1 GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE FY3 Vågrörelse 3.9.06 MÅL Kursens mål är att de studerande skall • få en allmän bild av periodiska fenomen i naturen och bekanta sig med de centrala principer som förklarar dessa • göra sig förtrogna med vibrationsrörelsens och vågrörelsens grunder genom att undersöka mekanisk vibration, ljud eller elektromagnetiska vågrörelser. CENTRALT INNEHÅLL • harmoniska krafter och vibrationsrörelser • vågrörelsers uppkomst och utbredning • vågrörelsers interferens, diffraktion och polarisation • reflexion, brytning och totalreflexion • ljus, speglar och linser • ljud, hälsoeffekter av buller och olika sätt att skydda sig mot kraftigt ljud 3.1. Harmonisk kraft (FY2 s. 5-19), jfr 4.11 För t.ex. spiralfjädrar gäller (s = x = avståndet från jämviktsläget) F = -kx M112 där k = fjäderkonstanten i enheten N/m. Minustecknet anger att fjäderns kraft är i motsatt riktning till x. F = (-) kx och W = Fs = Fx ger E = ½kx2 grafiskt genom triangelns area: den elastiska potentiella energin Ep = ½kx2 M112 Vid harmonisk svängningsrörelse är den totala energin summan av kinetisk (rörelse)energi och elastisk potentiell energi. Det maximala x-värdet kallas amplitud = A. Etot = Ep + Ek = ½kA2 = ½mvx2 + ½kx2 M- GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE 2 För en massa m som oscillerar på en fjäder med konstanten k gäller (härledning se kurs 4) att: T = 2(m/k) M113 där T = perioden = tiden för en svängningsrörelse. För en "matematisk pendel" (simple pendulum) med längden l gäller (g = 9.81 m/s2) ungefärligen, för små vinklar att T = 2(l/g) M113 För alla svängningsrörelser eller periodiskt upprepade rörelser (ex. cirkelrörelse) gäller att frekvensen f med enheten 1 hertz = 1 Hz = 1 s-1 är f = 1/T M3.2. Svängningsrörelser i en dimension (FY2 s. 20-25) Vågrörelse består av två rörelser: oscillatorns lokala rörelse (vågor på vatten: vattenmolekyler, ljud:luftmolekyler, ljus: elektromagnetiska fält som oscillerar) vågens rörelse vinkelrätt mot (transversella vågor) eller parallellt med (longitudinella vågor) oscillationsrörelsen Om endast den harmoniska kraften beaktas, gäller för oscillatorn att F = -kx = ma vilket ger a = (-k/m)x dvs accelerationens graf bör ha formen av lägets graf upp- och nedvänd. Hastigheten beskriver hur läget förändras (derivatan av läget), accelerationen hur hastigheten förändras (derivatan av hastigheten). En sinusfunktion har lämpliga egenskaper: Man kan visa att för oscillatorns läge som funktion av tid gäller: x(t) = Asin(2ft + ) M112 GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE 3 där A = amplituden, f = frekvensen, t = tiden, = fasförskjutningen = ett eventuellt försprång oscillatorn har jämfört med en som har x = 0 då t = 0. Då man avbildar detta grafiskt vore det bättre med y(t) i stället. Vänster graf: oscillatorns läge kallas nu y istället för x. På x-axeln anges hur långt vågen rört sig. Detta motsvarar en stillbild av t.ex. en havsvåg. Notera dock att grafen även kan beskriva longitudinella vågor, även om den ser ut som en transversell! Höger graf: en enskild oscillators läge som funktion av tid beskrivs. Detta motsvarar t.ex. en videofilm av en kork som guppar upp och ned på vattenytan, och där man med korta mellanrum stannar filmen, noterar var korken är och sätter detta värde på y-axeln våglängden = avståndet mellan två vågtoppar (crest) eller dalar (trough) perioden T = samma i höger graf för en longitudinell vågrörelse kan även avståndet mellan två förtätningar (compression) och förtunningar (rarefaction) användas. Då hastigheten v = x/t = /T och f = 1/T fås vågrörelsens grundekvation v = f M116 3.3. Elektromagnetisk vågrörelse (FY2 s. 26-29) Ljus och flere andra vågor är elektromagnetiska svängningar vilka i vakuum rör sig med ljusets hastighet c = ca 300 000 000 m/s. Type of EM - wave Wavelength (m) Frequency f (Hz) Cosmic rays Gamma rays 10-13...10-10 ca 102 -11 -8 X-rays (röntgen) 10 ...10 ca 1018 Ultraviolet (UV) light 10-9...10-7 ca 1016 -7 -6 Visible light 10 ...10 ca 1015 violet (380..450 nm) blue (450..490 nm) green (490..560 nm) yellow (560..590 nm) GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE orange red Infrared (IR) or heat Microwaves TV, radio waves (590..630 nm) (630..760 nm) 10-6...10-4 10-4..10-2 10-2..103 4 ca 1013 ca 1011 104..109 3.4. Vågrörelsers interferens (FY2 s 39,64-65) Oscillatorläget för en enskilda vågorna adderas vanligen. (Om detta alltid gäller är osäkert - s.k. monstervågor på havet kräver en annan behandling). Vi får ytot(t) = y1(t) + y2(t) = A1sin(2f1t + 1) + A2sin(2f2t + 2) En konsekvens av detta är svävningar (beats) där vågor av något olika frekvens ger en tilltagande och avtagande total amplitud: fbeat = f1 - f2 M- 3.5. Dopplereffekten (FY2 s. 70) Då en ljudkälla rör sig mot eller från oss med hastigheten v uppfattar vi ljudets frekvens f som högre respektive lägre än den utsända (f0) p.g.a. att avståndet mellan två vågtoppar (våglängden) påverkas, medan ljudets hastighet c är oförändrad. Man kan visa (se IBkompendiet) att f = f0(c/c v) M116 Om källan står stilla men observatören rör sig är våglängden oförändrad, men ljudet träffar oss med en annan hastighet vilket ger: f = f0(c v)/c M116 För ljus förekommer en motsvarande Dopplereffekt, men då relativitetsteorin ger att ljusets hastighet c är oberoende av rörelse fås endast en formel, vanligen med förändringen i våglängd angiven som (c = ljushastigheten) = 0[(1+v/c)/(1-v/c)] M- GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE 5 Detta är orsaken till rödförskjutningen i ljuset från avlägsna galaxer som rör sig bort från oss. 3.6. Reflektion och stående vågrörelse (FY2 s. 31, 53-58) När en vågpuls på ett rep når en vägg reflekteras den tillbaka och vänds upp och ned p.g.a. Newtons III lag. Även en lös repände ger reflektion men utan denna invertering av vågen. Om en våg startas på en sträng som är fastsatt i båda ändarna (ex. gitarrsträng) kommer den att reflekteras fram och tillbaka. Vi kommer att få en stående vågrörelse om någon av följande situationer uppkommer: N = nod = plats där ingen vågrörelse sker ("no displacement"). På en sträng fastsatt i ändarna har vi noder där. A = antinod = plats där den stående vågens amplitud är maximal För strängens grundton f0 gäller då strängens längd är L: L = /2 vilket med v = f => = v/f ger : L = (v/f)/2 = v/2f => f = v/2L = 0.5(v/L) = f0 Följande ton - en överton - fås då: L = which with = v / f gives L = v / f and then f = v/L = 1.0(v/L) = 2f0 och därpå följande fall då: L = 1.5 or L = 3/2 which with = v / f gives L = 3(v/f)/2 = 3v/2f => f = 3v/2L = 1.5(v/L) = 3f0 I en rör med längden L öppet i båda ändarna kommer ljudet att delvis reflekteras (som vid en öppen repända) GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE 6 och för grundtonen gäller igen att L = /2, för den första övertonen L = och för följande att L = 1.5 varför samma frekvenser fås som för gitarrsträngen. För en pipa öppen endast i ena änden blir sambanden dessa: L = /4 which with v = f => = v / f gives L = (v/f)/4 = v/4f giving f = v/4L = 0.25 (v/L) = f0 och för övertonerna L =3/4 which with = v / f gives L = 3(v/f)/4 = 3v/4f giving f = 3v/4L = 0.75 (v/L) = 3f0 och L = 5/4 which with = v / f gives L = 5(v/f)/4 = 5v/4f and f = 5v/4L = 1.25 (v/L) = f3 = 5f0 3.7. Huygens princip för vågor i två dimensioner (FY2 s. 24, 40) Släpps en sten i en ankdamm sprider sig vågfronter (wavefronts, linjer eller kurvor som visar var vågtoppar eller -dalar finns) åt alla håll. En stråle (ray, beam) vinkelrät mot dessa visar vart vågorna rör sig. GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE 7 Huygens princip: vågfronter sprids genom att skicka ut halvcirkelformade elementarvågor (wavelets) vilka bildar en ny vågfront av samma form. Att detta är så noteras då vågfronten passerar en öppning eller ett hinder av samma storleksordning som våglängden. 3.8. Diffraktion och interferens (FY2 s. 43-48) 1,5 1 0,5 y1 0 y2 0 1 2 3 4 5 6 sum -0,5 -1 -1,5 Om fasförskjutningen ("försprånget") för en våg är 0, , 2, 3 etc. så kommer vågorna att vara i fas och interfererar konstruktivt (jfr avsnitt 3.4). Om fasförsjkutningen är 0.5, 1.5, 2.5 etc. är de ur fas och interfererar destruktivt (detta illustreras i grafen ovan). Om en vågfront passerar två (eller flere) öppningar på avståndet d från varandra (där d är av ungefär samma storleksordning som ) kommer vågorna att interferera konstruktivt i vissa riktningar där fasförskjutningen S2X = 0, , 2, 3, ..... GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE 8 Då S2X är motstående sida i en triangel till vinkeln fås enligt definitionen för sinus att sin = k / d vilket ger dsin = k, där k = 0, 1, 2, 3, .... I MAOL kallas vinkeln och vi får dsin = k M117 (Ett sätt att undersöka detta är med laser och en vägg eller skärm där ljusprickar ses i de riktningar där konstruktiv interderferens sker). För små vinklar där tangens och sinus är ungefär lika gäller även att s = D/d där s = avståndet mellan prickarna och D avståndet från diffraktionsgittret till väggen). 3.9. Brytning (FY2 s. 31-38) När en vågfront rör sig från en material där dess hastighet är v1 till ett där den är v2 sker brytning ("refraction"). Låt vinklarna θ1 och θ2 i bilden ovan bytas mot α1 och α2. Vi har då att AY = v1t och XB = v2t för en godtycklig tid t vinkeln AXY = α1 och XYB = α2 sin α1 = AY/XY och sin α2 = XB/XY vilket ger GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE 9 sin α1 / sin α2 = AY/XB = v1t/v2t = v1/v2 sin1/sin2 = v1/v2 = n2/n1 = n12 M117 Ovanstående formel - brytningslagen eller Snells lag - gäller för alla vågrörelser men kan även skrivas med hjälp av brytningsindex n definierade för ljus som n=c/v Mdär c = ljushastigheten i vakuum och v = ljusets hastighet i det aktuella mediet. Vi får då: n = c /v => v = c /n v1/v2 = (c/n1) / (c/n2) = n2/n1 = "n12" Notera att ljusets frekvens inte ändras vid övergången från medium 1 till 2 (ett visst antal svängningar per tidsenhet träffar gränsytan, samma antal måste gå vidare in i medium 2) men pga v = f kommer då våglängden att förändras. Ett material med högre n-värde är optiskt tätare, ett med lägre optiskt tunnare. Dispersion Brytningsindex är något olika för olika våglängder av ljus, vilket gör att vitt ljus delas upp i regnbågens färger vid brytning i genomskinliga föremål med icke-parallella ytor ss. ett prisma: 3.10 Totalreflektion (FY2 s. 80-86) Om vi går från ett optiskt tätare till ett tunnare medium blir brytningsvinkeln större än infallsvinkeln. För någon gränsvinkel α1 = αg blir då α2 = 90o och allt ljus reflekteras tillbaka in i medium 1. Om medium 2 är luft där ungefär n2 = 1 ungefär fås sin α1/ sinα2 = n2/n1 blir sinαg = 1/n1 eller GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE sinαg = 1/n1 10 M- 3.11. Polarisation och Brewsters lag (FY2 s. 50-52) Ljus är en transversell vågrörelse där elektriska och magnetiska fält oscillerar i alla riktningar vinkelrätt mot "färdriktningen": När ljus från luft träffar t.ex. en vattenyta kommer en del att reflekteras, endel att brytas ned i vattnet. Om vinkeln mellan den brutna och den reflekterade strålen är rät, måste oscillationerna i den reflekterade strålen vara vinkelräta både mot den brutna strålen och mot den nya färdriktningen. Bara oscillationer i ett plan (vinkelrätt mot bildens yta nedan) uppfyller detta: ljuset är då polariserat. För denna situation gäller då: sin α1 / sin α2 = n2/n1 (= n2 om medium 1 är luft där n1 är ca 1). då α2 + 90o + αreflektion = 180o (till höger om normalen) och αreflektion = αinfall = α1 får vi att α2 = 90o - α1 och därför sin α1 / sin α2 = n2/n1 så sin α1 / sin (90o - α1) = n2/n1 vilket ger sin α1/cos α1 = n2/n1 och därmed tan αB = n2/n1 för α1 = αB = Brewstervinkeln för polarisation M117 GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE 11 3.12. Linser (FY2 s. 94-104) Brytningen av ljus i linser är resultat av brytning vid dess ytor: I en konvex lins är strålgången följande; längre ner visas densamma i en konkav lins: I. Parallell med huvudaxeln -> genom fokus (konvex) eller som från fokus (konkav nedan) II. Mot linsens optiskacentrum -> fortsätter samma väg III. Genom fokus (konvex) eller mot fokus på andra sidan (konkav - denna stråle saknas ännu i bilden nedan) -> parallell med huvudaxeln Då föremålets (object) avstånd är a (IB: u) och bildens (image) avstånd är b (IB:v) har vi: GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE 1/a + 1/b = 1/f 12 M117 där f = brännvidden Teckenregler: f positiv för konvex lins, negativ för konkav lins a positivt för reellt föremål, negativt för virtuell föremålspunkt (om det "föremål" som avbildas är en bild producerad av en tidigare lins, och denna bild uppkommer på "fel" sida om den aktuella linsen) b positivt för reella bilder, negativt för virtuella reella bilder kan fångas på en skärm, men inte virtuella (även om man kan se på dem genom linsen) bilden rättvänd om b/a är negativt, upp- och nedvänd om b/a är positivt den linjära förstoringen m = hi/ho är absolutbeloppet av b/a: m = │b / a│ M117 Linsstyrka För dioptritalet D i enheten m-1 gäller, med samma teckenregler som för f: D = 1/f M117 Linssystem Om två linser sätts på avståndet x efter varandra på samma huvudaxel kommer bilden från den första att fungera som det "föremål" som avbildas i den andra: 1/f1 = 1/a1 + 1/b1 a2 = x-b1, negativt om x < b1 1/f2 = 1/a2 + 1/b2 På detta sätt kan en konkav lins' brännvidd bestämmas experimentellt: en ljuskälla (t.ex. stearinljusflamma) får avbildas av en konvex lins med känt f1 (b1 kan antingen beräknas eller direkt bestämmas experimentellt), därefter placeras den okända konkava linsen på avståndet x < b1 från den konvexa varvid en bild kan fångas på en skärm bakom den konkava linsen, ty då a2 < 0 fås b2 > 0 då f2 < 0. [Vinkelförstoring Om föremålet räknat från linsen syns i en vinkel α1 och bilden i vinkeln α2 gäller att (ho/a) / (hi/b) = tan α1 / tan α2 = vinkelförstoringen M. M = tanα1 /tan α2 M117 ] GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE 13 3.13. Reflexion i två dimensioner (FY2 s. 30, 87) I en plan spegel eller annan reflekterande yta kommer strålar att reflekteras så att infallsvinkeln till normalen är densamma som reflektionsvinkeln. Vågfronterna återfår efter reflektionen samma form som tidigare. 3.14. Sfäriska speglar (FY2 s. 87-93) Ovan till vänster en konvex spegel, till höger en konkav spegel. Strålar: I. Parallell med huvudaxeln (PA = principal axis) -> genom fokus eller som från fokus II. Mot optiskt centrum C (cirkelns/sfärens centrum) -> tillbaka samma väg III. Genom fokus eller mot fokus -> parallel med huvudaxeln Här gäller liksom för linser 1/a + 1/b = 1/f M117 Notera att då cirkelns radie är r gäller: r = 2f MTeckenreglerna är desamma som för linser, utom den första: f positiv för konkav spegel, negativ för konvex GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE 14 a positivt för reellt föremål, negativt för virtuell föremålspunkt (om det "föremål" som avbildas är en bild producerad av en tidigare lins, och denna bild uppkommer på "fel" sida om den aktuella linsen) b positivt för reella bilder, negativt för virtuella bilden rättvänd om b/a är negativt, upp- och nedvänd om b/a är positivt den linjära förstoringen är absolutbeloppet av b/a 3.15. Lins- och spegelfel (aberrationer, FY 2 s. 88, 97 ) sfärisk aberration: de givna reglerna för strålgången gäller endast ungefär för sfäriska ytor, egentligen bör paraboliska användas (både speglar och linser) kromatisk aberration: p.g.a. dispersion bryts olika färger lite olika i linser, vilket kan korrigeras med en akromatisk lins bestående av olika material sådana att t.ex. rött bryts mer än blått i den ena, mindre i den andra 3.16. Ljud och buller (FY2 s. 59-69) Då en vågrörelse transporterar energin per tid = effekten P genom ytan A är dess intensitet I i enheten W/m2 I = P/A M116 Då ytan av en tänkt sfär som vågrörelsens energi strömmar ut genom är 4πr2 kommer intensiteten att vara omvänt proportionell till kvadraten på avståndet. För ljud gäller decibelskalan för ljudnivån L då hörseltröskeln I0 = 10-12 W/m2 att L = 10 lg(I/I0) dB M117 där logaritmen har basen 10 och en ökning av ljudnivån med 10 dB alltså motsvarar en tio gånger störrre intensitet. För ljudets hastighet (här betecknad v enligt MAOL, i FY2 s. 66 betecknad c) gäller vid temperturen T i enheten kelvin att v1/v2 = √(T1/T2) där v = 332 m/s vid T = 0oC = 273K M117 GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE 15 3.17. Exempel på laborationer i FY3 1. Bestäm experimentellt fjäderkonstanten k på två olika sätt för en eller flere spiralfjädrar då du kan mäta längd, massa och tid. 2. Bestäm tyngdaccelerationen med hjälp av en pendel.(Kan ha gjorts i kurs 1) 3. (Datorlaboration) Konstruera/använd en datorsimulering av svävningsfenomenet i ett kalkylbladsprogram (Excel). Vilken relation finns mellan de två vågrörelsernas frekvenser och svävningsfrekvensen? Påverkas fenomenet av fasförskjutningen? Jämför med ljudet från två stämgafflar med något olika frekvens. Om tid finns: utveckla simulationen så att eventuella svävningsfenomen för tre eller flere frekvenser undersöks. (http://www.vasa.abo.fi/vos/vosusers/tillman/fy3exc1.xls) 4. Bestäm det optiska brytningsindexet för vatten med hjälp av en D-formad behållare (eller annat). 5. Bestäm våglängden för ljuset från en laser med hjälp av ett diffraktionsgitter. 6. Bestäm experimentellt brännvidden för en a) konvex b) konkav lins genom att låta en stearinljuslåga avbildas på en pappersskärm. 7. Bestäm experimentellt brännvidden för en konkav spegel genom att låta en stearinljuslåga avbildas på en pappersskärm. 8. (Grafisk laboration) Rita upp a) ett sfäriskt spegeltvärsnitt b) ett sfäriskt linstvärsnitt på ett A3-papper samt några strålar som träffar spegeln/linsen parallellt med huvudaxeln. Mät infallsvinkeln och rita ut reflektions-/brytningsvinkeln. För linsens del innebär detta två brytningar per stråle, antag t.ex. att linsmaterialet har n = 1.5. Vad observeras? (Sfärisk aberration).