Algebra och talteori Repetition Vidareutveckling … Idag Heltalen, Z

Repetition
Algebra och talteori
• Liten inledning till kursen:
Pytagoreiska trippler
– Talteoretisk metod (delbarhet, SGD,
primtalsfaktor kongruens)
primtalsfaktor,
– Geometrisk metod (rationella punkter på en
cirkel, skärningspunkter med linje,
ekvationssystem)
MMGL31
Kap 5-7
samt grupp, ring och kropp
Samuel Bengmark
Vidareutveckling …
Fermats sista sats
Heltalen, Z
Z utgör en talmängd med operationer addition och
multiplikation.
• Addition ger enkel strukturen. 1 det enda
odelbara (irreducibla) talet, (enda byggstenen).
• Multiplikation med komplicerad. Oändligt många
odelbara tal
tal.
• Idag skall vi titta lite på den multiplikativa
strukturen.
Idag
•
•
•
•
•
Unik faktorisering
Irreducibla tal och primtal
Euklides algoritm, SGD(a,b) och xa+yb
Grupp, ring och kropp
Lite om Zns struktur
Aritmetikens fundamentalsats
Varje heltal n  2 kan faktoriseras på ett unikt sätt i
odelbara tal
n  p11  p 2 2  p m m
Ordningen i vilken talen pi skrivs upp bryr man sig inte om.
Exempel
12=22·3
Detta kan tyckas självklart efter alla år, men det gäller inte i
alla talmängder som vi nu skall se.
1
The E-zone
E={0,2,4,6,…}, de jämna talen
1. Kan dessa tal delas upp i odelbara tal på
ett unikt sätt?
2 Vilka
2.
Vilk är
ä de
d odelbara
d lb
ttalen?
l ?
Vad är orsaken?
Vilka egenskaperna hos talen i Z och E är
det som orsakar skillnad i beteende när
det gäller faktorisering?
Skillnaden synliggörs med följande
definitioner.
Svar 2.
Svar 1.
Irreducibelt och primt
Definition
Ett heltal p kallas irreducibelt (odelbart) om det för varje
annat heltal d gäller att
Exempel
Z
E
Irreducibla tal
Irreducibla tal
Prima tal
Prima tal
d | p  d   1, p
Definition
Ett heltal p kallas primt om det för varje andra tal m och n
gäller att
p | n  m  p | n eller p | m
Vi skall strax se att beviset för unik faktorisering bygger
på att alla irreducibla tal är primtal.
Innan dess skall vi dock förvissa oss om att det vi tycker
oss se om Z ovan verkligen stämmer
Påstående:
Irreducibla tal är prima tal i Z !
• Man kallar de irreducibla talen i Z för
primtal.
• Det är okej eftersom de, förutom att vara
irreducibla även uppfyller definitionen för
irreducibla,
primtal.
• För att bevisa det behöver vi Euklides
algoritm.
Repetition: Euklides algoritm
Exempel
SGD(123, 36)
a  bq1  r1
b  r1q 2  r2
r1  r2 q3  r3
.
.
.
SGD(a,b)
rn  2  rn 1q n  rn
rn 1  rn q n1  0
2
Argument för att Euklides ger SGD
rn är delare
”gå uppåt”
rn är största delaren
”gå neråt”
a  bq1  r1
b  r1 q 2  r2
Linjära ekvationer och SGD
• SGD(a,b) | xa+yb, oberoende av koefficienterna x och y.
• Man kan få precis SGD med rätt val av x och y. De hittas
med Euklides enligt följande exempel
Exempel
r1  r2 q3  r3
.
.
.
rn  2  rn 1 q n  rn
rn 1  rn q n 1  0
Åter till:
Irreducibla är prima i Z !
Skall alltså visa att om p är ett irreducibelt tal och p|mn så
kommer p|m eller p|n.
•
•
•
•
•
Antag att p är irreducielt
Skallll nu visa
Sk
i att
tt p|m·n
|
⇒ p|m
| eller
ll p|n.
|
Om p|m är vi klara.
Antag därför att p|mn och och att p|m. Visa att p|n.
Att p inte delar m och p är irreducibelt finner vi att
SGD(p,m)=1, dvs 1=xp+ym.
• Multiplicera med n och får
n=xpn+ymn=xpn+ykp=p(xn+yk), dvs p|n.
Euklides ger
123  36 * 3  15
36  15 * 2  6
15  6 * 2  3
6  3* 2  0
dvs SGD(123,36)  3
3  15  6  2
6  36  15  2
15  123  36  3
3  15  6  2
 15  (36  15  2)  2
 2  36  5  15
 2  36  5(123  36  3)
 5  123  17  36
Dags för beviset för
Aritmetikens fundamentalsats
• Vi skall se att vi måste veta att de
irreducibla talen är primtal för att vårt
argument för unik faktorisering skall
fungera.
fungera
p|mn ⇔ mn=kp
Beviset för aritmetikens
fundamentalsats
Kan faktorisera i irreducibla
Induktion: Antag alla tal n≤N kan
faktoriseras. Visa att även N+1
kan faktoriseras.
• Om N+1 irreducibelt är det sin
egen faktorisering. Klara!
• Annars N+1=n1n2.
– Enligt ind. ant. gäller:
n1  p11  p k k
Unik faktorisering
• Antag att vi har två fakt.
p1 p 2  p k  n  q1 q 2  ql
• Detta ger att
p1 | n  p1 | q1 q 2  ql  p1 | q1
• q1 irreducibelt ger p1=q1.
• Stryker p1 och q1 får likheten
p 2  p k  q 2  ql
– Detta ger
• Fortsätter pss tills vi får 1 i ena
ledet.
p k l  p k  1
n  N  1  p1 1  pk k  q11  ql l
• Enda chansen att detta
stämmer är att k=l.
n 2  q11  q l l
Strukturer för mängder
• Grupp ( M ,)
• Ring ( M ,,)
• Kropp ( M ,,)
Symbolerna  och  kan kan representera
vilka operationer som helst.
3
Generellt om strukturer
• I kursen kommer vi titta på fler talmängder
än Z och E: Tex
• Q, R, C
• Zn för
fö olika
lik värden
ä d på
ån
• Z[i]
Det finns gemensamma och särskiljande
egenskaper som synliggörs i begreppen
grupp, ring och kropp som vi nu inför.
Exempel på grupper
Ex 1: (Z,+)
Ex 3: (Zn,+)
Ex 2: (Q
(Q,+)
+)
Ex 4: (Q\{0}
(Q\{0},·))
Icke-exempel: (N,+)
Ex 5: (2×2-matriser, +)
Grupp
Definition
En mängd M med en operation  kallas en grupp om
följande gäller
1.
1
2.
3.
4.
Sl t t a, b  M  a  b  M
Slutet:
Identitet finns: o  M , a  M gäller att a  o  o  a  a
Inverser finns: a  M , b  M så att a  b  o
Associativa lagen: ( a  b)  c  a  (b  c)
Ring och kropp
Definition
En talmängd med två operation  och  kallas en ring om
• ( M ,) är en grupp
•
för  gäller att:
1. Slutet: a , b  M  a  b  M
2. Identitet finns map. e  M , a  M gäller att a  e  e  a  a
3. Associativa lagen ( a  b)  c  a  (b  c )
•
Distributiva lagen: a  (b  c )  a  b  a  c
Om dessutom varje element a  o har invers så kallas det
kropp.
Exempel på ringar och kroppar
4