Examinationsuppgifter, Talteori, TATM54. Blad D.
Lösningar lämnas i det röda tråget, c:a 2 meter nordväst om mitt rum. inte i mitt postfack!
Lösningarna ska vara välskrivna och läsliga, på ena sidan av varje ark. Jag tar inte emot lösningar per
epost!
Alla uppgifter är handräkneuppgifter.
D1)
a) Bestäm det irrationella tal
√ som har den periodiska utvecklingen [9, 9, 18] (3)
b) Bestäm utvecklingen av 7 samt så många konvergenter som behövs för att lösa x2 − 7y 2 = 1.
Ange därpå alla lösningar. Är x2 − 7y 2 = −1 lösbar?
√
√
√
D2) n, k är positiva, n ej jämn kvadrat. Låt p + q n vara minimal i att p + q n > k och att p,√q satisfierar
ekvationen p2 − nq 2 = k. Visa att p, q måste vara positiva. Tips: betrakta samtidigt p − q n.
D3) Anta att x, y, båda udda, är en heltalig lösning till ekvationen x2 − dy 2 = ±4. Bilda de rationella talen
u, v enligt:
√
√
x+y d 3
)
u+v d =(
2
Visa att u, v är en heltalig lösning till u2 − dv 2 = ±1.
D4) Ange kedjebråksutvecklingarna för a =
√
d2 ± 1, d heltal. Ge exempel på båda slagen.
D5) Bestäm minsta positiva lösningen till Pells ekvation x2 − ny 2 = 1, där n = d2 + 2.
D6)
2
2
a) (Bakgrund
−1 är lösbar, med minsta positiva lösning
√ till b), c)) Anta att ekvationen x −2dy =
√
2
x0 +y0 d > 1. (jfr
D2).
Låt
vidare
ekvationen
x
−dy
=
1 ha minsta positiva lösningen x1 +y1 d.
√
√ 2
Visa att x1 + y1 d = (x0 + y0 √d) .
√
√
√
(x1 + y1 d)(y0 d −
Lite steg: Visa att 0 < (x1 − y1 d)(x0 + y0 d) < 1, eljes√motsägelse. Slut
√ att
x0 ) > 1. Härled nu en motsägelse ur antagandet x1 + y1 d 6= (x0 + y0 d)2 . (kom gärna på något
bättre!)
b) Bestäm, t ex genom inspektion, minsta positiva lösningen till x2 − 13y 2 = −1. Börja med att
bestämma klassen av x modulo 13. Härled sedan minsta positiva lösningen till x 2 − 13y 2 = +1.
c) Bestäm, medels inspektion, minsta positiva lösningen till x2 − 30y 2 = 1. Avgör, med dess hjälp
huruvida ekvationen x2 − 30y 2 = −1 är lösbar.
D7)
1
a) Visa att den aritmetiska summan 1 + 2 + 3 + · · ·+ n är en jämn kvadrat för oändligt många värden
på n. Återför på lösbarheten hos lämplig Pellsk ekvation.
b) Visa nu samma om summorna 1 + 2 + 3 + · · · + 2n och 1 + 2 + 3 + · · · 2n + 1
D 8)
a) p ≡ 1 (mod 4) är ett primtal. u är en positiv lösning till u2 ≡ −1 (mod p). Det rationella talet
u/p har en ändlig kedjebråksutveckling som framgår ur Euklides’ algoritm.
√
Låt pi /qi var den sista konvergenten för vilken qi ≤ p. Visa, medels den allmänna approximationssatsen, en lämplig uppskattning:
pi
u
| − |<M
qi
p
Låt x = qi , y = pi p − uqi . Visa att x2 + y 2 ≡ 0 (mod p) samtidigt som 0 < x2 + y 2 < 2p (om du nu valt
M bra!) Slutsatsen ger sig själv?
b) Om du utför “extended Euclidean algorithm” på p = 1109, u = 469 och p = 773, u = 456) kommer
du att se den exakta innebörden av de funna x, y. Du kan även vilja anknyta till Thues lemma.
D 9) Anta att |p1 q2 − p2 q1 | = 1, p1 , p2 , q1 , q2 heltal. Anta vidare att
p2
p1
<α<
q1
q2
där α är irrationellt. Visa att endera olikheten
α − p1 < 1
q1
2q12
eller
α − p2 < 1
q2
2q22
måste gälla, så att ettdera bråket är en konvergent till α
Ledning: Anta omvända (ostränga) olikheter i båda fallen. Utnyttja (visa!) att
p1
p2 p1 p2
−
= α − + α − q2
q1
q2
q1
samt olikheten mellan artimetiskt och geometriskt medelvärde.
D 10)
a) Låt p ≡ 1 (mod 4) vara ett primtal. Vi vill visa att ekvationen x2 − py 2 = −1 är lösbar. Vi utgår
från den minsta positiva lösningen (t, u) till t2 − pu2 = 1. Visa först att t är udda och att u är
jämnt.
Visa därpå att vi har följande båda fall
i)
t+1
t−1
= pa2 ,
= b2
2
2
eller
ii)
t+1
t−1
= a2 ,
= pb2
2
2
Visa att det senare fallet skapar en lösning till x2 − py 2 = 1, vilken strider mot valet av (t, u).
Härled därpå, med hjälp av det första fallet, en lösning till x2 − py 2 = −1.
b) I detta fall kan man visa att kedjebråksutvecklingen är palindromisk, med udda period. En stunds
eftertanke (titta på ett exempel!) leder till att två konsekutiva nämnare Q k , Qk+1 måste var lika.
Visa att detta leder till en lösning av den diofantiska ekvationen P 2 + Q2 = p!
2
D 11) D är ett udda tal (≥ 11, säg) som vi vill faktorisera, genom kedjebråksutveckling. Anta att vi hittat en
konvergent p/q, (p, q) = 1 som ger ekvationen p2 − Dq 2 = R2 där R är ett heltal. Vi har alltså
Dq 2 = (p − R)(p + R),
D|(p − R)(p + R)
Anta nu att vi ställs inför misslyckandet att D|p − R (vi kan anta detta, eftersom vi inte förutsätter att
R är positivt). Visa nu att förklaringen är denna:
a) Fall I: q är udda. Visa att ((p − R)/D, p + R) = 1. Slut av detta att det finns relativt prima positiva
heltal s, t sådana att
s2 − Dt2 = 2R
√
och att s/t är en (tidigare) konvergent till utvecklingen av D.
b) Fall II: q är jämnt. Visa att ((p − R)/D, p + R) = 2 och bestäm s, t som ovan, men med
s2 − Dt2 = R
. Visa också att R är udda.
√
√
Hur förhåller sig talen p + q D och s + t D till varandra?
√
D 12) d är ett positivt heltal, ej jämn kvadrat. Låt xn +yn d > 1 vara de positiva lösningarna (dvs. xn , yn > 0)
till ekvationen x2 − dy 2 = 1. Låt p vara ett godtyckligt positivt heltal. Visa att det finns ett n sådant
att p|yn .
D 13 Studera Bhaskarastencilen.
Anta att D = 4d + 1, positivt, ej jämn kvadrat. Vi studerar kedjebråks√
utvecklingen av ( D + 1)/2. Anta
√
D + Pl
αl =
Ql
Visa att Ql är jämnt och att
p2 − pr + dr2 = ±Ql /2
där p, r är en konvergent i utvecklingen.
3
