Föreläsning 27/11

Föreläsning 27/11
Motsvarar avsnitten 7.2, 7.3.1-7.3.3, 8.1 i Griffiths
Magnetisk energi
Det allmänna uttrycket för magnetiska energi är
Z
1
Wm =
H · B dv = total magnetisk energi
2 V
1
wm = H · B = magnetisk energitäthet
2
Integrationsområdet V är all volym där B 6= 0. Om vi antar ett system av N
stycken slingor med strömmar Ij , j = 1, 2..N kan vi använda följande ekvivalenta
uttryck för den magnetiska energin
N
N
1 XX
Wm =
Lij Ii Ij
2 i=1 j=1
där Lij , i 6= j, är ömsesidiga induktanser och Lii är självinduktanser. För två slingor
förenklas detta till
1
(0.1)
Wm = (L11 I12 + L22 I22 ) + L12 I1 I2
2
Maxwells ekvationer
Vi har nu samtliga ekvationer för de elektromagnetiska fälten.
∂B(r, t)
∂t
∂D(r, t)
∇ × H(r, t) = J (r, t) +
∂t
∇ · D(r, t) = ρ(r, t)
∇ · B(r, t) = 0
∇ × E(r, t) = −
Dessa ekvationer kallas Maxwells ekvationer och är exakta.
Konstitutiva relationer
Maxwells ekvationer är inte tillräckliga för att bestämma de elektromagnetiska fälten
E, D, B och H utan det behövs även konstitutiva relationer mellan E och D samt
mellan B och H. Vi kommer i elektrodynamiken att använda de enkla relationerna
som introducerades i elektro- och magnetostatiken, dvs D = ε0 εr E = εE, B =
µ0 µr H = µH.
Kommentar: Dessa enkla samband gäller endast i begränsade frekvensintervall.
Mer generalla samband behandlas t.ex. i kursen Elektromagnetisk vågutbredning.
1
Kontinuitetsekvationen
J
en
V
ρ
S
Antag en volym V som omsluts av ytan S med utåtriktad normal n̂. Jämvikt råder
ej utan vi kan ha en laddningstransport genom ytan S. Strömmen ut från volymen
ges av
I
Z
J (r, t) · n̂dS =
I(t) =
∇ · J (r, t)dv
(0.2)
V
S
Å andra sidan gäller
∂
∂Q(t)
=−
I(t) = −
∂t
∂t
Z
ρ(r, t)dv
(0.3)
V
där Q(t) är den inneslutna laddningen i V. Högerleden i ekvationerna (0.2) och (0.3)
är lika för alla volymer V. Från detta följer kontinuitetsekvationen
∇ · J (r, t) = −
∂ρ(r, t)
∂t
Poyntings teorem
Antag en volym V som omsluts av en yta S med utåtriktad normal n̂. I volymen
finns tidsvariabla elektriska och magnetiska fält som är genererade av strömmar
och laddningsfördelningar. Det sker ingen laddningstransport genom ytan S. Energikonservering måste råda och därmed skall det finnas ett samband mellan tidsderivatan av den upplagrad elektriska och magnetiska energin i V , de Ohmska effektförlusterna i V (d.v.s. värme) och den utstrålade effekten från volymen. Från
Maxwells fältekvationer följer Poyntings teorem som ger detta samband
Z
I
d
1
dW
=−
(E · D + B · H) dv − (E × H) · n̂ dS
dt
dt V 2
S
Här är
Z
dW
=
E · J dv = Ohmska förluster i V
dt
V
Z
1
(E · D + B · H) dv = summan av upplagrad elektrisk och magnetisk energi i V
2
IV
I
(E × H) · n̂ = S · n̂dS = utstrålad effekt från V
S
S = E × H = Poyntings vektor=Strålningsvektorn
Poyntings vektor S(r, t) anger effektflödestätheten till både storlek och riktning.
2