Kap 4 – energianalys av slutna system

Kap 4 – energianalys av slutna system
Slutet system:
energi men ej massa kan röra sig över systemgränsen.
Exempel: kolvmotor med stängda ventiler
1
Kap 4 – energianalys av slutna system
Volymändringsarbete (boundary work)
Exempel: arbete med kolv
∂Wb = Fds = PAds = PdV
2
Wb = ∫ PdV
1
Wb = boundary work – arbete mot yttre tryck
• positivt vid expansion
• negativt vid kompression
Kom ihåg! Positivt arbete uträttas av systemet!
2
Kap 4 – energianalys av slutna system
3
Vilken process uträttar aldrig
något volymändringsarbete?
A. En cykel med
samma start- och
slutvolym
B. En process med
konstant
temperatur
C. En process med
konstant volym
D. Varken A eller C
0%
A.
0%
B.
0%
C.
0%
D.
4
Kap 4 – energianalys av slutna system
Volymändringsarbete:
1. Isobar process (konstant tryck)
2. Isokor process (konstant volym)
3. Isoterm process (konstant temperatur)
5
Kap 4 – energianalys av slutna system
4. Polytrop process
6
Vilket eller vilka påståenden är
korrekt enligt vår konvention?
A. Ett positivt arbete (Wnet > 0)
utförs av ett system.
B. Positiv värme (Qnet > 0)
betyder att värme tillförs ett
system.
C. En adiabatisk process har
konstant temperatur.
D. A och B är rätt
E. A och C är rätt
F. B och C är rätt
G. A, B och C är rätt
0%
0%
0%
0%
0%
0%
A.
B.
C.
D.
E.
F.
0%
G.
9
Kap 4 – energianalys av slutna system
Energibalans för en stationär process med konstant tryck
Exempel 4.5 i boken
En kolv-cylinder-behållare innehåller
25g mättad vattenånga vid trycket 300
kPa (konstant). En resistans-värmare
sätts på och värmer ångan under 5 min
med en ström på 0.2 A från ett 120 V
batteri. Under processen sker en
värmeförlust på 3.7 kJ.
(a) Visa att volymförändringsarbetet
Wb och förändringen i inre energi
kan kombineras till en term
(entalpi).
(b) Bestäm ångans slutliga temperatur.
10
Kap 4 – energianalys av slutna system
Specifik värme
• Specifik värme vid konstant volym, cv: Den energi som behövs för att höja
temperaturen på en enhetsmassa av en substans med 1 grad när volymen
hålls konstant.
• Specifik värme vid konstant tryck, cp: Den energi som behövs för att höja
temperaturen på en enhetsmassa av en substans med 1 grad när tycket
hålls konstant.
11
Specifik värme: energi som behövs för att
höja temepraturen på ett kg med 1 K.
Vilket är störst?
A. cp energiåtgång
vid konstant tryck
B. cv energiåtgång
vid konstant volym
C. De är lika stora
0%
A.
0%
B.
0%
C.
12
Kap 4 – energianalys av slutna system
Specifik värme
• Specifik värme vid konstant volym, cv: Den energi som behövs för att höja
temperaturen på en enhetsmassa av en substans med 1 grad när volymen
hålls konstant.
• Specifik värme vid konstant tryck, cp: Den energi som behövs för att höja
temperaturen på en enhetsmassa av en substans med 1 grad när tycket
hålls konstant.
• Om tycket är konstant åtgår energi för
att expandera gasen => cp > cv
• Kvoten k = cp / cv
• Värden på specifik värme finns i tabeller
13
Kap 4 – energianalys av slutna system
Definition av specifik värme
Vid konstant volym utförs inget arbete och all tillförd energi blir inre energi.
Vid konstant tryck utförs ett arbete samtidigt som måste kompenseras för
genom att tillföra mer energi!
Enhet för specifik värme är kJ/kg , ͦC = kJ/kg,K
Enhet för specifik värme är kJ/kg · °C = kJ/kg · K
14
Kap 4 – energianalys av slutna system
Ideal gas: inre energi, entalpi och specifik värme
dvs u, h, cv och cp beror
Joule visade att:
endast av temperaturen
(för en ideal gas)!
Detta återkommer i kapitel 12!
15
Kap 4 – energianalys av slutna system
Viktiga samband för ideala gaser:
• k varierar med T men mycket
långsamt
• För enatomiga gaser är k ≈ 1.667 och
oberoende av temperatur
• För många tvåatomiga gaser (även
luft) är k ≈ 1.4 vid rumstemperatur
16
Kap 4 – energianalys av slutna system
Specifik värme för ideala gaser som funktion av temperatur
Ju komplexare gas, desto komplexare
temperaturberoende för cp och cv
Men linjärt för små temperaturintervall!
Enatomiga gaser har konstant cp och cv
17
Kap 4 – energianalys av slutna system
Beräkning av ∆h och ∆u för ideal gas; 3 sätt!
1.
u och h ur tabell
2.
Integrera relationerna ∆u = ∫ cv (T )dT och
3.
Använd medelvärden på cp och cv (för små temperaturintervall):
∆h = ∫ c p (T )dT
18
Kap 4 – energianalys av slutna system
Specifik värme för fasta kroppar och vätskor
• Anses inkompressibla,
dvs har konstant volym => cp = cv = c
Förändring i inre energi, u
∆u = u2 − u1 = ∫ c(T )dT ≈cavg (T1 − T2 )
19
Kap 4 – energianalys av slutna system
Specifik värme för fasta kroppar och vätskor, forts.
Förändring i entalpi, h
1.
2.
Vätskor
–
Konstant tryck (t.ex. värmare) => ∆P = 0 => ∆h = ∆u= cavg∆T
–
Konstant temperatur (t.ex. pumpar) => ∆T = 0 => ∆h = v∆P
Fasta kroppar => ∆P = 0 => ∆h = ∆u= cavg∆T
20
Jag behöver beräkna en entalpiskillnad för
vattenånga (nära kondensation). Hur gör jag?
A. Slår i ångtabeller så
klart!
B. Vet ej.
C. Använder relationen
0%
A.
0%
B.
0%
C.
21
Jag behöver beräkna en entalpiskillnad för en
ideal gas. Hur gör jag?
A. Slår i ångtabeller så
klart!
B. Vet ej.
C. Använder relationen
0%
A.
0%
B.
0%
C.
22
Lite kinetisk gasteori
Tryck, inre energi och specifik värme i en ideal gas.
På tavlan!
Beskrivs i pdf-filen: Beckman_Gasteori.pdf
23
Lite kinetisk gasteori
Tryck och energi i en ideal gas
Statistisk metod att beskriva en ideal gas. En enkel teoretisk modell som
bygger på följande antaganden:
• Varje molekyl är en fri partikel.
• Varje molekyl är punktformig; den egna volymen
försummas.
• Molekylerna växelverkar inte med varandra.
Etot = ∑ Ek i
•
i
• Partiklarna i gasen är alltså en samling fria
partiklar som helt beskrivs av sin massa, m och
hastighet w. Om vi känner alla m och w kan vi
beräkna makroskopiska parametrar som tryck
med hjälp av statistiska metoder!
24
Lite kinetisk gasteori
Tryck, inre energi och specifik värme i en ideal gas.
1
3
2
Tryck i en ideal gas: P = ρ w
1
3
Kinetiska gasteorins grundekvation: m w2 = kT
2
2
k = Boltzmanns konstant
Inre energin för enatomiga gaser:
3
u = RT
2
du 3
R
Specifik värme för enatomiga gaser: cv =
= R= f ⋅
dT 2
2
f = frihetsgrad
Här är R = RU/M med RU = allmänna gaskonstanten
25
Lite kinetisk gasteori
Tryck, inre energi och specifik värme i en ideal gas.
cv + R 2 + f
=
Kvoten cp/cv för ideala gaser: k = =
cv
cv
f
cp
• Enatomiga gaser har f = 3 => k = 5/3 ≈ 1.67
ex: He, Kr, Ne, Ar, Xe
• Tvåatomiga gaser har f = 5 => k = 7/5 = 1.4
ex: N2, O2, CO, luft
• Fleratomiga gaser har f = 6 => k = 8/6 ≈ 1.33
ex: CO2, CH4, H2O
26
Lite kinetisk gasteori
Maxwell-Boltzmanns hastighetsfördelning (brukar härledas i stat. mek!)
James Maxwell visade 1860 att hastighetsfördelningen per volymenhet, för molekyler i
en ideal gas kan beskrivas av:
2

− mv
2 kT 
2 
n (v ) = C ⋅ v e
(v = hastighet)
k = Boltzmanns konstant = 1.38∙10-23 J/K
Integration över alla hasigheter ger totala
antalet partiklar per volymenhet:
∞
n = ∫ n(v)dv =
0
N
V
Konstanten fås genom vald normering, med
∞
∫ n(v)dv = 1
0
fås
 m 
C = 4πn

2
π
kT


3
2
27
Lite kinetisk gasteori
Maxwell-Boltzmanns hastighetsfördelning
Medelhastighet:
3
2

− mv
2 kT 
2 
 m 
n(v) = 4πn
 ⋅v e
 2πkT 
2
OBS!
R = allmänna gaskonstanten = 8.31447 kJ/kmol,K
NA = Avogadros konstant = 6.022∙10-23 molekyler/mol
28
Lite kinetisk gasteori
Maxwell-Boltzmanns hastighetsfördelning
Mest sannolika hastigheten, vp:
Fås genom att derivera fördelningen och
sätta derivatan = 0
2kT
dn(v)
= 0 ⇒ vp =
dv
m
Kvadratiska medelhastigheten (root mean
square):
vrms =
3
 m  2 2 − mv
n(v) = 4πn
 ⋅v e
 2πkT 
2
v2 =
3kT
m

2 kT 
29