(Differentialekvationer II, vt11: F13, on 16 februari)
Variabelseparation för Laplaces ekvation i två dimensioner,
ZC12.5
Lösningar till Laplaces ekvation kallas harmoniska funktioner.
Problemet i en rektangel kan delas upp i fyra problem som
∆u = u00xx + u00yy = 0
PDE
(
u(0, y) = u(a, y) = u(x, 0) = 0
RV
u(x, b) = f (x)
Separerade lösningar till PDE+homogena RV: u(x, y) = X(x)Y (y) ger
( 00
00
X
= − YY = −λ, konstant
X
X(0) = X(a) = Y (0) = 0
Icke–triviala lösningar: un (x, y)
sin nπx
sinh nπy
, n = 1, 2, . . .
a
a
P=
∞
Superposition ger u(x, t) =P n=1 bn un (x, t) och konstanterna bn bestäms av
nπb
nπx
inhomogena RV u(x, b) = ∞
n=1 bn sinh a sin a = f (x) sinusserie
Variabelseparation i polära koordinater ger lösningen (snäll i origo):
!
∞
∞
X
X
u(r, θ) =
rn (an cos nθ + bn sin nθ) =
cn r|n| einθ
n=−∞
n=0
Speciellt är värdet för r = 0, u(0, ·) = a0 = c0 =
1
2π
Rπ
−π
u(R, θ) dθ, dvs
medelvärdesegenskapen: Om u är harmonisk, är u(x, y) = medelvärdet av
värdena på varje cirkel med (x, y) som medelpunkt. Därur fås
maximumprincipen: Om u är harmonisk (i ett sammanhängande område)
och har lokalt maximum eller minimum i en inre punkt är u konstant.
Harmoniska funktioner är C ∞ , dvs godtyckligt många gånger deriverbara.
Inhomogena PDE, RV, ZC12.6
Om ekvationen och/eller randvillkoren innehåller inhomogeniteter, är den allmänna
lösningen en summa av den allmänna lösningen till motsvarande homogena
problem och en partikulärlösning. Det homogena problemet kan vi ju (ofta)
lösa med variabelseparation, det gäller att finna partikulärlösningen.
Om inhomogeniteterna är tidsoberoende, sök en tidsoberoende partikulärlösning,
dvs skriv u(x, t) = v(x, t) + ψ(x), där ψ(x) löser det inhomogena problemet.
Om man har homogena randvillkor,
men tidsberoende inhomogenitet i
P∞
ekvationen, skriv u(x, t) =
n=1 an (t)Xn (x), där Xn (x) är x-funktionerna
som fås vid variabelseparationen av den homogena ekvationen+randvillkor,
och utveckla inhomogeniteten i ekvationen efter samma funktioner. Det ger
ODE:er för an (t).
I det första fallet kommer begynnelsevillkoren för det uppkomna homogena
problemet att skilja sig från dem för det givna inhomogena.
