Mesopotamisk matematik - del 2
Jöran Friberg
Den babyloniska matematiken 1500 år före Euklides var mera omfattande, djup och systematisk än man tidigare trott. Den byggde i sin tur
på tankegångar som redan vid den tiden var uppemot 1500 år gamla.
Just dessa nyare resultat togs upp i förra numret av Nämnaren och i en
fortsättning med ytterligare exempel och en sammanfattning i detta nummer. Artiklarna är dokumentation av en uppmärksammad föreläsning
vid Matematikbiennalen i Göteborg 1992.
En gammal-sumerisk tabell över kvadratytor
Här visas gammal-sumeriska tabeller över sidor och ytor på stora kvadrater, med en tillämpningsövning (att räkna ut ytan av en kvadrat med sidan 10 x 60 dubbelrör ≈ 3600 m)
Uträkning:
(60 stavar) = (6 rep)
= (1 längd) = 2 d (bur)
Alltså, t ex:
(10 x 60 stavar) = 10 x (60 stavar)
= 1.40 (100) x 2 bur = 3.20 (200) bur
En gammal-sumerisk
aritmetisk-geometrisk uppgift
Problem:
Jöran Friberg är professor i matematik
vid Chalmers tekniska högskola och
Göteborgs Universitet. Han är en internationellt känd forskare i matematikhistoria med särskild inriktning mot
mesopotamisk matematik och inflytandet från babylonisk matematik på
utvecklingen av bl a den grekiska matematiken.
12
Beräkna ytan av en kvadrat med sidan
5 x 60 stavar.
Uträkning (rättad):
(5 x 60 stavar) = 25 x (60 stavar)
= 2 1/2 x 10 x (60 stavar)
Nämnaren nr 1, 1993
= 2 1/2 x 10 x 3 20! bur = 2 1/2 x 33 20 (2000) bur = 1 23 20 (5000) bur.
I texten räknas felaktigt med 3 10 bur i stället för 3 20 bur. Svaret i texten är därför
också felaktigt, nämligen 1.27.30 bur istället för 1.23.20 bur. Observera att tecknet för
1.00.00 (3600) bur är en ‘gaffel’ plus tecknet för 1.00 (60) bur. Gaffeltecknet är egentligen tecknet för gal = ‘stor’ på sumeriska men betyder här multiplikation med 60!
En gammal-sumerisk geometrisk uppgift
Uppgiften behandlar fyra cirklar inskrivna i en kvadrat, kanske en tidig föregångare till
en intressant typ av babyloniska geometriska problem.
Ingen förklarande text är bevarad, men likheten med en viss gammal-babylonisk
text antyder att det handlar om följande
Problem:
Antag att den yttre kvadraten har sidan 1.
Bestäm ytan av den inre “konkava kvadraten”
(på sumeriska kallad “harp-öra” efter formen av
ljudhålen på en sumerisk harpa).
Lösning (enligt gammal-babylonisk metod):
Ytan av den centrala parallella kvadraten: 1/4
Ytan av den centrala cirkeln: 3/4 x 1/4
(om π = 3)
Ytan av den centrala sneda kvadraten: 1/2 x 1/4
Ytan av harpörat: (3/4 –1/2) x 1/4= 1/4 x 1/4
Ytan av en “båt”: 1/4 x (3/4 –1/4) x 1/4
= 1/8 x 1/4
Förhållandet mellan ytorna är därför
båt : harpöra : sned kvadrat : cirkel : kvadrat
= 1/2 : 1 : 2 : 3 : 4
(om π = 3)
Ett gammal-akkadiskt divisionsproblem (2300 f Kr)
Detta är ett exempel på gammal-akkadiska kilskriftstexter (2300 f Kr) med en geometrisk uppgift som leder till division med ett reguljärt sexagesimalt tal (4 x60+ 3 = 3 5).
Problem:
Långsidan av en rektangel är
4 03 (243) stavar.
Vad är kortsidan om ytan är
1 iku = (10 stavar) ?
44(60)
( 6 0 ) 33 us
u‰
Detta är ett reguljärt divisionsproblem, eftersom
4 03 = 3 x 1 21 (81)
= 3x9x9
= 3x3x3x3x3
ssag
a g -– bbi
i
Nämnaren nr 1, 1993
pa –-de – d]
pa
dam-
ssag
a g 11(iku)
( i k u ) asa
a‰a
13
Uträkning:
100 stavar / 243
= 200 säd-alnar / 81 (1 stav = 6 säd-alnar)
= 2 säd-alnar + 76 händer / 27 (1 säd-aln = 6 händer)
= 2 säd-alnar + 2 händer + 220 fingrar / 27 (1 hand = 10 fingrar)
osv
Ett gammal-akkadiskt trapetsdelningsproblem
Här visas en geometrisk teckning, förmodligen en illustration till en matematisk uppgift som är en tidig föregångare till ett mycket viktigt och intressant babyloniskt geometriskt-algebraiskt-talteoretiskt problem (trapetsdelningsproblemet).
Detta är den matematik-historiskt mest intressanta texten från tredje årtusendet. Texten
är gammal-akkadisk (2300 f Kr). Problemtypen var populär i den gammal-babyloniska
perioden 500 år senare.
Problem:
17 alnar
2 rör
Bestäm delningslinjen i parallelltrapetsen i bilden så att den delar ytan av trapetsen i två lika
delar.
Svar (ej i texten):
Delningslinjen har en längd av13 alnar. Den delar långsidorna i förhållandet 2 : 3. Ytan av hela
trapetsen är 4 kvadratrör = 1 kvadratstav = 1
“gård” (den minsta enheten för ytmått).
7 alnar
b
b
B
d
A
p
q
a
30
d
30
a
[(a + d)/2] x q = A, osv
(a+d ) / 2 = 30 / 3 = 10
(d+b ) / 2 = 30 / 2 = 15
(a+b ) / 2 = 60 / 5 = 12
Lösning:
a+d+b = 10+15+12 = 37
a = 37 – (d+b) = 37 – 30 = 7
d = 37 – (a+b) = 37 – 24 = 13
b = 37 – (a+d) = 37 – 20 = 17
14
Förklaring till trapetsdelningsproblemet:
2
3
Antag t ex att man vill dela en trapets med ytan
60 i två lika delar genom en delningslinje som
delar långsidan i delar med längderna 2 och 3
(bilden till vänster).
Den “falska ytformeln” (som faktiskt inte är generellt additiv!) ger då upphov till det linjära
ekvationssystemet under figuren, (se även Nämnaren, nr 4/92 s 13) :
Övning: Visa att kravet att den falska ytformeln är
additiv (så att summan av delytorna A och B är
lika med ytan av hela trapetsen) är ekvivalent med
likformighets-villkoret att sidan av trapetsen delas i förhållandet p : q = (b – d) / (d – a).
Övning: Visa att likadelningsvillkoret, d v s villkoret att A = B, är ekvivalent med villkoret att
d – a = b – d,
a+ b = 2 d.
d v s att
Nämnaren nr 1, 1993
Exempel: Om a = 7, b = 17, så är
d = ( 7+ 17) / 2 = (49+289) / 2 = 169 =
13.
Trapetsdelningsproblemet leder tydligen “automatiskt” till heltalslösningar till ekvationen
a+ b = 2 d, som är en “obestämd andragradsekvation” av exakt samma slag
som “Pythagoras” ekvation. Många gammal-babyloniska matematiska kilskriftstexter
handlar för övrigt just om Pythagoras ekvation eller trapetsdelningsproblemet.
En sen-sumerisk faktoriseringsuppgift (2000 f Kr)
Här presenteras finurligt formulerade divisionsproblem (2000 f Kr) som bygger på den
överraskande iakttagelsen att de “lustiga” sexagesimaltalen
1 01 01 = 60 2+60+1 och 1 01 01 01 = 6 0 3+6 0 2+60+1
innehåller små icke-reguljära faktorer (13 och 7).
Problem:
a) 1 01 01 01 getter vallas av 13 13 herdar. Hur många getter i varje hjord ?
b) 1 01 01 01 får vallas av 13 herdar. Hur många får i varje hjord ?
c) 1 01 01 får vallas av 7 herdar. Hur många får i varje hjord ?
Lustigt nog gäller samma sak för decimaltal, vilket kan visas genom följande enkla uträkning:
= 1
= 10
= 9
= 12
+
+
+
+
0 x 13
0 x 13
7 x 13
76 x 13
1001 = 13
+
76 x 13
1
10
100
1000
Alltså är
1
=
77 x 13 = 7 x 11 x 13.
111,111 = 111 x 1001 = 7 x 11 x 13 x 111 !
Övning: Undersök om decimaltalet 10101 innehåller liknande faktorer.
Ett sen-sumeriskt tillväxtsproblem (2000 f Kr)
Detta är en teoretisk-ekonomisk text som ger lösningen till ett tämligen komplicerat
tillväxtproblem med tidsfördröjning (tillväxten under en tioårsperiod av en hjord nötkreatur som vid periodens början omfattar fyra dräktiga kor).
Problem:
Beräkna tillväxten av en hjord nötkreatur under tio år under följande tillväxtsvillkor:
a) vid början av år 1 omfattar hjorden 4 kor
b) varje helt par av kor får varje år en kalv, omväxlande av ena eller andra könet
c) efter 3 år är en kviga könsmogen; efter ytterligare 1 år blir den en ko och kan få
sin första kalv
Detta är ett rekursionsproblem som enklast löses genom framräkning av raderna i en tabell.
1
Kanske bygger titeln på den gamla orientaliska samlingen av berättelser Tusen och en natt på en
ännu äldre orientalisk matematisk tradition ? Det är för övrigt intressant att notera att faktoriseringen
av talet 1001 har följande tillämpning: Eftersom 7 x11 x13 = 1001 x 1000, så är
1/7 ≈ 11 x13/1000 = 0,143, 1/11 ≈ 7 x13/1000 = 0,091, och 1 / 13 ≈ 7 x11/1000 = 0,077.
Nämnaren nr 1, 1993
15
Liknande, men avsevärt mycket enklare, är Leonardo Fibonacci’s berömda “kaninproblem” (1200 e Kr):
Ett kaninpar får ett par ungar (av båda könen) varje år. Ungarna är fullvuxna efter ett år.
Dräktighetstiden är ett år. Beräkna tillväxten (den s k Fibonacciföljden).
Övning:Visa att antalet honor resp. honungar ges av följande tabell. Försök att bestämma den
enkla tillväxtsregeln.
år
h.
hu.
1,
1,
0,
2,
1,
1,
3,
2,
1,
4,
3,
2,
5,
5,
3,
6,
8,
5,
7,
13,
8,
8,
21,
13,
9,
34,
21,
10,
55,
34,
...
...
...
Det sen-sumeriska hjordproblemet och det medeltida kaninproblemet är båda helt teoretiska, strängt schematiserade och orealistiska. Bl a är ju dödlighetstalet lika med noll.
Inte ens till skatteunderlag kan lösningen här nedan till hjordproblemet ha dugt.
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
1
1
1
1
6
6
1
1
1
7
7
1
1
8
8
1
9
9
10
10
kalvar
4
1-åriga
4
2-åriga
4
3-åriga
3
tjurar
4
kalvar
2
1-åriga
4
2-åriga
kor
1
3-åriga
år
Lösningen till det sen-sumeriska hjordproblemet
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
3
1
1
2
1
1
2
2
4
1
2 1
2
1
2
2
2
5
2
1
2
2
2
2
2
2
7
1
2
2
3
Sammanfattning
Det är nu för första gången möjligt att rekonstruera (i grova drag) matematikens hela
utvecklingshistoria. Man ser hur tal och mått och den elementära aritmetiken var fullt
utvecklade redan vid tiden för uppfinnandet av skriften, och hur “teoretiska“ matematiska problem övades i de mesopotamiska skolorna under hela det tredje årtusendet.
Speciellt intressant är observationen att distinktionen mellan reguljära och icke-reguljära
sexagesimaltal (7, 11, ...), som var en av hörnstenarna i den babyloniska matematiken,
16
Nämnaren nr 1, 1993
utgör bakgrunden till en hel rad matematiska övningsuppgifter från samtliga utvecklingsperioder under det tredje årtusendet i Mesopotamien, den för-sumeriska, den gammal-sumeriska, den gammal-akkadiska och den sen-sumeriska.
Det går därför en rak linje från vår moderna matematik, via grekernas, babyloniernas,
sumerernas och för-sumerernas matematik till räknandet med talsymboler av lera (små
stavar, koner och klot) i det förhistoriska Mellanöstern (8000 –3200 f Kr).
Litteratur
Friberg, J. “Numbers and measures in the earliest written records”, Scientific American 250 (1984) 110–118.
Friberg, J. "Mesopotamisk matematik del 1", Nämnaren nr 4, 1992, s 9-16.
Nissen, H., Damerow, P., Englund, R. Frühe Schrift und Techniken der Wirtschaftsverwaltung im alten Vorderen Orient (Berlin, 1990). (En engelsk översättning skall publiceras inom kort.)
Nämnaren nr 1, 1993
17
