6
≡
3 · (256 − 28 · 9)7 + 6
≡
(12 − 9)(34 − 4 · 9)
=
8 7
≡
7·8
I
12 · 3456 + 78
+ (78 − 8 · 9)
=
3 · 43+4 + 6
=
3 · 43+4 + 6
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
=
3·1·4+6
=
3·1·4+6
=
18
=
18
≡
18 − 2 · 9
≡
18 − 2 · 9
=
0
=
0
Alltså ger 12 · 34
+ 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
Diskret matematik
December 18, 2014
18 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
56
+ 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
Diskret matematik
Kongruenser
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
56
12 · 34
+ 78
7·8
≡
(12 − 9)(34 − 4 · 9)
=
8 7
≡
=
I
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
12 · 3456 + 78
+ (78 − 8 · 9)
3 · ((−2) ) + 6
7
3 · (256 − 28 · 9) + 6
3+4
3·4
+6
=
3 · ((−2)8 )7 + 6
≡
3 · (256 − 28 · 9)7 + 6
=
3 · 43+4 + 6
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
3·1·4+6
=
3·1·4+6
=
18
=
18
≡
18 − 2 · 9
≡
18 − 2 · 9
=
0
=
0
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Alltså ger 12 · 3456 + 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
Diskret matematik
December 18, 2014
18 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Kongruenser
December 18, 2014
18 / 21
December 18, 2014
18 / 21
Kongruenser
Räkneregler
Räkneregler
I
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
56
12 · 34
Alltså ger 12 · 34
(12 − 9)(34 − 4 · 9)7·8 + (78 − 8 · 9)
=
Alltså ger 12 · 3456 + 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
≡
56
+ 78
Exempel
Bevisa att 12 · 3456 + 78 är jämnt delbart med 9.
I
Lösning: Vid räkning modulo 9 får vi att
≡
(12 − 9)(34 − 4 · 9)7·8 + (78 − 8 · 9)
3 · ((−2) ) + 6
=
3 · ((−2)8 )7 + 6
3 · (256 − 28 · 9)7 + 6
≡
3 · (256 − 28 · 9)7 + 6
≡
(12 − 9)(34 − 4 · 9)
=
8 7
≡
7·8
I
12 · 3456 + 78
+ (78 − 8 · 9)
=
3 · 43+4 + 6
=
3 · 43+4 + 6
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
≡
3 · (64 − 7 · 9)(256 − 28 · 9) + 6
=
3·1·4+6
=
3·1·4+6
=
18
=
18
≡
18 − 2 · 9
≡
18 − 2 · 9
=
0
=
0
Alltså ger 12 · 34
+ 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
Diskret matematik
December 18, 2014
18 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
56
+ 78 rest 0, dvs jämnt delbart med 9.
Diskret matematik
Kongruenser
Kongruenser
Diskret invers och diskret logaritm
I
a är inversen b−1 till b om ab = 1.
I
a är den diskreta inversen till b mod n om ab ≡ 1 (mod n).
I
Diskreta inversen beräknas som diofantisk ekvation:
ab ≡ 1 (mod n) ⇔ ∃k ∈ Z : ab − nk = 1.
I
I
Primtal
Theorem (Aritmetikens fundamentalsats)
Alla heltal kan primtalsfaktoriseras, entydigt sånär som på ordningen.
c är a-logaritmen av b om ac = b.
c är den diskreta a-logaritmen av b mod n om ac ≡ b (mod n).
(Finns ingen “enkel”, snabb beräkningsmetod.)
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
19 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Kongruenser
Diskret matematik
Primtal
Theorem (Aritmetikens fundamentalsats)
Theorem (Aritmetikens fundamentalsats)
Alla heltal kan primtalsfaktoriseras, entydigt sånär som på ordningen.
Alla heltal kan primtalsfaktoriseras, entydigt sånär som på ordningen.
Diskret matematik
20 / 21
December 18, 2014
20 / 21
Kongruenser
Primtal
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
December 18, 2014
December 18, 2014
20 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Kongruenser
Kongruenser
RSA signaturen
RSA signaturen
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
10. Verifiering:
10. Verifiering:
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
December 18, 2014
21 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Kongruenser
Diskret matematik
21 / 21
December 18, 2014
21 / 21
Kongruenser
RSA signaturen
RSA signaturen
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
10. Verifiering:
10. Verifiering:
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
December 18, 2014
Diskret matematik
December 18, 2014
21 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Kongruenser
Kongruenser
RSA signaturen
RSA signaturen
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
10. Verifiering:
10. Verifiering:
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
December 18, 2014
21 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Kongruenser
Diskret matematik
21 / 21
December 18, 2014
21 / 21
Kongruenser
RSA signaturen
RSA signaturen
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
10. Verifiering:
10. Verifiering:
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
December 18, 2014
Diskret matematik
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
December 18, 2014
21 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Kongruenser
Kongruenser
RSA signaturen
RSA signaturen
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
10. Verifiering:
10. Verifiering:
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
December 18, 2014
21 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Kongruenser
Diskret matematik
21 / 21
December 18, 2014
21 / 21
Kongruenser
RSA signaturen
RSA signaturen
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
10. Verifiering:
10. Verifiering:
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
December 18, 2014
Diskret matematik
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
December 18, 2014
21 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Kongruenser
Kongruenser
RSA signaturen
RSA signaturen
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
10. Verifiering:
10. Verifiering:
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
December 18, 2014
21 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Kongruenser
Diskret matematik
21 / 21
December 18, 2014
21 / 21
Kongruenser
RSA signaturen
RSA signaturen
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
10. Verifiering:
10. Verifiering:
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
December 18, 2014
Diskret matematik
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
December 18, 2014
21 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Kongruenser
Kongruenser
RSA signaturen
RSA signaturen
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
10. Verifiering:
10. Verifiering:
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
December 18, 2014
21 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Kongruenser
Diskret matematik
21 / 21
December 18, 2014
21 / 21
Kongruenser
RSA signaturen
RSA signaturen
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
10. Verifiering:
10. Verifiering:
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
December 18, 2014
Diskret matematik
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
December 18, 2014
21 / 21
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
Kongruenser
RSA signaturen
1. Dokumentet m ska skickas.
2. Välj två primtal p och q.
3. Välj ett tal a (privat signatur)
så att både p − 1 och q − 1 är relativt prima med a.
4. Låt nu b = lcm(p − 1, q − 1)
[OBS! lcm samma sak som “minsta gemensamma nämnare”].
5. Bestäm d så att ad ≡ 1 (mod b).
6. Låt n = pq.
7. Den publika verifieringsnyckeln är (n, d)
8. Välj en hashfunktion h så att 0 < h(m) < n.
9. Signering:
• Låt s = h(m)a mod n (signaturen)
10. Verifiering:
• Kolla att s d ≡ h(m) (mod n)
för om allt stämmer så ska
sd = {h(m)a mod n}d = h(m)ad mod n ≡ h(m)1 (mod n).
Eric Järpe (Högskolan i Halmstad)
Diskret matematik
December 18, 2014
21 / 21
