Ämnesdidaktiska projekt i matematik
Vetenskaplig ledare: Inger Eriksson
Koordinatorer: Verner Gerholm, Anna-Karin Nordin, Cecilia Sträng,
Sanna Wettergren
Pågående projekt
Kritiska aspekter i ljuset av tidigare studier – en jämförande studie där
kritiska aspekter från tidigare Learning Studies belyser den egna skolans
studier
Projektperiod
Ht 2012 – Vt 2014
Bakgrund
På vår skola har vi under flera år arbetat med Learning Study (LS) som ett verktyg för kollegialt
lärande och utveckling av den ämnesdidaktiska kunskapen och diskussionen på skolan. Vid en studie i
år 8 såg vi att förmågan att föreställa sig en tallinje är betydelsefull vid subtraktion av negativa tal.
Under vt-12 genomfördes en studie där vi undersökte femåringars förståelse för jämna mellanrum,
föremål fördelade på en sträcka. Vi såg även här en koppling till tallinjen och började fundera över
hur förståelsen för tallinjen kan se ut och utvecklas genom undervisning. Genom dessa bägge studier
väcktes också ett intresse för hur man kan dra nytta av andra LS genom att utgå från deras resultat.
Syfte
Syftet med studien är att analysera och beskriva förståelse och hantering av talsystemets
representation i form av en tallinje för elever i olika åldrar.
Frågeställningar
1. Vilka kritiska aspekter för LO kopplade till tallinjen har urskilts i tidigare studier?
2. Vilka kritiska aspekter kan vara aktuella för våra elever då det gäller lärandeobjekt kopplade till
tallinjen?
Metod
Tre Learning Studies genomförs med elever i olika åldrar på skolan under perioden ht-12 till vt-14. Vi
prövar hur erfarenheter från tidigare studier kan användas för att finna lärandeobjekt och dess
kritiska aspekter. Elevernas förståelse av de kritiska aspekterna analyseras genom videofilmning,
ljudupptagning, intervjuer och skriftliga tester både före och efter de undervisningstillfällen som
planeras enligt den iterativa LS-cykeln. Studiernas resultat jämförs med tidigare studier. Dessa
tidigare studier tillsammans med variationsteorin utgör den teoretiska bakgrunden för studien.
Förväntat kunskapsbidrag
Vi vill belysa betydelsen av elevers förståelse av tallinjen och hur en inre sådan kan påverka förmågan
att förstå och hantera tal. Genom att samla lärandeobjekt och analysera kritiska aspekter kopplade
1
till dessa vill vi bidra till ämnesdidaktisk kunskap och inspiration för lärare att samverka kring
undervisningens innehåll.
Läs reportaget i LÄRA #2/2013 s. 20-21.
Projektdeltagare
Studie 1: Marie Björk, Gunilla Pettersson Berggren, Karin Finnmark, Cecilia Lind, Angelina Maric, Eda
Wolfman
Studie 2: Marie Björk, Gunilla Pettersson Berggren, Jörgen Klippmark, Eva-Liisa Korpa, Ann-Sophie
Tillnert
Studie 3: Marie Björk, Gunilla Pettersson Berggren, Charlotta Håstlund, Gunilla Isaksson, Susanne
Laudon, Karolina Norrman, Sjöstadsskolan.
Learning study om att förstå logaritmer som en spegling av tal mellan två
tallinjer
Projektperiod
Ht 2012 – Vt 2014
Bakgrund
De flesta lärare och elever håller nog med om att logaritmer är ett besvärligt område inom
matematiken. Enligt kursplanen i ma2b står att innehållet ska behandla "Begreppet logaritm i
samband med lösning av exponentialekvationer" och i ma2c att " Begreppet logaritm, motivering och
hantering av logaritmlagarna", men resultat på till exempel nationella prov visar att
lösningsfrekvensen för uppgifter som behandlar logaritmer är mycket låg.
Logaritmbegreppet är komplext och beskrivs och förklaras i kurslitteratur på gymnasie- och
högskolan med hjälp av tröskelbegrepp som kontinuitet, funktioner och inversa funktioner, vilket kan
vara ett hinder för många elevers förståelse för begreppet. Tidigare internationell forskning visar
också att det finns allvarliga missuppfattningar kring begreppet.
I detta projekt konstrueras olika lärandeuppgifter för eleverna, där logaritmbegreppets
kulturhistoriska ursprung och konstruktion återskapas. Den iscensatta lärandeverksamheten skall ge
eleverna möjlighet att förstå logaritmer i ren form, som en linjär-geometrisk spegling av tal mellan
två tallinjer, i så fall utan att använda några tröskelbegrepp.
För att kunna urskilja nödvändiga aspekter av definitionen för till exempel tiologaritmer, konstrueras
även uppgifter där eleverna behöver använda matematiska symboler och koder som redskap för att
beskriva relationen som ett exponentiellt-logaritmiskt samband. Poängen är att eleverna först skall
förstå innebörden av logaritmer, som sedan kan beskrivas med hjälp av funktionslära, istället för
tvärtom.
Syfte
Syftet med studien är att bidra till en fördjupad kunskap om logaritmbegreppets innebörd och hur
det är beskaffat samt vad det är man måste lära sig för att kunna detta.
Frågeställningar
1. Vad är nödvändiga förutsättningar för att eleverna skall kunna utveckla en förståelse för
logaritmbegreppets beskaffenhet?
2. Hur kan uppgifterna konstrueras utifrån logaritmbegreppets historiska innebörd så att de öppnar
upp för eleverna att utveckla kunskap om den ursprungliga konstruktionen och syftet med
logaritmer?
2
3. Hur kan uppgifterna konstrueras så att eleverna använder den matematiska definitionen för att
beskriva innebörden av tiologaritmer?
Metod
Studiens fokus är på ett specifikt matematiskt innehåll, nämligen logaritmer och vad som är kritiskt
för att utveckla en förståelse för begreppet. De uppgifter som används i forskningslektionerna
analyseras och konstrueras gemensamt av en lärargrupp med hjälp av variationsteori och
verksamhetsteori. Data som genereras av genomförda test och filmade lektioner analyseras i relation
till studien syfte och intentioner. Resultatet som dessa analyser ger används i den iterativa processen
som erbjuds i en Learning Study för att utveckla uppgifterna och undervisningsdesignen under
studiens gång.
Rent praktiskt innebär detta att lärarna behöver tid för att ta del av aktuella teorier och relevant
forskning inom området samt tid för att planera, auskultera, analysera och revidera
forskningslektionerna.
Förväntat kunskapsbidrag
Studien ger både ett ämnesdidaktiskt och ett metodutvecklande bidrag. Resultatet skall ge en större
förståelse för vad som är kritiskt för att förstå innebörden av logaritmbegreppet, men även bidra till
ytterligare kunskaper inom forskningsområdet som behandlar tröskelbegrepp. De uppgifter och den
praktik som beskrivs i studien ger också ett bidrag till att utveckla den procedurinriktade
undervisningspraktik som är rådande idag, genom att visa hur undervisningen kan planeras och
iscensättas för en fördjupad förståelse av logaritmbegreppet.
Projektdeltagare
Jenny Alpsten, Södra Latins gymnasium
Daniel Dufåker, Södra Latins gymnasium
Roger Fermsjö, Södra Latins gymnasium
Tobias Ericson (extern)
Rickard Fors, Södra Latins gymnasium
Patrik Friggebo, Södra Latins gymnasium
Freddy Grip (lärarstudent/vikarie), Södra Latins gymnasium
Jonas Klingberg, Södra Latins gymnasium
Marina Lidman, Södra Latins gymnasium
Erik Melander, Södra Latins gymnasium
Erika Merchel, Södra Latins gymnasium
Per-Olof Nilsson, Södra Latins gymnasium
Pernilla Stamming, Södra Latins gymnasium
Annicka Wahlström, Södra Latins gymnasium
Avslutade projekt
Vad är ett mönster och vad är inte ett mönster?
Valet av matematiskt innehåll i studien landade vid algebra med fokus på talmönster. Valet grundade
sig bl.a. i TIMSS 2007 och 2011 resultat, vilka pekar ut algebra som ett av de huvudområden vari
svenska elever har svårigheter (Skolverket, 2008). Dessutom var vår erfarenhet att talmönster inte i
tillräcklig utsträckning ges utrymme och uppmärksamhet i undervisningen. Vi funderade över om en
bidragande orsak till detta kunde vara att lärare inte har tillräcklig med kunskap om vad detta
kunnande innebär i årskurs 1-3, dvs. vad som är kritiskt för att eleverna ska utveckla denna förmåga
3
Vidare har algebra fått en mer framskjuten plats i Lgr 11 och står nu som ett eget kunskapsområde
under centralt innehåll redan för de lägre årskurserna. Flera forskare (bl.a. Mason 1996) anser att
just mönster är en viktig aspekt inom algebran och förespråkar att det används som introduktion till
algebra.
I vårt projekt ville vi utforska vad det är man kan när man kan uttrycka, urskilja, beskriva och
generalisera regelbundenheten i ett talmönster i årskurs 2 samt på vilka sätt uppgifter kan fungera
som ett verktyg för att mediera kritiska aspekter. I projektet har vi använt oss av Learning study som
modell.
Resultat
Studien visar på att det som är kritiskt, dvs. det som eleverna måste få syn på/erfara för att utveckla
förmågan att uttrycka, urskilja, beskriva och generalisera regelbundenheten i ett talmönster är
följande:
alla talmönster är konstruerade efter en regel som inte ändras
att kunna beskriva talmönstrets regelbundenhet
att kunna urskilja att förhållandet mellan delarna i talmönstret kan se olika ut
att kunna urskilja relationen mellan mönstrets olika delar och hur de förhåller sig till varandra
och till helheten
Vidare visar studien på att uppgifter i viss mån kan fungera som verktyg för att mediera kritiska
aspekter. Detta genom att i uppgiftskonstruktionen använda sig av olika variationsmönster. Dock
visar vår studie på att iscensättningen av uppgifterna i interaktion med eleverna är av betydelse för
hur eller om denna mediering av kritiska aspekter sker.
Projektdeltagare
Jenny Fred, Ekensbergsskolan
Dennis Olsson, Ekensbergsskolan
Johanna Stjernlöf, Ekensbergsskolan
Mona Wängborg, Ekensbergsskolan
STLS nätverk
Verner Gerholm, koordinator
Anna-Karin Nordin, koordinator
Cecilia Sträng, koordinator
Sanna Wettergren, koordinator
10, 100 och 1000 – En vandring i positionssystemet
Många elever visar svårighet att enhetsomvandla från exempelvis meter till centimeter och vice
versa. För att hantera enhetsomvandling behöver eleverna bli säkrare på multiplikation och division
med 10, 100 och 1000. Eleverna behöver utveckla sin förmåga att förstå siffrans värde i ett
positionssystem och att förstå vad som händer i ett positionssystem när man utför multiplikation och
division med ex 10, 100 och 1000.
Lärarna behöver synliggöra vilka aspekter som är svåra för eleverna och utveckla strategier för att
lägga fokus på rätt saker i sin undervisning. Vi har använt oss av Learning study som metod för att få
reda på vad som gör skillnad för eleverna i undervisningen. Studien genomfördes i en årskurs sju.
Resultat
Vi fann bland annat att det är av stor vikt att vi ger eleverna möjlighet att urskilja siffrornas värde i
positionssystemet och att resonera om detta på ett metodiskt sätt. Att inte variera för mycket utan
hålla siffror i ett tal konstant och variera decimaltecknets placering för att eleverna ska fokusera på
vilken effekt decimaltecknets placering har för en siffras värde. Siffran ”noll” bör behandlas i
undervisningen mer och vi som lärare får inte ta förgivet att eleverna ser på siffran ”noll” på samma
sätt som de ser på övriga siffror.
4
Projektdeltagare
Tina Edner, Nya Elementar
Sara Fransson, Nya Elementar
Christina Lidgren, Nya Elementar
Per Westin, Nya Elementar
Annelie Åkesson, Nya Elementar
STLS nätverk
Verner Gerholm, koordinator
Anna-Karin Nordin, koordinator
Cecilia Sträng, koordinator
Sanna Wettergren, koordinator
Konkreta modeller ger bättre resultat
Att många elever i grundskolans första årskurser har svårt att förstå grundläggande geometriska
begrepp. Men går det att förebygga genom att introducera begreppen i en annan ordning än den
som är vanligt förekommande?
Vi undersökte om det blev skillnad i elevers förmåga att beskriva egenskaper hos enkla geometriska
figurer om man går från abstrakta till konkreta begrepp, jämfört med det omvända. Vi ville också
studera hur introduktionsordningen påverkade elevernas förståelse av begreppen sida och hörn.
Studien genomfördes i en förskoleklass som slumpmässigt delades in i två grupper. Kunskapstester
gjordes både före och efter undervisningen.
Resultat
Resultatet visade att gruppen där modellerna introducerades först hade något bättre resultat än
gruppen där de abstrakta begreppen, sida och hörn, introducerades först.
http://nbas.ncm.gu.se/node/19178
Projektdeltagare
Gunilla Axelsson, Sturebyskolan
Kersti Hedberg, Smedsslättskolan
Jessica Svahlin, Smedsslättskolan
Ulrica Westfelt, Gustav Vasa skola
STLS nätverk
Attila Szabo, koordinator
Sanna Wettergren, koordinator
Språket inget skäl till invandrarelevers resultat
Elever med utländsk bakgrund har ofta stora svårigheter i matematik och sämre resultat än
infödda. Hur kommer det sig? Frågan blev utgångspunkt för vår undersökning med elever i årskurs 8
och 9.
För att undersöka om det är brister i det svenska språket som leder till att elever med utländsk
bakgrund presterar sämre i matematik genomfördes ett skriftligt test med 21 elever.
Eleverna som ingick i studien hade godkänt betyg i sitt eget modersmål samt i svenska eller i
förekommande fall i svenska som andra språk. Testet genomfördes vid två olika tillfällen, ena gången
på svenska och andra på sitt modersmål.
Resultat
Resultaten visar att eleverna inte presterar bättre i matematik på sitt eget modersmål än på svenska.
Tvärtom såg vi att de hade svårare att förstå texten på sitt modersmål, särskilt de matematiska
begreppen.
http://nbas.ncm.gu.se/node/19179
5
Projektdeltagare
Meral Akgün, Språkcentrum Väster
Selahattin Hersen, Språkcentrum Väster
Djordje Petrovic, Tornadoskolan
Elham Yousef, Hässelbygårdsskolan
STLS nätverk
Attila Szabo, koordinator
Sanna Wettergren, koordinator
Fokus på algebraiska fallgropar ger bättre resultat
Svenska elevers kunskaper har försämrats, och algebra är ett av områdena där deras prestationer är
särskilt svaga. Vi märkte att bristande kunskaper i hantera algebraiska uttryck blev ett hinder vid
inlärning inom många andra matematikområden.
Därför ville vi undersöka hur eleverna hanterar de vanligast förekommande algebraiska uttrycken,
samt vilka fel de gör i samband med dem. Genom studien ville vi även undersöka hur elever i årskurs
9 och gymnasiets Matematik B hanterar enkla algebraiska uttryck samt om det är begrepp eller
procedurer som är de största fallgroparna.
En av grundskoleklasserna undervisades särskilt med avseende på de s.k. algebraiska fallgroparna.
Resultat
Studiens resultat visar att det huvudsakligen finns tre områden där elever underpresterar:
bråkräkning, hantering av termer av samma sort och förenkling av algebraiska uttryck.
Elevgruppen som undervisades med särskilt fokus på kritiska moment i algebran, dvs. algebraiska
fallgropar, hade avsevärt högre resultat på de genomförda testerna.
Av detta drar vi slutsatsen att undervisning som medvetet fokuserar på kritiska moment ger bättre
resultat än s.k. vanlig undervisning.
http://nbas.ncm.gu.se/node/19180
Projektdeltagare
Mariana Däcker, Spånga gymnasium
Fredrik Hollsten, Spånga gymnasium
Ewa Kaminski, Vällingbyskolan
Lars Rådvall, Atleticagymnasiet
STLS nätverk
Attila Szabo, koordinator
Sanna Wettergren, koordinator
6
