Uppsala Universitet
Matematiska institutionen
Isac Hedén
Algebra I, 5 hp
Sammanfattning av föreläsning 11.
Uppräknelighet
Hur många naturliga tal finns det? Oändligt många förstås. Hur många heltal finns det? Hur
många rationella/reella/komplexa tal finns det? Svaret på alla dessa frågor är: ”oändligt många”.
Dagens föreläsning handlade om att jämföra oändliga mängders storlek med varandra. Ett
centralt begrepp är uppräknelighet.
Om A är en ändlig1 mängd så definierar vi |A| som antalet element i A.
Exempel 0.1. Om vi tar A = {4, 8, 12, 17}, så gäller det att |A| = 4.
Låt A och B vara ändliga mängder. Om det finns en injektiv funktion f : A −→ B, så
följder det att |A| ≤ |B|, och om det finns en bijektiv funktion från A till B så följder det att
|A| = |B|.
Vi tar vara på den observationen, och överför den till att gälla även för oändliga mängder,
där vi istället för antal element talar om kardinalitet:
Definition 0.2. Om det finns en injektiv funktion f : A −→ B, säger vi att mängden A har
mindre eller samma kardinalitet som mängden B, och om det finns en bijektiv funktion från A
till B, säger vi att A har samma kardinalitet som B.
Kardinalitetsbegreppet är reflexivt, symmetriskt och transitivt i meningen att
a) Varje mängd har samma kardinalitet som sig själv.
b) Om A har samma kardinalitet som B så har B samma kardinalitet som A.
c) Om A har samma kardinalitet som B och B har samma kardinalitet som C, så har A
samma kardinalitet som C.
En mängd som har samma kardinalitet som N kallas för uppräknelig (eller numrerbar).
Vad det betyder är följande: En oändlig mängd X är uppräknelig om det går att räkna upp
dess element. Det vill säga om man kan para ihop elementen i mängden med de naturliga
talen. En mängd är alltså uppräknelig om vi kan skriva dess element i en följd, som X =
{x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , . . .} där xi ∈ X är det element som vi parat ihop med det naturliga talet i.
Exempel 0.3.
a) Mängden av naturliga tal är uppräknelig, via den ”uppenbara” uppräkningen:
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
1
Som definition för en ändlig mängd, om det nu behövs, kan vi ta följande: En mängd X kallas för ändlig om
det inte finns någon injektiv funktion f : N −→ X.
b) Mängden av alla heltal är uppräknelig, nämligen via funktionen
f : N −→ Z
{
n
7→
− n2
n+1
2
om n är jämnt.
om n är udda.
Motsvarande uppräkning av heltalen är:
N 0 1
2 3
4 5
6 7
8 9 ...
Z 0 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 5 . . .
c) Det kan hända att en mängd är uppräknelig trots att den är en äkta delmängd av de
naturliga talen. Det är till exempel fallet för delmängden X av N som består av alla jämna
naturliga tal, via funktionen
f : N −→ X
n
7→
2n.
Motsvarande uppräkning av de jämna talen är
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
X 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 . . .
Alltså har mängden X av jämna naturliga tal samma kardinalitet som mängden av alla
naturliga tal. Det finns ”lika många” naturliga tal som det finns jämna naturliga tal.
d) Det öppna intervallet I = (−π/2, π/2) har samma kardinalitet som R, via funktionen
tan : I −→ R
x
7→
tan x.
På föreläsningen visade vi ett sätt att numrera de rationella talen, och därifrån följer det
att N och Q har samma kardinalitet. Däremot går det inte att numrera de reella talen. ”Det
finns för många av dem” eller, i mer precisa termer, N har lägre kardinalitet än R.
Sats 0.4. Mängden av reella tal är inte uppräknelig.
Bevis. Antag motsatsen, dvs. att det finns en numrering av de rella talen så att
R = {r0 , r1 , r2 , r3 , r4 , . . .}.
Om ri = Ai , ai0 ai1 ai2 . . . – alltså att heltalsdelen är Ai och att decimalutvecklingen är ai0 ai1 ai2 . . .
– kan vi skriva talen på rad efter varandra på följande vis:
r0 =
r1 =
r2 =
r3 =
r4 =
..
.
A0 ,
A1 ,
A2 ,
A3 ,
A4 ,
..
.
a00
a10
a20
a30
a40
..
.
a01
a11
a21
a31
a41
..
.
a02
a12
a22
a32
a42
..
.
a03
a13
a23
a33
a43
..
.
a04
a14
a24
a34
a44
..
.
...
...
...
...
...
..
.
Vi tar två siffror på måfå, till exempel 3 och 7. Bilda nu talet b = 0, b0 b1 b2 b3 . . . ∈ R, som för
varje i = 0, 1, 2, 3, . . . uppfyller:
{
bi = 7 om aii = 3
bi = 3 om aii 6= 3.
Då är det reella talet b inte med i listan, trots att den innehåller alla reella tal. Motsägelse!
Anledningen till att det inte står med i listan är att det på decimal i skiljer sig från ri . Alltså
skiljer sig talet b på något sätt från alla tal i listan.
Definition 0.5. Potensmängden P(X) av en mängd X är mängden av alla delmängder till X.
Exempel 0.6. Om X = {1, 2, 3} så är P(X) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, X}.
Om X är en ändlig mängd med n element, så består P(X) av 2n element. Det är alltså
klart att det inte finns någon bijektion mellan X och P(X). Följande sats, vars bevis är en bra
övning i logik och mängdlära, säger att samma sak gäller även om X är oändlig.
Sats 0.7. Låt X vara en godtycklig mängd. Då finns det ingen bijektion mellan X och P(X).
Bevis. Antag motsatsen, alltså att det finns en bijektion f : X −→ P(X). Bilda följande
delmängd av X:
A = {x ∈ X | x ∈
/ f (x)}.
Eftersom A är ett element i P(X), och eftersom f är en bijektion så finns ett element s ∈ X
sådant att f (s) = A. Men då får vi följande motsägelse:
s∈A⇔s∈
/ A.
Sats 0.8. (Cantor-Schröder-Bernstein) Låt A och B vara två mängder. Om det finns en injektiv
funktion f : A −→ B och en injektiv funktion g : B −→ A, så finns det en bijektion mellan A
och B.
Bevis. Beviset utelämnas eftersom det är lite omständigt.
Vad Cantor-Schröder-Bernsteins sats säger är alltså att om A:s kardinalitet är mindre än
eller lika med B:s kardinalitet och B:s kardinalitet är mindre än eller lika med A:s kardinalitet,
så har de samma kardinalitet. Satserna 0.7 och 0.8 är bra att ha sett och att känna till, men får
ändå ses som överkurs för tillfället.
