Lösningar
−→ −→ −
→
−→
−→ −→
−−→ −→
−→
−−→
1 a) OQ = OA + A Q = OA + 14 AB = OA + 14 (OB − OA) = 43 OA + 14 OB.
b) Låt punkten O vara origo. Sätt in koordinaterna för punkten A och
punkten B och vi får
−→ 3
OQ = 4 (−4, 0, 12) + 14 (8, 1, −24) = (−3, 0, 9) + (2, 14 , −6) = (−1, 41 , 3).
Svar: Punkten Q har koordinater (−1, 41 , 3).
2 a) Vi försöker hitta en skärningspunkt.
1 + t1 = 1 + 2t2
1 + t1 = 1 + 2t2
−t1 = −1 − t2
1 = t2
⇔
1 − t1 = −3 + 2t2
2 = −2 + 4t2
Systemet har lösningen t1 = 2, t2 = 1. Skärningspunkten har koordinater
(3, −2, −1).
Svar: Linjerna skär varandra i punkten (3, −2, −1).
b) Linjerna skär varandra. Därför bestämmer vi en ekvation på affin form
för planet som innehåller båda linjerna. Först beräknar vi koordinaterna för
normalen. Linjerna l1 och l2 har riktningsvektorer v1 = (1, −1, −1) och
v2 = (2, −1, 2). Normalen
n = v1 × v2 = (1, −1, −1) × (2, −1, 2) = (−3, −4, 1).
Då ekvationen för planet är 3x + 4y − z + d = 0. Vi beräknar d genom
att sätta till exempel skärningspunkten in i ekvationen
3 · 3 + 4 · (−2) − (−1) + d = 0 ⇒ 9 − 8 + 1 + d = 0 ⇒ d = −2.
Svar: 3x + 4y − z − 2 = 0.
1
3.
AX + D> = B ⇔ AX = B − D> ⇔ X = A−1 (B − D> ).
A−1 =
1 1
1 −1
B−D =
2 0
>
och
4 −6 −3
1
0 0
2 .
4
0 2
1
−3 2
4 −1
− 1 3 = 0 −4
0
4
2 −4
−3 2
−3 5
4 −6 −3
1
2
2 0 −4 = 0
X = A−1 (B − D> ) = 0 0
4
0 −1
0 2
1
0
4
−−→ −−→
−−→
4 a) Vi bildar vektorerna P0 P1 , P0 P2 och P0 P3 .
−−→
P0 P1 = (−2, 1, 1) − (1, 2, 2) = (−3, −1, −1).
−−→
P0 P2 = (5, 0, 2) − (1, 2, 2) = (4, −2, 0).
−−→
P0 P3 = (2, 4, 3) − (1, 2, 2) = (1, 2, 1).
−−→ −−→
Punkterna P0 , P1 , P2 och P3 ligger i samma plan om vektorerna P0 P1 , P0 P2
−−→
−−→ −−→ −−→
och P0 P3 är linjärt beroende ⇒ det(P0 P1 , P0 P2 , P0 P3 ) = 0.
Vi beräknar nu determinant och får
¯
¯
¯ −3 −1 −1 ¯
¯
¯
¯ 4 −2 0 ¯ = 6 − 8 − 2 + 4 = 0.
¯
¯
¯ 1
2
1 ¯
Svar: Punkterna P0 , P1 , P2 och P3 ligger i samma plan.
b) Vi börjar med att bestämma en ekvation för linjen genom punkterna
P0 och P2 . Som
en riktningsvektor kan vi ta vektorn (2, −1, 0). Då linjen l
x = 1 + 2t
−−→
y = 2 − t . Vi bildar vektorn u = P0 P1 = (−3, −1, −1) och
har ekvation
z=2
beräknar den ortogonala projektionen av u på linjen l
u1 =
(−3, −1, −1)(2, −1, 0)
(2, −1, 0) = (−2, 1, 0).
5
2
Då vi får
u2 = u − u1 = (−3, −1, −1) − (−2, 1, 0) = (−1, −2, −1).
√
√
Avståndet = |u2 | = 1 + 4 + 1 = 6.
Svar: Avståndet mellan
√ punkten P1 och linjen genom
punkterna P0 och P2 är 6.
5 a) Att bestämma en ekvation för skärningslinjen är detsamma som att
lösa ekvationssystemet
½
x + 2y − 3z = 5
2x − 2y + 6z = 4
Gausselimination visar att detta system är ekvivalent med
½
x=3−t
x + 2y − 3z = 5
y = 1 + 2t , t ∈ R.
⇔
y − 2z = 1
z=t
Svar: Skärningslinjen mellan planen π1 och π2 har ekvation
(x, y, z) = (3, 1, 0) + t(−1, 2, 1), t ∈ R.
b) Planet skär x−axeln när y = 0 och z = 0. Sätt in värderna i ekvationen
för planet och vi får
2x − 2 · 0 + 6 · 0 = 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2.
På samma sätt planet skär y−axeln när x = 0 och z = 0.
2 · 0 − 2y + 6 · 0 = 4 ⇒ y = −2.
Planet skär z−axeln när x = 0 och y = 0.
2
2 · 0 − 2 · 0 + 6z = 4 ⇒ z = .
3
Svar: Planet π2 skär koordinataxlarna i punkterna (2, 0, 0), (0, −2, 0) och
(0, 0, 32 ).
c) Om vektorn är parallell med planet π1 så den är ortogonal med normalen till planet π1 . Normalen till planet är (1, 2, −3). För att bestämma
vektorn som är ortogonal mot två vektorer beräknar vi vektorprodukt.
(1, 2, −3) × (1, 1, 1) = (5, −4, −1).
3
Svar: Vektor som är parallell med planet π1 och vinkelrät mot vektorn
u = (1, 1, 1) har koordinater (5, −4, −1).
6 a) Låt A beteckna avbildningsmatrisen för F. Då A = (F (e1 ), F (e2 ), F (e3 )),
där e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) och e3 = (0, 0, 1) är basvektorerna.
F (e1 ) = F (u) = (2, 3, 4).
F (v) = F (1, 0, 0) + F (0, 1, 0) ⇒
F (e2 ) = v1 − u1 = (4, −3, 2) − (2, 3, 4) = (2, −6, −2).
F (w) = 2F (1, 0, 0) + F (0, 1, 0) + F (0, 0, 1) ⇒
F (e3 ) = w1 − 2u1 − F (e2 ) = (8, 1, 5) − 2(2, 3, 4) − (2, −6, −2) = (2, 1, −1).
2 2
2
Svar: A = 3 −6 1 .
4 −2 −1
b)
F (2u + 3v − w) = 2F (u) + 3F (v) − F (w) =
2u1 + 3v1 − w1 = 2(2, 3, 4) + 3(4, −3, 2) − (8, 1, 5) = (8, −4, 9).
Svar:(8, −4, 9).
4
