c Mikael Forsberg
9 oktober 2008
Exempel :: Delrum av Rn
Delrum
Ett delrum till ett vektorrum V är en delmängd till V som i sig är ett vektorrum med samma
addition och skalärmultiplikation som i V . Delrum är förkortning av delvektorrum.
Om man vill undersöka om en given delmängd W är ett delrum till ett vektorrum V så behöver
man bara undersöka tre saker:1
1 :: Ligger 0 i W ?
2 :: W sluten under addition? :: dvs för alla w1 , w2 ∈ W ligger w1 + w2 i W ?
3 :: W sluten under multiplikation med skalär? :: dvs ligger aw i W för alla w ∈ W och alla
a ∈ R?
Exempel 1. Varje rät linje genom origo är ett delrum medan en linje som inte går genom origo
inte är ett delrum.
Det är ju uppenbart från första punkten att linjer måste gå genom origo för att överhuvudtaget
ha en chans att bli delrum. Låt oss därför anta att vi har en linje genom origo.
Varför är nu denna linje ett delrum?
En linje genom origo ges på parameterform som
l(t) = vt
För att visa att en sådan allänt beskriven linje faktiskt är ett delrum så behöver vi gå genom våra
tre delrumspunkter:
1 :: Första punkten är uppenbar eftersom vi kan välja t = 0 som ger oss l(0) = 0.
2 :: Låt oss nu ta två vektorer v1 och v2 på linjen: Det finns då tal t1 och t2 sådana att v1 = vt1
och v2 = vt2 . Vi ska nu visa att v1 + v2 ligger på linjen. Vi har
v1 + v2 = vt1 + vt2 = v(t1 + t2 ) = vt3 ,
där t3 = t1 + t2 . Från detta är det uppenbart att v1 + v2 ligger på vår linje!
3 :: För ett godtyckligt reellt tal a så ska vi nu visa att av1 ligger på vår linje. Vi har
av1 = avt1 = vat1 = vt4 ,
där t4 = at1 .
Exempel 2. Varje plan i R3 som går genom origo bildar ett delrum av R3 .
Ett plan i R3 kan beskrivas på åtminstone följande två sätt
1 :: Som en ekvation av typen ax + by + cz = 0.
2 :: Med en bas av två vektorer b1 och b2 , vilket är samma sak som en parameterframställning
av typen
x = sb1 + tb2 ,
(1)
dvs, varje vektor x som ligger i planet kan skrivas som en linjärkombination av b1 och b2 .
Man kan också säga att planet är span{b1 , b2 }.
1 Notera att strikt sett så är första punkten en följd av de övriga: tex så ger a = 0 i den tredjepunkten detta. Att
vi ändå väljer att ta med den första punkten beror på att det ofta är lätt att testa detta och är ofta anledningen
till att en delrumskandidat inte blir ett delrum.
1
c Mikael Forsberg
9 oktober 2008
Vi ska visa att båda beskrivningar går att använda när vi ska visa att planet bildar ett delrum.
1 :: Plan på ekvationsform :: ax + by + cz = 0
:: 1 :: Origo ligger uppenbarligen i planet eftersom a · 0 + b · 0 + c · 0 = 0.
:: 2 :: Om u = (x1 , y1 , z1 ) och v = (x2 , y2 , z2 ) ligger i planet så gäller ax1 + by1 + cz1 = 0
och ax2 + by2 + cz2 = 0. Vi ska nu undersöka om u + v = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
ligger i planet. Denna vektor måste då uppfylla planets ekvation. Vi sätter därför
in u + v i vänster led i ekvationen ax + by + cz = 0 och visar att vänster led då blir
samma sak som höger led, nämligen noll.
a(x1 + x2 ) + b(y1 + y2 ) + c(z1 + z2 ) = ax1 + ax2 + by1 + by2 + cz1 + cz2 =
= ax1 + by1 + cz1 + ax2 + by2 + cz2 = 0
{z
} |
{z
}
|
=0
=0
:: 3 :: Om u är som i ovan och t ∈ R så måste vi visa att tu = (tx1 , ty1 , tz1 ) ligger i planet.
Vi får
atx1 + bty1 + ctz1 = t (ax1 + by1 + cz1 ) = t · 0 = 0,
|
{z
}
=0
vilket betyder att planet är ett delrum.
2 :: Plan på parameterform ::
:: 1 :: Origo ligger i planet eftersom vi är tillåtna att sätta s = 0 = t i (1).
:: 2 :: Antag att u = (x1 , y1 , z1 ) och v = (x2 , y2 , z2 ) ligger i planet, dvs det finns reella tal
s1 , t1 och s2 , t2 sådana att
u = s1 b1 + t1 b2
och
v = s2 b1 + t2 b2 .
Vi ska visa att u + v ligger i planet:
u + v = s1 b1 + t1 b2 + s2 b1 + t2 b2 = (s1 + s2 )b1 + (t1 + t2 )b2 = s3 b1 + t3 b2 ,
där s3 = s1 + s2 och t3 = t1 + t2 , som alltså visar att u + v är en linjärkombination
av planets basvektorer och därför ligger i planet!
:: 3 :: Om a ∈ R så gäller att au ligger i planet eftersom
au = a(s1 b1 + t1 b2 ) = as1 b1 + at1 b2 = s4 b1 + t4 b2 ,
där s4 = as1 och t4 = at1 , vilket visar att au ∈ span{b1 , b2 }, dvs ligger i planet.
Exempel 3. En linje eller plan som inte går genom origo är inte ett delrum, vilket följer direkt
eftersom origo då inte ligger på denna linje eller i det aktuella planet, varför det hela faller på
första delrumspunkten.
Exempel 4. Delrum av Rn :: Rn innehåller äkta delrum av alla dimensioner från 0 till n − 1.
Endimensionella är som vi sett linjer som går genom origo. Tvådimensionella delrum är plan
som går genom origo. Tredimensionella delrum är delrum som spänns av tre vektorer och rummet
måste innehålla origo. I allmänhet så ges varje delrum som en linjärkombination av ett antal linjärt
oberoende vektorer. Delrummen är alltså alltid av typen
span{b1 , . . . , bm },
där bi , i = 1, . . . , m, är linjärt oberoende2 av och m < n.
2 Oberoendet är inte ett krav för att höljet ska bli ett delrum: spannet av en godtycklig mängd vektorer är alltid
ett delrum. Det linjära oberoendet gör dock här att b1 , . . . , bm bildar en bas för delrummet och då gäller att m är
delrummets dimension (som ju är antalet vektorer i en bas för delrummet) och detta gör att vi faktiskt beskrivit
alla delrum av Rn som inte är Rn själv, dvs vi har beskrivit alla äkta delrum.
2
