Föreläsning 151112

1. Planeters skenbara rörelser
Genom observationer på himlavalvet kan man endast bestämma riktningen till
ett avlägset objekt (som en planet) inte dess avstånd. Om det senare måste man
göra vissa antaganden. Ett djärvt men fruktbart antagande är att planeterna
rör sig i cirklar kring solen. Detta kommer inte att ge en advekat beskrivning
av dess observerade lägen på himlen, men det utgör en god början.
De inre planeterna
Låt en inre planet rotera kring solen i en cirkel med radien R < 1, där Jordens
avsånd från solen är som sedvanligt normaliserat till 1 (en astronomisk enhet
A.E.), och låt θ utgöra dess observerade vinkelavstånd från solen. Då gäller att
dess maximala vinkelavstånd θ0 ges av sin θ0 = R
R
θ
Exempel 1.1 Venus roterar kring solen i en cirkel med radien 0.718 A.E. Detta
betyder att dess största vinkelavstånd från solen ges av arcsin 0.718 = 45.9o
7
(Notera att sin 45o = √12 ∼ 2×5
= 0.7) vilket är en åttondelsvarv kring himlen.
När Venus rektascension är större än solens kommer den att gå upp tidigare och
kallas då traditionellt ’Morgonstjärnan’, om däremot rektascensionen är mindre
än solens går den upp senare och följaktligen går den ner senare och benämnes
’Aftonstjärnan’. Venus är så ljusstark att den även kan skönjas på dagen, men
det är givetvis en fördel att betrakta den på natten. En intressant uppgift blir
då att finna dess maximala höjd över horisonten, vilket kommer att bero på
latituden.
De yttre planeterna
De yttre planeterna kan betraktas i så kallad opposition, d.v.s. Solen, Jorden
och Planeten befinner sig i en rät linje i nämnda ordning. Den skiva planeten
1
Q
presenterar till Jorden kommer att vara fullt upplyst, dessutom kommer den
att vara som närmast. Det kan dock vara svårt att ur en enstaka observation
sluta om planeten är i opposition eller inte. Att en planet vid två olika tillfällen
befinner sig på samma position på himmelsfären (som kan ses genom att den
passerar nära en ljusstark stjärna behöver dock inte betyda att den befinner sig
på samma plats i sin bana, ty Jorden behöver inte göra det.
Däremot om Jorden gör det, så gör också planeten det.
P
Med andra ord om en specifik position observeras vid
P
J
samma tider på året har inte bara Jorden genomgått ett
J
helt antal varv utan även planeten. Antal varv Jorden
har roterat är lätt att bestämma, det är bara att räkna
åren, lite mera subtilt är det att räkna varven för planeten. Jorden rör sig kring Solen snabbare än den yttre
planeten. Efter att Jorden har fullgjort ett varv har planeten inte hunnit göra sitt, det kan då vara frestande att
ur planetens position ett år senare kunna sluta hur stor del av ett varv det har
fullgjort. Vi betraktar då nedanstående bild.
Men den sökta vinkeln P OQ kommer att bero på avståndet.
Däremot kan vi under årens lopp notera dessa vinklar
P’
och se hur de växer och varje gång de passerat 360o
noterar vi att planeten ifråga har avslutat återigen ett
P
varv. När vi har återgått åtminstone approximativt till
Q’
utgångspunkten kan vi erhålla en kvot ω mellan omloppO
stiderna genom att dividera antalet jordvarv med planetvarv. Detta ger uppenbarligen en rationell approximation. Ju längre vi väntar, d.v.s. ju större nämnare och
täljare vi är beredda att acceptera, desto bättre approximation.
Exempel 1.2 Mars omloppstid är 686.9 dygn, medan Jordens är 365.25 (Det
Julianska året1 ). Kvoten är 1.8808 och vi finner approximationer som 2/1 (två
omlopp per Marsår), 15/8 = 1.875.., 32/17 = 1.882..., 79/42 = 1.881...
Dock när vi har tillgång till ω kan vi gå baklänges och använda de tidigare
observationerna för att bestämma radien r.
1 Den
traditionella längden på året för astronomer som därmed följer den enklare Julianska
kalendern.
2
P
Vi har uppmätt vinkeln α givet av QJP och vi har
även beräknat vinkeln β givet av QOP dessutom
har vi uppmätt vinkeln QJP (γ). Det är genom att
mäta denna vinkel, avståndet från Solen, vid de två
olika tillfällena vi erhåller skillnaden α
Q
β
α
γ
Övningsuppgifter 1
O
J
1.1 Antag för enkelhetens skull att Merkurius rör sig i en cirkel2 med radien
0.38 (A.E)
a) Beräkna maximala vinkelavståndet till Solen!
b) Beräkna maximala höjden över horisonten under natten vid ekvatorn!
c) Beräkna maximala höjden över horisonten under natten på Göteborgs
breddgrad!
1.2
Beräkna maximala vinkelavståndet av Jorden till Solen sett från Ganymedes
1.3 Från Ganymedes beräkna maximala vinkelavståndet från Jupiter för de
inre månarna Io och Europa.
2. Planetrörelserna
Keplers Lagar
• En planet rör sig i en ellips, med solen i en av brännpunkterna
• Vektorn given av solen och planeten sveper lika areor under lika tid.
• Kuberna av medelavstånden är proportionella mot kvadraterna av omloppstiderna
Ellipser och Kägelsnitt
En ellips benämnes i vanligt tal med det vaga ordet ’oval’. Det refererar till en
ihoptryckt cirkel. En cirkel som ses från en sned vinkel har formen av en ellips.
Mera specifikt om vi har en cirkel med radien a och således given av ekvationen
y2
x2
+
=1
a2
a2
och skalar yaxeln med en faktor
b
a
får vi istället ekvationen
y2
x2
+ 2 =1
2
a
b
2 Att ta hänsyn till Merkurius elliptiska bana gör uppgiften mera intressant men kräver en
del matematiska kunskaper om polärer till ellipser för att behandlas korrekt
3
som är ekvationen av en ellips. Dess snitt med x-axeln fås genom att sätta y = 0
och därmed punkterna (±a, 0), På samma sätt fås dess snitt med y-axeln genom
att sätta x = 0 och därmed (0, ±b). Om a > b säges den horisontella axeln av
längd 2a utgöra storaxeln, och den vertikala axeln 2b lillaxeln. Avståndet 2a
utgör det längsta avståndet mellan två punkter på ellipsen, avståndet 2b är det
minsta avståndet mellan två punkter på ellipsen vars mittpunkt går genom dess
centrum.
En ellips parametriseras av (a cos t, b sin t). Dess area beräknas enkelt till
πab, medan båglängden hos en ellips är ett klassiskt problem som gav upphov
till så kallade elliptiska funktioner.
Ellipsen har två brännpunkter (F1 , F2 ) som ligger på storaxeln. Dessa har
två egenskaper visavi en godtycklig punkt P på ellipsen
• Summan av avstånden |P F1 | + |P F2 | är konstant och således lika med 2a
• Om T är tangenten till ellipsen vid P kommer vinklarna som P F1 och
P F2 bildar med T vara lika.
4
P
T
F
F
1
2
Om ellipsens brännpunkter ges av (±c, 0) kommer vi således att ha relationen
a2 = b2 + c2
Bråket e = ac är ett mått på ellipsens tillplattning och är invariant under (likformig) skalning. Den benämnes excentricitet. Och uppenbarligen gäller att
0 ≤ e < 1. Cirkeln är en ellips med excentricitet 0 och både brännpunkterna
sammanfaller.
Den andra egenskapen kan tolkas optiskt, och därmed benämningarna ’brännpunkter’.
Nämligen strålar som utgår från ena brännpunkten reflekteras mot den andra.
Betrakta skaran av ellipser med storaxlarna längs x-axeln med en brännpunkt
i origo och ellipsens högra extrempunkt i (1, 0). Ekvationen av en sådan ellips
ges av
y2
(x − λ)2
+
=1
a2
b2
där det
√ återstår att bestämma a, b, λ. Om excentriciteten är e finner vi att
b = a 1 − e2 . Vidare om högra brännpunkten ligger i origo att ae + λ = 0 och
a(1−e) = 1 medan om den vänstra ligger i origoq
att −ae+λ = 0 och a(1+e) = 1.
1+e
1
e
I det första fallet finner vi lätt a = 1−e
,b =
1−e , λ = − 1−e . Medan i det
andra fallet byter vi bara ut e mot −e. Vi kan då förenkla ekvationen till
x2 (1 − e2 ) + 2xe(1 + e) + y 2 = (1 + e)2
Denna har mening även för e = 1 som ger 4x = 2 − y 2 d.v.s. en parabel Löser
vi ut x i y finner vi
1
y2 + . . .
x=1−
2(1 + e)
När e = 1 får vi således likhet. Med andra ord en parabel är en ellips för vilken
den andra brännpunkten ligger i oändligheten. Strålar som utgår från den kvarvarande brännpunkten konvergerar till den andra brännpunkten i oändligheten
5
och är således parallella. Omvänt strålar parallella med dess axel konvergerar
till brännpunkten. Detta är egenskaper som utnyttjas i astronomin via reflexteleskop. Om e > 1 får vi en hyperbel, den fria brännpunkten har då gått
över sidan och återuppstår till höger. Om 0 > e > −1 kommer den andra
brännpunkten röra sig mot höger och bli den högra brännpunkten.
Ellipser, parablar och hyperblar är alla exempel på andragradskurvor. Hyperbelns ekvation ges av
y2
x2
−
=1
a2
b2
medan parabeln av x = ay 2 om dess axel läggs längs x-axeln. Orden är grekiska
och betecknar ’mindre’,’lika med’ och ’mera’3 . Grekerna initierade studiet av
dessa kurvor genom att skära koner med plan. Den främste antike utforskaren av
kägelsnitt var Apollonius som i Euklides anda, utan ko-ordinater, strikt bevisade
dess fundamentala egenskaper.
Banelementen
För att beskriva en ellips form räcker det med att veta dess excentricitet e. För
dess storlek längden 2a av dess storaxel. För att bestämma dess läge behöver
vi först och främst bestämma det plan i vilket det ligger. Planet är bestämt av
sin normal vilken kan ges av två antipodala punkter på himmelsfären och som
bestämmer en storcirkel på densamma. Det är tradition inom astronomin att
ge planets snitt med ekliptikan, som ger två antipodala punkter som benämns
noder, samt den vinkel i (inklination), den ger med denna. Givet riktningen
på planetens rotation i sin bana kan vi välja ut den ena av de två noderna,
nämligen den vid vilken deklinationen med respekt till ekliptikan växer. Detta
3 På engelska är en liknelse i Bibeln översatt till ’parable’, en överdrift med ’hyperbole’ och
’an ellipsis’ en förkortning
6
är den så kallade växande noden (ascending node) medan den andra noden är
den avtagande (descending). Vinkeln mellan två plan kan bestämmas på två
olika sätt, antingen som θ eller supplementvinkeln π − θ (180 − θ beroende på
vinkelenhet). Om planetens rikting är motsols (vad matematiker kallar positiv)
väljs den mindre av de två riktingarna, är den medsols (så kallad retrograd
rörelse) väljs den större. Inklinationen är således alltid positiv och mindre eller
lika med än 180 grader. En planet med inklination 180o rör sig alltså i samma
plan som ekliptikan, men i retrograd (medsols) rikting. Givet riktningen på
banan kan man välja ut en av enhetsnormalerna, d.v.s. en av de antipoda
punkterna. Detta betyder att man ger planet en orientering, d.v.s vad som är
upp och vad som är ner. På samma sätt har ekliptikan en distingerad normal.
Vinkeln mellan två riktade sträckor är alltid väldefinerad och mellan 0 och 180
grader. Den växande nodens position är given av sin longitud, denna är given av
vinkeln mellan vårdagsjämningspunkten på ekliptikan och noden, och betecknas
traditionellt med Ω. Notera att denna skall inte förväxlas med vinkeln som ger
rektascensionen, som är den ’riktiga’ longituden och räknas efter himmelsekvatorn. Inklinationen i och Ω samt riktningen på banan bestäms av en enda punkt
på himmelsfären.
Exempel 2.1 Givet punkten med deklination ψ = 20o och rektascension θ =
2h bestäm inklination och Ω!
Normalen med dessa sfäriska ko-ordinater ges av cos θ cos ψ, sin θ cos ψ, sin ψ.
I vårt fall gäller ψ = 20o , θ = 360o /12 = 30o vilket ger a = (0.814, 0.470, 0.342).
Normalen för ekliptikan med positiv orientering är given av (0, sin ℓ, cos ℓ) där
ℓ är lutningen på jordaxeln och således given av b = (0, 0.399, 0.917). Tar vi
skalärprodukten a · b av dessa bägge enhetsnormaler erhåller vi 0.501 vilket
motsvaras av vinkeln 59.93o som således är inklinationen. För att finna den
växande noden tar vi istället vektorprodukten och a × b och normaliserar och
finner c = ±(0.340, −0.862, 0.375). Vi tar därefter skalärprodukten med (1, 0, 0)
som pekar till vårdagsjämningspunkten och finner ±0.340 vilket motsvarar vinklarna 19.896o och 160.104o vilken skall vi välja.
7
ω
Ω
ι
När vi väl har bestämt planet måste vi bestämma hur ellipsen befinner sig
i det. Detta betyder att vi måste bestämma storaxelns läge. Storaxeln har två
punkter, nämligen den som är närmast (perihelion) och den som är längst bort
(aphelion). I planet har vi redan en stråle nämligen den som ger den växande
noden. Vinkeln som dessa bägge strålar bestämmer kallas perihelions argument
och betecknas med ω, den kan vara mellan 0o och 360o . Dessa fem numeriska
parametrar är tillräckliga för att bestämma ellipsen. Dessa kallas banelementen.
För att bestämma planetens position krävs ytterligare en parameter, nämligen
planetens position är bestämd av den vinkel u den gör med perihelion. Denna
vinkel är växande om planeten rör sig ’normalt’ d.v.s. positivt och avtagande
om den rör sig retrograd. Till banelementen är det också normalt att tillfoga
omloppstiden T . Givet en tidpunkt (säg t = 0) i vilken planeten befinner sig i
perihelion kan vi vid varje godtycklig tidpunkt t bestämma dess position i rummet och givet Ω, ω och u finna dess position på himlavalvet sed från Solen. På
grund av parallaxen kommer dessa att skilja sig en aning från vad motsvarande
position kommer att vara sedd från jorden, såvida inte en A.E är försumbar
jämfört med storaxelns dimension a.
Konstant area
Låt r(t) vara positionsvektorn med sitt tidsberoende. Mellan tiderna t och
t + dt har denna vektor svept ut en area given av 21 |r(t) × r(t + dt)| = 12 |r(t) ×
(r(t+dt)−r(t))|. Hastigheten av denna areaförändring är således givet av |r× ṙ|.
Dess derivata är således lika med noll om och endast om vektorn sveper ut lika
areor under lika tid. Villkoret är ekvivalent med r × r̈ d.v.s. r, r̈ är parellella,
vilket är precis fallet för alla centralrörelser, d.v.s. kraften är alltid parallell
med positionsvektorn, d.v.s riktad mot eller från en fix punkt. Vi finner att
h = r × ṙ är en konstant, och kan ses som en normal till ellipsens plan. Om vi
använder h = |h| som tidsenhet finner vi att omloppstiden T ges av T h = πab
8
För att beräkna positionen betraktar vi en punkt P ′ på cirkeln med radien
a (halva storaxeln) och centrum i ellipsens centrum. Dess position är given av
vinkeln E som kallas den excentriska anomaliteten. Notera att P ′ inte ligger
på ellipsen utan dess projektion P (vilken vi får genom att skala med lillaxeln,
d.v.s. skala y-koordinaten med b/a). Arean av cirkelsektorn OQP ′ ges av
1
1 2
′
2 a E. Drar vi från arean av triangeln OF P som ges av 2 ae × a sin E erhåller
1 2
′
vi 2 a (E − e sin E) som är arean av F QP . Skalar vi denna vertikalt med b/a
erhåller vi arean F QP som är den area radien har svept över under den tid som
det tagit för den excentriska anomaliteten att växa från 0 till E. Denna area är
således given av 21 ab(E − e sin E).
P’
P
E
φ
O
F
Q
För att denna area skall växa linjärt med tiden finner vi att
E ′ (1 − e cos E) = k
där 21 ab(kT ) = πab således k = 2π
T . Den intressanta och relevanta vinkeln är ψ
kallade den ’sanna anomaliteten’. Sambandet mellan de två är givna av
b sin E = r(E) sin ψ
där r(E) är längden av radievektorn i termer av E. I själva verket gäller att
r(E) = a(1 − e cos E).
Initialvillkor
Givet en position och en hastighetsvektor visavi en centralkropp som utövar
en viss kraft enligt Newtons lag, kommer det att finnas en unik ellips i vilken
kroppen kommer att följa. Om kroppen rör sig i en cirkel kommer hastigheten
att hela tiden vara vinkelrät mot positionsvektorn. Om den rör sig med icke
försvinnande excentricitet kommer det endast att finnas två sådana positioner
under banan, nämligen vid perihelion och aphelion, d.v.s. storaxelns ändpunkter.
9
För varje ellips kommer det finnas två punkter när avvikelsen från det vinkelräta
är som störst, denna maximala avvikelse kan uttryckas i e.
Om initialvektorn är vinkelrät mot positionsvektorn finns det två hastigheter
som ger en cirkelrörelse beroende på vilken riktning planeten kommer p
att röra
g
sig. Denna hastighet beror på massan av kroppen. Den är given av
R där
konstanten g är proportionell mot kroppens massa. Om denna kritiska hastighet
skalas uppstår en ellips. Om hastigheten är mindre än den cirkulära kommer
kroppen hinna falla mer under en given längd än under den cirkulära rörelsen
och avståndet till centrum kommer att avtaga och få ett minimum på motsatta
sidan, medan hastigheten kommer att tilltaga och få ett maximum vid samma
antipodala punkt. Den ellips vi får kommer tangera cirkel på insidan och vara
helt innesluten i denna. Men om hastigheten är större, kommer kroppen falla
mindre under en given längd och vi får en ellips som tangerar cirkeln utifrån och
kommer att omsluta denna. Avståndet kommer att tilltaga medan hastigheten
kommer att avta, och maximu för den förra och minimum för den senare kommer att antas återigen på den motsatta sidan. Ju större hastigheten är desto
längre bort kommer den andra brännpunkten att ligga. Vid en kritisk hastighet
har den nått oändligheten, och banan är en parabel. Denna kritiska hastighet
är samma som flykthastigheten. I detta fall kommer hastigheten att gå mot
noll. Om hastigheten överstiger flykthastigheten kommer hastigheten gå mot
ett gränsvärde strikt större än noll, och banan kommer att vara en hyperbel.
Den andra brännpunkten har då gått över oändligheten och återfinns nu till
höger.
Om vi skalar hastigheten med t kommer partikeln röra sig samma sträcka
under en skalning av tiden med 1/t och därmed falla en sträcka skalad med
y2
1/t2 . Om den cirkulära banan är lokalt given av x = R − 2R
ges, som tidigare
2
y
x = R − 2R(1+e)
. Vi erhåller då t2 = 1 + e.
√
Speciellt fås för e = 1 att t = 2 som anger kvoten mellan flykthastigheten
och den cirkulära hastigheten. Om t < 1 erhåller vi då ett negativt e som
skall tolkas som att centralmassan är belägen vid den bortre brännpunkten.
Således om t1 , t2 är skalningarna vid de motsatta punkterna och R1 = (1 − e)a
är avståndet till närmaste brännpunkten, och därmed
= (1 + e)a till den
q R2 q
g
bortre. De cirkulära hastigheterna kommer att vara R1 , Rg2 respektive och
q
q
hastigheterna i banan t1 Rg1 , t2 Rg2 där t21 = 1 + e och t22 = 1 − e. Adderar vi
påpektas, vid excentricitet e,
g
erhåller vi
den kinetiska energin 12 gv 2 och den potentiella − R
1 2g
2g
t2 − 2
(t
−
=
2 R
R
R
Sätter vi t2 = 1 + e och R = (1 − e)a förenklas det hela till
−
g
a
oberoende av e. I själva verket kommer detta hålla för hela banan.
10
Övningsuppgifter 2
2.1
Tvåkropparproblemet
Om en kropp roterar kring solen på ett visst avstånd säg 1 har den en omloppstid
proportionellt mot kvadraten av solens massa. Samma gäller planeten. Men om
nu solen roterar kring planeten får vi ett helt annat värde på omloppstiden
än om planeten roterar kring solen. Hur kan man matematiskt se skillnaden?
Vi har här ett tvåkroppar problem som vi bortsett från tidigare när planetens
massa har ansetts försumbar i jämförelse med solens och vi därmed bortsett från
dess inverkan. Gör vi det inte finner vi att om två kroppar med massorna M och
m attraheras ömsesidigt att de roterar kring en gemensam jämviktspunkt vars
läge bestäms av hävstångsprincipen i två ellipser med gemensam brännpunkt
på ett sådant sätt att de två kropparna och jämviktspunkten alltid befinner sig
på en rät linje. Keplers tredje lag måste revideras en aning. Vi finner
T2 = k
a3
M +m
Där a är det maximala avståndet mellan kropparna.
Trekropparproblemet
Det klassiska trekropparproblemet rör Solen, Månen och Jorden. Månen påverkas
både av Solen och Jorden. Kraften från Solen är ungefär dubbelt så stor som
den från Jorden (F ), så den sammanlagda kraften kommer att variera stort under Månens omlopp runt Jorden. Vid fullmåne är den som störst och utgör då
3F (2F + f ) medan under nymåne är den som minst F (2F − F ) vid bägge fallen
pekar den mot Solen. Att beräkna och förutsäga Månens rörelse på himlavalvet
med hjälp av Newtons lagar är ett klassiskt problem, och det sägs att inget lär
ha gett Newton en sådan huvudvärk.
Först Månen roterar kring Jorden som i sin tur roterar kring Solen. Man
förväntar sig då en bågig månrörelse, men så är faktiskt inte fallet, Månens bana
runt Solen är inte bara en approximativ ellips (Jordens bana) men faktiskt konvex. För att utreda detta närmare tänker vi oss en planet som roterar kring
Solen i en cirkulär bana och som dessutom har en måne som roterar likaledes i
en cirkulär bana runt planeten. Solens massa kan vi sätta till M medan planetens massa normaliserar vi till 1 (M är således kvoten mellan Solens massa
och planetens). På samma sätt kan vi normalisera planetbanans radie till 1
och månbanans till r. Planetens färd beskrivs av (cos t, sin t) och månens visavi
planeten av (r cos(ωt), r sin(ωt), således om planetens omloppstid är normaliserad till 2π kommer månens omloppstid att vara 2π/ω om ω < 0 har månen
så kallad retrograd rörelse. Vi kan kombinera dessa två rörelser till en enda
via cos t + r cos(ωt + φ), sin t + r sin(ωt + φ) där φ är en fasförskjutning. Det
11
kan vara lämpligt att sätta denna till φ = π. Situationen blir då följande
(cos t − r cos(ωt), sin t − r sin(ωt))
Positionen för A är (1−r, 0) medan positionen för B
är (cos t − r cos(ωt), cos t − r sin(ωt)). Vi betraktar
2
2
små t och kan således skriva (1− t2 −r(1− (ωt)
2 ), t−
rωt). Vi vill nu skriva denna på formen x = 1 −
1 2
r − 2k
y som ger krökningen av månens bana då
den är som minst krökt. Villkoret för att vi skall
1
ha en konvex bana är att 2k
> 0. I vårt fall har
1
2
vi x = (1 − r) − 2 (1 − ω r)t2 och y = (1 − ωr)r
1−ω 2 r 2
och därmed kan vi skriva x = (1 − r) − 12 (1−ωr)
2y .
Således har vi villkoret att 1 − ω 2 r > 0
B
A
Exempel 2.2 I fallet med vår måne har vi r =
1/400 och ω = 365/27 = och således ω 2 r =< 1
Låt oss nu betrakta det dynamiska fallet. Vi
3
1
kan då beräkna ω = M − 2 r− 2 från Keplers tredje
1
lag. Sätt α = ωr = (M r)− 2 och β = ω 2 r =
M −1 r−2 . Kraften mot solen är försvagad på grund
av en motstående kraft från planeten. Om den normala kraften är M är kraften från planeten r−2
1
2
(mera precist ( 1−r
r ) ) kvoten blir 1 − √
M r 2 = 1 − β.
Om den ursprungliga cirkulära hastigheten är v0 blir den nu v0 1 − β. Dock
den aktuella hastigheten är v0 (1 − ωr) = v0 (1 − α) ty månen rör sig i motsatt
riktning från planeten. (Hade det rört sig om en retrograd rörelse hade det
istället varit v0 (1 + α)). Vi multiplicerar således med hastigheten √1−α . Detta
1−β
1−β
betyder att krökningen multipliceras med (1−α)
2 . Nu måste krökningen vara
mindre än den som ges av cirkeln med radien 1 annars kommer månens bana
hela tiden vara inne i denna cirkel, ty månbanan kommer hela tiden ha mindre
krökning. Vi får därmed villkoret
(1 − α)2
≥1
1−β
vilket översätts till 1 − 2α + α2 ≥ 1 − β eller β ≥ 2α − α2 vilket vi förenklar till
−1 −2
3
β
1
2≤ α
= M r− 1 = √1M r− 2 vilket kan förenklas till r ≤
1 . Detta kallas
(M r)
(4M ) 3
2
Hillradien och ger den radie inom vilket en planet behåller sin måne. I fallet
med vår egen Måne rör sig denna radie om 1.5 miljoner km, d.v.s. omkring fyra
gånger större än det aktuella avståndet.
12

Föreläsning 151112

Related documents

Products

Support

Föreläsning 151112

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib