1
Föreläsning 7:
Fiktiva (tröghets-)krafter (kap A)
Komihåg 6:
• Absolut och relativ rörelse för en partikel
- hastighetssamband: v abs = vO' + " # rrel + v rel
14
4244
3
=v sp
- accelerationssamband, Coriolis teorem
a abs = a O' + "˙ # rrel + " # (" # rrel ) + 2" # v rel + a rel
3
14444
4244444
3 1424
!
a cor
a sp
!
Kraftekvationen
För en partikel i A som har accelerationen a abs gäller i ett
inertialsystem Newtons 2:a lag:
(ma abs ") ma sp + ma cor + ma rel = F .
Om rörelsen (accelerationen) observeras
i det relativa
!
referenssystemet (där referensriktningarna upplevs som
fixa) blir sambandet mellan rörelse och kraft:
ma rel = Frel = F"ma sp "ma cor ,
123 123
!
F sp
F cor
där F är den fysikaliska kraften och den extra kraft som
tillkommmer Ffikt " Fsp + Fcor är en fiktiv (skenbar) kraft,
även kallad tröghetskraft.
!
!
!
2
Tröghetskrafter (krafter som inte finns)
Systempunktskraft:
Fsp " #ma sp = "m(a B + #˙ $ rrel + # $ (# $ rrel ))
Corioliskraft:
Fcor " #ma cor = "m(2# $ v rel )
!
!
Obs: " är det rörliga koordinatsystemets vinkelhastighet
relativt
inertialsystemet.
!
!
!
Rörelse i referenssystem med fix rotationsaxel
Antag skivans referenspunkt är på en fix axel med a B = 0
och låt " = "e z , "˙ = "˙ e z . Inför cylinderkomponenter i
skivans medföljande koordinatsystem, där vinkeln " räknas
mellan e r och skivans medföljande e x -riktning:
Läget
!
skrivs: rrel = re r + ze z , och hastigheten skrivs
!
!
v rel = r˙e r + r"˙e" + z˙e z .
!
! Systempunktskraftens delar:
! Inför cylinderriktningar
!
!
3
!
!
!
!
• "m#˙ $ rrel = "m#˙ e z $ ( re r + ze z ) = "m#˙ re%
• "m# $ (# $ rrel ) = "m#e z $ (#re% ) = m" 2 re r (= m" 2r# ).
Corioliskraften blir med v rel = r˙e r + r"˙e" + z˙e z
• "m(2# $ v rel ) = "m2#e z $ (r˙e r + r%˙e% + z˙e z )
!
= "2m#r˙e$ + 2m#r$˙e r . !
Riktningen kan!tolkas som åt höger i skivans plan jämfört
med rörelsens framåtriktning. Vertikala delen av rörelsen
bidrar ej till Corioliskraften.
Lagar i det rörliga referenssystemet
Man kan utgå ifrån kraftekvationen baserad på det rörliga
referenssystemet, där krafterna är summan av de
fysikaliska och de fiktiva krafterna. Lagar för arbete,
impuls och rörelsemängdsmoment följer sedan efter
införande av de relativa storheterna:
-Rörelsemängd: prel = mv rel ,
-Rörelsemängdsmoment: HO,rel = rrel " prel
1
2
2
-Kinetisk energi: Trel = mv rel
-Effekt:!Prel = Frel • v rel
!
t
-Arbete: U rel = " Prel dt
2
t1
!
-Kraftmoment:
MO,rel = rrel " Frel
!
!Lagarna kommer att se ut som vanliga lagar men med ny
innebörd
av rörelse och kraft.
!
Rörelse relativt jorden
Betrakta en partikel som vilar på jordytan. På grund av
jordens rotation får vi bilden nedan.
4
I det roterande systemet fås
systempunktskraften:
Fsp = "m# $ (# $ rrel ) = mR cos %# 2e x
Denna kraft modifierar lodlinjen för
en ‘fritt’ hängande tyngd!
!
"
z
!
nordpol
x$#
!"
v rel
!
!
!
!
z$
Fcor
!
#
ekvator
!
!
R
x
!
!
!
!
!
Betrakta en partikel som dessutom rör sig relativt jordens
yta. Om den relativa hastigheten och jordens
vinkelhastighet delas upp i ett medföljande system enligt
figuren kan vi räkna ut även Corioliskraften:
Fcor
!
e x%
e y%
e z%
= "2m# $ v rel = "2m # cos & 0 # sin &
v x'
v y'
0
5
!
!
!
!
= 2m" [v y' sin #e x $ % v x' sin #e y $ % v y' cos #e z$ ]
e x " =nordlig riktning
e y' = västlig riktning
e z' = jordytans normalriktning
•Förklara skenbar avvikelse åt höger relativt
rörelseriktningen.
•Förklara rörelse kring lågtryckscentrum
6
Exempel : Formulera kraftekvationen för en partikel i en
cirkelformad bana på en roterande dörr med konstant
vinkelhastighet kring fix z -axel.
z
"
!
!
!
R
O$
!
"
! !
h
d
O
!
#
x
Lösning: Kraftekvationen blir ma rel = Frel , där
2
!
v rel
a rel = v˙ rele t +
e n med v rel = R"˙ , v˙ rel = R"˙˙, samt
R !
Frel = F + Fsp + Fcor . !
Tröghetskrafterna kan ges explicita
uttryck: Fcor = 2m"R#˙ sin #e y och
! " )# 2 ! e
. För godtycklig
Fsp = m(d + Rcos
{x
!
!
!
!
!
!
!
!
($ sin "e t $cos"e n )
fysikalisk kraft blir komponentekvationerna:
!
• mv˙ rel = Ft " m sin # (d + Rcos# )$ 2
2
v rel
• m
= Fn " m cos# (d + Rcos # )$ 2
R
• 0 = Fy + 2m"R#˙ sin #
7
Exempel A3***: En puck glider friktionsfritt med farten
V0 på en roterande is, från centrum och utåt. Jämför
absolut och relativ beskrivning av kraftverkan i
rörelseplanet.
!
Lösning: Pucken påverkas inte av några faktiska krafter i
planet (finns dock normalkrafter vinkelrät mot planet).
Vi har i det roterande systemet: ma rel = Frel " F + Ffikt
med den totala fiktiva kraften: Ffikt = Fsp + Fcor .
Systempunktskraft (centrifugalkraft):
Fsp " #ma sp = "m# $ (# $ rrel ) ,
!
Corioliskraft:
!
Fcor " #ma cor = "2m# $ v rel .
Jämför vi med den ursprungliga kraftekvationen, som blir
F "!
0 , ser vi att den relativa analysen inte är användbar i
detta.
!
!
!
Anmärkning: I detta fall är den absoluta accelerationen noll
så att a rel = "a sp " a Cor .
!
!
