mängd

Datastrukturer och algoritmer
Föreläsning 11
Datastrukturer och algoritmer
Innehåll
Mängd
 Lexikon
 Heap


VT08
Kapitel 13.1-13.2, 13.4-13.6, 14.4 och 14.7 i
kursboken
Datastrukturer och algoritmer
Mängd – modell
VT08
 En
påse, dock inte riktigt bra eftersom
 man kan ha mängder med gemensamma element
o går inte ha saker i flera påsar samtidigt
 inte vill att en mängd ska kunna innehålla andra
mängder
o skillnad jämfört med matematiken!
o inga problem att lagra påsar i påsen
Datastrukturer och algoritmer
Mängd – organisation
VT08
 En
oordnad samling av element som är av
samma typ.
 Grundmängden behöver inte vara ändlig
(heltal) men dataobjekten är ändliga.
 Kan inte innehålla två likadana värden.
 En mängd kan inte innehålla mängder.
Datastrukturer och algoritmer
Mängd – specifikation
VT08
abstract datatype Set(val)
Empty()->Set(val)
Single(v:val)->Set(val)
Insert(v:val,s:Set(val))->Set(val)
Union(s:Set(val),t:Set(val))->Set(val)
Intersection(s:Set(val),t:Set(val))->Set(val)
Difference(s:Set(val),t:Set(val))->Set(val)
Isempty(s:Set(val))->Bool
Member-of(v:val,s:Set(val))->Bool
Choose(s:Set(val))->val
Remove(v:val,s:Set(val))->Set(val)
Equal(s:Set(val),t:Set(val))->Bool
Subset(s:Set(val),t:Set(val))->Bool
Datastrukturer och algoritmer
Mängd – specifikation
VT08
 Alla
metoder som finns i boken behövs inte.
 Empty, IsEmpty, Insert, Choose och Remove
skulle räcka.
 Man har tagit med de vanliga matematiska
mängdoperationerna.
Datastrukturer och algoritmer
Konstruktion av mängd
VT08
 Går
i princip att konstrueras i vilken dynamisk
datatyp som helst.
 Men inte säkert att det blir effektivt...
 Man
måste hantera dubbletter.
 Mängd
som lista har två alternativ:
 Se till att listan inte har dubbletter (krav på SetInsert och Union)
 Låt listan ha dubbletter (krav på Equal, Remove,
Intersection, Difference)
Datastrukturer och algoritmer
Konstruktion av mängd som lista
VT08

Komplexitet:
 Metoder som kräver sökningar i listan O(n)
 Binära mängdoperationerna kräver (pga nästlad iteration)
O(m*n)
 Listan kan konstrueras på olika sätt. Sorterad lista tex är
effektivare för de binära mängdoperationerna.
+ Grundmängden kan vara mycket stor
+ Delmängderna kan både vara mycket små och
mycket stora utan utrymmesförluster (om man
implementerar listan på rätt sätt)
- Flera operationer blir slöa jämfört med andra val.
Datastrukturer och algoritmer
VT08
Konstruktion av mängd som
bitvektor
 En
bitvektor är en vektor med elementvärden
av typen Bit = {0,1}
 Ibland tolkas 0 och 1 som falskt resp. sant, dvs
Bit identifieras som datatypen Boolean
 Grundmängden
måste ha en diskret linjär
ordning av elementen.
 Dvs, man kan numrera dem.
 Bit
k i bitvektorn motsvarar det k:te elementet
i grundmängden.
 Biten är 1 om elementet ingår i mängden.
Datastrukturer och algoritmer
Konstruktion av mängd som
bitvektor

 Dvs man gör operationen samtidigt på alla element i
vektorn. Detta gör många metoder effektiva.
+
-
VT08
Om bitvektorn finns implementerad som ett eller
flera ord i datorns primärminne kan man utnyttja
maskinoperationer.
Relativt effektiv i allmänhet, mycket effektiv som
ovan.
Grundmängden måste vara ändlig och i praktiken rätt
så liten. Reserverar minne proportionellt mot
grundmängdens storlek.
Om man har många små mängder i en tillämpning
blir det dålig effektivitet i minnesutnyttjandet.
Datastrukturer och algoritmer
VT08
public class IntSet
{
private boolean[] set;
private final int MAXLEN=100;
public IntSet(){
set = new boolean[MAXLEN];
}
public void single(int num){
set = new boolean[MAXLEN];
set[num] = true;
}
public void insert(int num){
set[num] = true;
}
Mängd av
heltal som
boolsk vektor
Datastrukturer och algoritmer
VT08
public IntSet union(IntSet t){
IntSet newSet = new IntSet();
for(int i=0;i<MAXLEN;i++){
if (set[i] || t.memberOf(i))
newSet.insert(i);
}
return newSet;
}
public IntSet intersection(IntSet t){
IntSet newSet = new IntSet();
for(int i=0;i<MAXLEN;i++){
if (set[i] && t.memberOf(i))
newSet.insert(i);
}
return newSet;
}
Datastrukturer och algoritmer
VT08
public IntSet difference(IntSet t){
IntSet newSet = new IntSet();
for(int i=0;i<MAXLEN;i++){
if (set[i] && !t.memberOf(i))
newSet.insert(i);
}
return newSet;
}
public boolean isEmpty(){
for(int i=0;i<MAXLEN;i++){
if (set[i])
return false;
}
return true;
}
public boolean memberOf(int num){
return set[num];
}
Datastrukturer och algoritmer
VT08
public int choose(){
for(int i=0;i<MAXLEN;i++){
if (set[i])
return i;
}
// Här borde vi skapa ett undantag!
return -1;
}
public void remove(int num){
set[num] = false;
}
public boolean equal(IntSet t){
for(int i=0;i<MAXLEN;i++){
if (set[i] != t.memberOf(i))
return false;
}
return true;
}
Datastrukturer och algoritmer
VT08
public boolean subSet(IntSet t){
for(int i=0;i<MAXLEN;i++){
if (t.memberOf(i) && !set[i])
return false;
}
return true;
}
public void printOut(){
System.out.print("{");
for (int i=0; i<MAXLEN; i++){
if(set[i])
System.out.print(i+ ", ");
}
System.out.println("}");
}
}
Datastrukturer och algoritmer
Lexikon
VT08
 En
förenklad mängd där man tagit bort union,
intersection, difference, subset och equal.
 Kvar är det man behöver för att kunna hålla
ordning på en samling objekt:
 empty
 isempty(s)
 insert(v, s)
 remove(v, s)
 memberOf(v, s)
Datastrukturer och algoritmer
Lexikon
VT08
 Ett
lexikon är som en tabell utan tabellvärden.
 Alltså fungerar datatypen lexikon inte som en
uppslagsbok (lexikon).
 Saknar
metoder för att kombinera lexikon till
nya lexikon.
 Oftast behöver man bara skapa ett lexikon en
enda gång.
 Lexikon är en solitär datatyp. Man kan bara göra
modifieringar av isolerade dataobjekt.
 En icke-solitär datatyp har stöd för att
kombinera/bearbeta två eller flera dataobjekt.
Datastrukturer och algoritmer
Konstruktion av lexikon
VT08
 Kan
få betydligt effektivare konstruktioner när
antalet och typen av metoder är begränsade.
 Två konstruktioner av lexikon:
 Lexikon som Hashtabell (redan gjort, förel. 4)
 Lexikon som Binärt sökträd
 Lexikon som Trie (nästa föreläsning)
 Eftersom
Lexikon är så likt Tabell kan dessa
konstruktioner med små ändringar bli effektiva
konstruktioner av en tabell.
Datastrukturer och algoritmer
Binärt sökträd
VT08
 Används
för sökning i linjära samlingar av
dataobjekt, specifikt för att konstruera tabeller
och lexikon.
 I ett vanligt binärt träd kan man i värsta fall
måsta besöka alla noder för att hitta ett
element.
Datastrukturer och algoritmer
Binärt sökträd – Organisation
VT08
 Ett
binärt träd som är sorterat med avseende på
en sorteringsordning R av etikettypen så att
 I varje nod N gäller att alla etiketter i vänster
delträd går före N som i sin tur går före alla
etiketter i höger delträd.
 Alla noder är definierade.
Datastrukturer och algoritmer
Informell specifikation

Skiljer sig från ett vanligt binärt träd:
 Alla noder måste ha etiketter.
o Ta bort Create, Has-Label och Set-Label och inför Make som
skapar rotnod med värde.
o Insert-operationerna utökas med ett etikettvärde.
 Man ska kunna ta bort inre noder också, inte bara löv.
o Positionsparametern i Delete-node behöver inte peka på ett löv.
o När man rycker bort en inre nod slits trädet sönder. Hur lagar
man det?
 Är nedåtriktat
o Parent kan utelämnas.
 Eftersom trädet är sorterat kan man inte få stoppa in ett
nytt element vart som helst.
o Måste uppfylla sorteringsordningen.
VT08
Datastrukturer och algoritmer
Varför sorterat träd?
Det går snabbare att söka i strukturen…
 För binärt sökträd:

 Kolla om det sökta värdet finns i den aktuella noden.
 Om inte sök rekursivt nedåt i vänster eller höger delträd
beroende på om det sökta elementet kommer före eller
efter nodens värde i sorteringsordningen.

Om det binära trädet är komplett:
 Värstafallskomplexitet för sökning O(log n) för ett träd
med n noder.
 Hur ser man till att trädet blir komplett vid insättning?
o Kommer lite senare när vi pratar om en Heap
VT08
Datastrukturer och algoritmer
Insättning i binärt sökträd
Bild från sidan 289 i Janlert L-E., Wiberg T., Datatyper och algoritmer, Studentlitteratur, 2000
 Se
också animeringen på sidan
http://people.ksp.sk/~kuko/bak/big (välj BST)
VT08
Datastrukturer och algoritmer
Borttagning av nod i binärt sökträd
VT08

Hur tar bort en nod mitt i ett träd?
 Om den borttagna noden bara hade ett delträd:
o Lyft upp det ett snäpp
 Om den borttagna noden hade två delträd:
o Välj noden med det minsta värdet i höger delträd som ersättning
(alternativt noden med största värdet i vänster delträd).

Detta är standardkonstruktionen, är upp till den som
implementerar trädet.
 De vanligaste tillämpningarna är inte beroende av denna
detalj.
 Viktigt att visar sitt beslut i specifikation och
dokumentation.
Datastrukturer och algoritmer
VT08
→
→
Bild från sidan 289-290 i Janlert L-E., Wiberg T., Datatyper och algoritmer, Studentlitteratur, 2000
Datastrukturer och algoritmer
Varför inte ändra gränsytan?
VT08
Eftersom man inte får sätta in ett nytt element vart
som helst så kanske man lika gärna kan ersätta
insert-left och insert-right med en metod place som
automatiskt placerar det rätt?
 På samma sätt ersätta delete-node(pos, bt) med
remove(val, bt)?
 Bägge dessa metoder ligger på en högre
abstraktionsnivå än övriga metoder i gränsytan.

 Place implementerar man i huvudsak med hjälp av andra
metoder i gränsytan vilket är lite märkligt.
 Strukturen döljs (för oss) och blir mer lik en mängd.
Datastrukturer och algoritmer
Tillämpningar av Binärt sökträd
VT08
 Framför
allt till konstruktioner av Lexikon och
Tabell.
 Notera att inorder-traversering av binärt
sökträd ger en sorterad sekvens av de ingående
elementen.
 Kan alltså sortera element genom att stoppa in
dem ett och ett i ett tomt Binärt sökträd och sedan
traversera det.
Datastrukturer och algoritmer
Generaliseringar
VT08
 Ett
binärt sökträd underlättar sökning i en endimensionell datamängd.
 Lätt att generalisera detta till sökning i en 4dimensionell datamängd (quadtree) eller så
hög dimension man önskar (tex octtree).
Datastrukturer och algoritmer
Quadtree (Fyrträd)
VT08
 Organiserat
som ett binärt träd med
förgreningsfaktor 4 istället för 2.
 Tolkning (vanligast):
 Rotnoden delar in den givna ytan (oftast kvadrat)
i fyra lika stora kvadrater. Vart och ett av de fyra
barnen delar i sin tur sin kvadrat i fyra osv. Inga
koordinater behöver lagras i inre noder.
 Kan
användas för att lagra lägesinformation
för punktformiga grafiska objekt.
Datastrukturer och algoritmer
Quadtree – forts.
VT08
 Man
kan också använda det för att
representera kurvor och ytor.
 Svarta kvadranter – fylls helt av objektet
 Grå kvadranter – fylls delvis av objektet
 Vita kvadranter – innehåller inte objektet
 Exempel
på tillämpning
 GIS
 qtdemo i Matlab på peppar
Datastrukturer och algoritmer
På Matlabs hemsida om Image
processing toolbox
VT08
Image and a Representation of Its Quadtree Decomposition
Datastrukturer och algoritmer
Heap/Hög
VT08
 Ett
partiellt sorterat binärt träd
 Etiketterna är sorterade efter en relation R så att a
är förälder till b endast om a är före b i ordningen
som ges av R.
 Insättningar och borttagningar görs så att trädet
hålls komplett.
 Insert O(log n), Delete-first O(log n)
 Kan
användas tex för att konstruera en
prioritetskö.
Datastrukturer och algoritmer
Insättning i en Heap
VT08
 Placera
den nya noden på första lediga plats.
 Låt sedan noden vandra uppåt i heapen tills det
hamnat rätt i sorteringsordningen eller blivit
rot.
Datastrukturer och algoritmer
Borttagning ur en heap
VT08
 Ersätt
noden som ska tas bort med den ”sista”
noden i heapen.
 Låt denna vandra ned tills den hamnat ”rätt”
eller nått ”botten”.
Datastrukturer och algoritmer
Animering
VT08
 Längst
ned på sidan
http://people.ksp.sk/~kuko/bak/big (välj Heap)