Sammanfattning föreläsning 6
Gerhard Kristensson
Institutionen för elektro- och informationsteknik
22 september 2014
Viktigt meddelande
1
Ett extra seminarium i EF (exempel, lösningsmetoder
och lösningsstrategi) är schemalagd till onsdagen den
24 september i E:B
2
Problem och svar, som kommer att lösas, ligger under
seminarierubriken på hemsidan
3
Efter seminariet kommer också lösningarna att ligga på
hemsidan
22 september 2014
GK
Sida 1
Biot-Savarts lag
Fältet B genereras av laddningar i rörelse
Z
µ0
Id`0 × (r − r0 )
B(r) =
(Biot-Savarts lag)
4π C
|r − r0 |3
Fältpunkt
r¡r
I
C
jr ¡ r j
d`
B
Källpunkt
r
r
Origo
22 september 2014
GK
Sida 2
Konservering av magnetiskt flöde
Från Biot-Savarts lag följer att
∇ · B(r) = 0 (inga magnetiska punktladdningar)
Det magnetiska flödet
ZZ
B · n̂ dS
Φ=
S
är
samma genom alla ytor S som har samma randkurva
är noll genom en sluten yta S, dvs. lika mycket flöde in
som ut genom S
alla B:s flödeslinjer bildar slutna banor
22 september 2014
GK
Sida 3
Ampères lag
Från Biot-Savarts lag följer också att
∇ × B(r) = µ0 J(r)
I
Z
J · n̂dS = µ0 · strömmen genom S
B · d` = µ0
C
S
22 september 2014
GK
Sida 4
Vektorpotentialen A
Vektorpotentialen A
B(r) = ∇ × A(r)
∇2 A = −µ0 J
ZZZ
µ0
J(r0 ) dv0
A(r) =
0
4π
V |r − r |
22 september 2014
GK
Sida 5
Multipolutveckling
På stort avstånd från slingan
Z
Z
∞
I d`
µ0 I X 1
µ0
0l
0
=
r
P
(cos
θ
) d`
A(r) =
l
4π L |r − r0 |
4π
rl+1 L
l=0
Dominerande term (dipolbidraget)
µ0 m × r̂
µ0 m × r
=
4π r2
4π r3
där det magnetiska dipolmomentet m definieras genom
Z
m = I n̂ dS
A(r)dip =
S
^
n
^
m = IA n
I
22 september 2014
A
GK
Sida 6
Sammanfattning av läget
1
Statiska laddningar ⇒ Konstant elektriskt fält
(el.-statik)
2
Stationära strömningar ⇒ Konstant magnetisk
flödestäthet (magneto-statik)
Magnetostatik
El.-statik
22 september 2014
∇ · E = ρ/ε0
∇·B=0
∇×E=0
∇ × B = µ0 J
GK
Sida 7
Samband mellan magnetiska storheter
J( 0
|r − r )
r 0| dv 0
Z
V
µ0
−∇ 2
A(
r) /
r) /
B(
·B
J(r
)=
,∇
µ0
0
(r)
0
r ) dv
−
(r 3
0 )×
r0 |
J ( r |r −
×
V
ZZ
µ0
= 4π
∇
A(
r)
r)
B(
)=
J (r
= µ0 Z Z
Z
4π
J
=
B
A
22 september 2014
0
B(r) = ∇ × A(r), ∇ · A(r) = 0
GK
Sida 8
