Repetition Algebra och talteori • Liten inledning till kursen: Pytagoreiska trippler – Talteoretisk metod (delbarhet, SGD, primtalsfaktor kongruens) primtalsfaktor, – Geometrisk metod (rationella punkter på en cirkel, skärningspunkter med linje, ekvationssystem) MMGL31 Kap 5-7 samt grupp, ring och kropp Samuel Bengmark Vidareutveckling … Fermats sista sats Heltalen, Z Z utgör en talmängd med operationer addition och multiplikation. • Addition ger enkel strukturen. 1 det enda odelbara (irreducibla) talet, (enda byggstenen). • Multiplikation med komplicerad. Oändligt många odelbara tal tal. • Idag skall vi titta lite på den multiplikativa strukturen. Idag • • • • • Unik faktorisering Irreducibla tal och primtal Euklides algoritm, SGD(a,b) och xa+yb Grupp, ring och kropp Lite om Zns struktur Aritmetikens fundamentalsats Varje heltal n 2 kan faktoriseras på ett unikt sätt i odelbara tal n p11 p 2 2 p m m Ordningen i vilken talen pi skrivs upp bryr man sig inte om. Exempel 12=22·3 Detta kan tyckas självklart efter alla år, men det gäller inte i alla talmängder som vi nu skall se. 1 The E-zone E={0,2,4,6,…}, de jämna talen 1. Kan dessa tal delas upp i odelbara tal på ett unikt sätt? 2 Vilka 2. Vilk är ä de d odelbara d lb ttalen? l ? Vad är orsaken? Vilka egenskaperna hos talen i Z och E är det som orsakar skillnad i beteende när det gäller faktorisering? Skillnaden synliggörs med följande definitioner. Svar 2. Svar 1. Irreducibelt och primt Definition Ett heltal p kallas irreducibelt (odelbart) om det för varje annat heltal d gäller att Exempel Z E Irreducibla tal Irreducibla tal Prima tal Prima tal d | p d 1, p Definition Ett heltal p kallas primt om det för varje andra tal m och n gäller att p | n m p | n eller p | m Vi skall strax se att beviset för unik faktorisering bygger på att alla irreducibla tal är primtal. Innan dess skall vi dock förvissa oss om att det vi tycker oss se om Z ovan verkligen stämmer Påstående: Irreducibla tal är prima tal i Z ! • Man kallar de irreducibla talen i Z för primtal. • Det är okej eftersom de, förutom att vara irreducibla även uppfyller definitionen för irreducibla, primtal. • För att bevisa det behöver vi Euklides algoritm. Repetition: Euklides algoritm Exempel SGD(123, 36) a bq1 r1 b r1q 2 r2 r1 r2 q3 r3 . . . SGD(a,b) rn 2 rn 1q n rn rn 1 rn q n1 0 2 Argument för att Euklides ger SGD rn är delare ”gå uppåt” rn är största delaren ”gå neråt” a bq1 r1 b r1 q 2 r2 Linjära ekvationer och SGD • SGD(a,b) | xa+yb, oberoende av koefficienterna x och y. • Man kan få precis SGD med rätt val av x och y. De hittas med Euklides enligt följande exempel Exempel r1 r2 q3 r3 . . . rn 2 rn 1 q n rn rn 1 rn q n 1 0 Åter till: Irreducibla är prima i Z ! Skall alltså visa att om p är ett irreducibelt tal och p|mn så kommer p|m eller p|n. • • • • • Antag att p är irreducielt Skallll nu visa Sk i att tt p|m·n | ⇒ p|m | eller ll p|n. | Om p|m är vi klara. Antag därför att p|mn och och att p|m. Visa att p|n. Att p inte delar m och p är irreducibelt finner vi att SGD(p,m)=1, dvs 1=xp+ym. • Multiplicera med n och får n=xpn+ymn=xpn+ykp=p(xn+yk), dvs p|n. Euklides ger 123 36 * 3 15 36 15 * 2 6 15 6 * 2 3 6 3* 2 0 dvs SGD(123,36) 3 3 15 6 2 6 36 15 2 15 123 36 3 3 15 6 2 15 (36 15 2) 2 2 36 5 15 2 36 5(123 36 3) 5 123 17 36 Dags för beviset för Aritmetikens fundamentalsats • Vi skall se att vi måste veta att de irreducibla talen är primtal för att vårt argument för unik faktorisering skall fungera. fungera p|mn ⇔ mn=kp Beviset för aritmetikens fundamentalsats Kan faktorisera i irreducibla Induktion: Antag alla tal n≤N kan faktoriseras. Visa att även N+1 kan faktoriseras. • Om N+1 irreducibelt är det sin egen faktorisering. Klara! • Annars N+1=n1n2. – Enligt ind. ant. gäller: n1 p11 p k k Unik faktorisering • Antag att vi har två fakt. p1 p 2 p k n q1 q 2 ql • Detta ger att p1 | n p1 | q1 q 2 ql p1 | q1 • q1 irreducibelt ger p1=q1. • Stryker p1 och q1 får likheten p 2 p k q 2 ql – Detta ger • Fortsätter pss tills vi får 1 i ena ledet. p k l p k 1 n N 1 p1 1 pk k q11 ql l • Enda chansen att detta stämmer är att k=l. n 2 q11 q l l Strukturer för mängder • Grupp ( M ,) • Ring ( M ,,) • Kropp ( M ,,) Symbolerna och kan kan representera vilka operationer som helst. 3 Generellt om strukturer • I kursen kommer vi titta på fler talmängder än Z och E: Tex • Q, R, C • Zn för fö olika lik värden ä d på ån • Z[i] Det finns gemensamma och särskiljande egenskaper som synliggörs i begreppen grupp, ring och kropp som vi nu inför. Exempel på grupper Ex 1: (Z,+) Ex 3: (Zn,+) Ex 2: (Q (Q,+) +) Ex 4: (Q\{0} (Q\{0},·)) Icke-exempel: (N,+) Ex 5: (2×2-matriser, +) Grupp Definition En mängd M med en operation kallas en grupp om följande gäller 1. 1 2. 3. 4. Sl t t a, b M a b M Slutet: Identitet finns: o M , a M gäller att a o o a a Inverser finns: a M , b M så att a b o Associativa lagen: ( a b) c a (b c) Ring och kropp Definition En talmängd med två operation och kallas en ring om • ( M ,) är en grupp • för gäller att: 1. Slutet: a , b M a b M 2. Identitet finns map. e M , a M gäller att a e e a a 3. Associativa lagen ( a b) c a (b c ) • Distributiva lagen: a (b c ) a b a c Om dessutom varje element a o har invers så kallas det kropp. Exempel på ringar och kroppar 4