2
Fyra typer av bevis.nb
Fyra typer av bevis
Indirekta bevis
Ställd inför uppgiften att bevisa en utsaga av formen "u ï v"
har man något att utgå ifrån (nämligen u). Därför brukar man sällan göra
motsägelsebevis för sådana utsagor. I stället görs ofta ett s.k. indirekt
bevis vilket är en typ av bevis som liknar motsägelsebeviset.
Motsägelsebevis
Ett s.k. motsägelsebevis av en utsaga u har följande form
Det indirekta beviset bygger på att
Antagandet ¬u leder till något orimligt
Ÿ v ï Ÿ u är logiskt ekvivalent med v ì u.
Många säger att motsägelsebevis är något som man tar till om man är tom
på idéer. I ett motsägelsebevis har man ju alltid någonting att utgå ifrån
(nämligen ¬u).
EXEMPEL 1
2 är irrationellt.
BEVIS Antag att 2 inte är irrationell, dvs att
2 = m , där m, n œ !
n
2 är rationell:
(1)
Vi försöker nu visa att (1) leder till något orimligt.
2
Av (1) följer (efter kvadrering) att 2 = m2
n
Härav,
(2)
2 n2 = m2
Eftersom primtalsfaktoriseringen av en kvadrat har ett jämnt antal av
varje förekommande primtal måste högerledet i (2) ha det. Därmed måste
samma sak gälla om vänsterledet. (Här kommer entydigheten i aritmetikens fundamentalsats in i bilden.)
Speciellt måste primtalet 2 som finns i vänsterledet förekomma i ett jämnt
antal. Enda möjligheten är då att 2 förekommer i ett udda antal i n2 . Men
n2 som är en kvadrat har ju ett jämnt antal av varje förekommande
primtal. Att n2 både har ett udda och ett jämnt antal 2-förekomster är
orimligt. ·
(3)
BEVIS av ovanstående ekvivalens:
Antag först att Ÿ v ï Ÿ u. Ska visa att v ì u.
För att visa det senare, antag u.
Då följer v. Ty om Ÿ v, så följer Ÿ u (enligt antagandet "Ÿ v ï Ÿ u").
Men vi hade ju antagit u. Och att både u och Ÿ u gäller är orimligt.
Det omvända bevisas likadant:
Antag att v ì u. Ska visa att Ÿ v ï Ÿ u.
För att visa det senare, antag Ÿ v. Då följer Ÿ u. Ty om u, så följer v
(enligt "v ì u".) Och att både Ÿ v och v gäller är ju orimligt. Ñ
(3) säger oss att om man har bevisat
u ï v
så har man (indirekt) bevisat
Ÿ v ï Ÿ u.
Här följer en illustration …
EXEMPEL 2 Ett heltal är jämnt om kvadraten på detsamma är jämnt.
BEVIS Istället för att bevisa
"a jämn ì a2 jämn",
bevisar vi
"a udda ï a2 udda".
Antag således att a är udda, dvs att a = 2 m + 1.
Då följer att
a2 = H2 m + 1L2 = 4 m2 + 4 m + 1 = 2 I 2 m2 + 2 mM + 1
vilket betyder att a2 är udda. ·
Direkta bevis
3
Fyra typer av bevis.nb
Direkta bevis
Direkta bevis är "rakt på": Man bevisar u, genom att bevisa u. Punkt slut.
EXEMPEL 3 Om p är ett primtal och p ! 3, så gäller att 3 \ Ip2 - 1M.
Tex 3 \ I72 - 1M och 3 \ JI225 964 951 - 1M2 - 1N.
BEVIS
Eftersom p2 - 1 = Hp + 1L Hp - 1L räcker det att bevisa att 3 \ Hp + 1L eller
3 \ Hp - 1L.
Vart tredje tal är delbart med 3. Därför måste någon av p - 1, p, p + 1
delas av 3. Men eftersom p är primtal, och p ! 3, så kan inte p vara
delbart med 3. Således är det p + 1 eller p - 1 som är det.
·
Fallbevis
Du har säkert mött flera fallbevis redan | t.ex. beviset av lemma 2 som
förberedde beviset av fundamentalsatsens entydighet. Nedan följer
ytterligare ett fallbevis.
EXEMPEL 4 Det finns irrationella tal b, c sådana att bc är rationell.
BEVIS Betrakta talet I 2 M
2
. Endera är detta tal rationellt,
eller så är det irrationellt. (Detta gäller förstås för varje tal.)
Fall 1. Om I 2 M
eftersom
2
2
är rationell så är saken klar med bc = I 2 M
2 är irrationell.
Fall 2. Om I 2 M
bc = I 2 M
2
2
2
är irrationell, är också saken klar. Nu med
= I 2M
2ÿ 2
= I 2 M = 2. ·
2
