1101
En liksidig triangel visas i figuren nedan.
u + v + w = 180°
u=v=w →
3u = 180°
u = 60°
u = v = w = 60°
∴ Alla vinklar lika stora och 60°
Då triangeln är likbent →
𝑠träckan AB = AC →
basvinklarna, namngivna b, är lika stora
1102
v + 27° + 63° = 180°
v + 90° = 180°
v = 90°
∴ ∆ABC är rätvinklig
Två vinklar lika i två olika trianglar →
även tredje vinkeln är lika.
Vilket också kan inses med hjälp av att
vinkelsumman är 180° i alla trianglar
a+b+x = a+b+y
∴ x=y
1103
1104
Då 𝑠träckan AD är en bisektris →
toppvinklarna, namngivna a, är lika stora
Sidovinklar är tillsammans 180°
(rak vinkel = 180°) vilket ger
a + u = 180° och a + v = 180°
180° = 180° ger ekvationen
a+u=a+v
u=v
∴ vertikalvinklar är lika
1105
1107
Då triangeln är liksidig så är
∠A = ∠C … (1)
Enligt yttervinkelsatsen är
u = ∠A + ∠C … (2)
(1) och (2) ger
u = 2 · ∠A
Om den blå triangeln har basen r
så blir även dess höjd r
och då fås arean av den inskrivna kvadraten
Areakvadrat = 4 ⋅ area blå triangel =
4⋅
bas ⋅ höjd
r⋅r
=4⋅
= 2r 2
2
2
Areacirkel = πr 2
1106
Om de parallella linjerna AD och BC
förlängs fås figuren nedan
Areakvadrat 2r 2 2
= 2=
Areacirkel
πr
π
1108
Linjen AC skär de parallella linjerna
∠DAC och ∠BCA är alternatvinklar
och således lika
Alternatvinklar är lika stora
De röda vinklarna är alternatvinklar
De blå vinklarna är också alternatvinklar
En rak vinkel är alltid 180°
De tre vinklar som utgör den raka vinkeln vid C
är samma vinklar som ingår i triangeln
1109
1111
Likbelägna vinklar är lika stora
Samma vinklar ingår i ΔADE och ΔABC
sålunda är ΔADE ∼ ΔABC
BC är parallell med DE vilket gör att
∠B och ∠D är likbelägna samt att
∠C och ∠E också är likbelägna.
Likbelägna vinklar är lika (axiom)
Vi ser att ΔABC och ΔADE har samma vinklar
och är därmed likformiga.
1110
Likformighet för ΔABC och ΔADE ger
𝑎+𝑏 𝑐+𝑑
=
𝑎
𝑐
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
+ = +
𝑎 𝑎 𝑐 𝑐
𝑏
𝑑
=1+
𝑎
𝑐
𝑑
=
𝑐
𝑐
= vilket är Transversalsatsen
𝑑
1+
Vinklarna a och b är medelpunktsvinklar
som spänner upp var sin cirkelbåge .
Vinklarna u och v är randvinklar.
Enligt randvinkelsatsen är a = 2u och b = 2v
Då a + b = 360° fås ekvationen
2u + 2v = 360°
2(u + v) = 360°
360°
u+v=
2
u + v = 180°
Summan av motstående vinklar
i en inskriven fyrhörning är 180° v. s. b.
𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
1112
∠BGM är rät eftersom ΔABM och ΔAFM
är liksidiga så är AM ⊥ BF
∠GBM är 30° pga vinkelsumman i ΔBGM
∠CBM är 60° då ΔBCM är liksidig
Därmed har vi visat att ∠CBG är rät.
motsvarande resonemang kan föras
för samtliga vinklar i rektangeln BCEF
1113
Vi kan alltid sortera de tre vinklarna
i en triangel i storleksordning
A≥B≥C
2A 2B 2C
≥
≥
2
2
2
B+B C+C
A≥
≥
2
2
Då B ≥ C fås
B+B B+C
A≥
≥
= medelvärdet
2
2
B+C
Slutsats: A ≥
2
Kommentar: Gäller även tal, vilka som helst,
vinklar är ju tal.
1114
Vi kan alltid sortera de tre sidorna
i en triangel i storleksordning
a≤b≤c
2a 2b 2c
≤
≤
2
2
2
b+b c+c
a≤
≤
2
2
b+b c+c
a≤
≤
2
2
då b ≤ c fås
b+b b+c
a≤
≤
= medelvärdet
2
2
b+c
Slutsats: a ≤
2
