Föreläsning 17/11
5.3.3, 5.4.3, 6.1–6.3 i Griffiths
Magnetostatik (fortsättning)
Integralform av ∇ · B = 0
B
E
-
+
Figur: I elektrostatiken startar de elektriska fältlinjerna på positiva
laddningar och slutar på negativa laddningar (vänstra figuren). Magnetiska flödeslinjerna bildar alltid slutna banor, eftersom det inte finns
några magnetiska laddningar (högra figuren). Genom varje sluten yta
går det in lika många magnetiska flödeslinjer som det går ut.
Låt V vara en volym som omsluts av ytan S med utåtriktad normal n̂. Eftersom
∇ · B = 0 ger Gauss sats att
I
Z
B(r) · n̂dS = 0
∇ · Bdv = 0 ⇒
S
V
Det betyder att det är lika mycket flöde in som ut genom S. Det betyder också att
alla flödeslinjer bildar slutna banor, se figur.
Ampères lag på integralform
en
S
J
Låt C vara en sluten kurva i rummetCsom spänner upp ytan S. Omloppsriktningen för C och normalen till S är relaterade via skruvregeln, se figur. Ampères lag
ger
Z
Z
∇ × B = µ0 J ⇒
(∇ × B) · n̂dS = µ0 J · n̂dS = µ0 · ström genom S
S
S
Genom att använda Stokes sats (se vektoranalysen) får vi Ampères lag på integralform
I
Z
B · d` = µ0 J · n̂dS = µ0 · strömmen genom S
(0.1)
C
S
Exempel: B från en lång rak ledare med ström I. Lägg z−axeln längs ledaren,
se figur. Av symmetriskäl gäller B = B(rc )φ̂. Låt C vara en cirkulär slinga koncentriskt kring z−axeln. Då fås
1
I
I
C
Alltså ger ekv. (0.1)
C
z
B(rc ) · d` = B(rc )2πrc
B(rc ) =
µ0 I
φ̂
2πrc
Magnetiskt dipolmoment
en
m = I Sen
S
I
Figur En slinga kan på långt håll approximeras med en magnetisk dipol
m. Dipolen ritas som en kort vektorpil.
Antag en plan slinga C som för en ström I. Slingans magnetiska moment m
definieras som
m = IS n̂
där S är ytan som slingan spänner upp och n̂ är normalen till ytan S. Normalens
riktning och strömmens omloppsriktning är relaterade via skruvregeln
B från magnetisk dipol
Antag att slingan placeras i origo med n̂ = ẑ, se figur. Långt bort från slingan är
den magnetiska flödestätheten approximativt lika med det magnetiska dipolfältet
µ0 m
(2r̂ cos θ + θ̂ sin θ)
(0.2)
B(r) =
4πr3
Notera att detta, så när som på en konstant, är samma uttryck som elektriska fältet
från en elektrisk dipol.
z
er
eθ
θ
fältlinje
B
Kommentar: Fältet i ekvation (0.2) gäller exakt för en matematisk dipol, vilket
är en cirkulär slinga med ström I → ∞ och radie a → 0 så att IS = Iπa2 = m.
2
Krafter och moment på magnetisk dipol
En partikel med laddning q som rör sig med hastigheten v i en magnetisk flödestäthet
B känner av Lorentzkraften
F = qv × B
Från Lorentzkraften följer att kraften på en ledare med ström I ges av uttrycket
Z
F = I d` × B
Om ledaren är rak med längd L och för strömmen I i positiv z−led, och magnetfältet
är konstant och givet av B = B α̂, ges kraften av BIL formeln
F = BILẑ × α̂
För en sluten slinga leder den magnetiska kraften till ett vridande moment. Antag en
plan slinga, med ström I, som spänner upp ytan S. Om magnetfältet är homogent
blir totala kraften på slingan noll. Däremot utsätts slingan för ett vridande moment
som ges av
T =m×B
där m = SI n̂ är slingans magnetiska moment.
Magnetism
Detta avsnitt läses kursivt. Elektroner och atomkärnor har magnetiska moment och
dessutom skapas ett magnetiskt moment då elektronerna rör sig kring atomkärnan.
Atomer är alltså magnetiska dipoler. I en makroskopisk beskrivning ger atomerna
upphov till en magnetisk dipoltäthet. Denna dipoltäthet kallas magnetisering och
betecknas M . Ett litet volymelement ∆V har dipolmomentet
∆m = M ∆V
Totala dipolmomentet i en volym V ges av
Z
m=
M (r)dv
V
Magnetfältet H
B = µ0 (M + H)
• Magnetiska flödestätheten B genereras av alla strömmar. Den matematiska
relationen kan skrivas ∇ × B = µ0 J .
• Magnetiseringen M genereras av bundna strömmar (spinnet hos elektronen
och atomkärnan samt elektronens rörelse runt atomkärnan). Det gäller att
∇ × M = J m där Jm är strömtätheten av bundna strömmar.
3
• Magnetfältet H genereras av strömmar av fria laddningar (valenselektroner,
fria elektroner och joner). Det gäller att ∇ × H = J f där J f är strömtätheten
av fria laddningar.
För ett linjärt material är magnetiseringen proportionellt mot magnetfältet H.
M = χm H
det ger att B = µ0 (1 + χm )H = µ0 µr H. Den relativa permeabiliteten µr är
en dimensionslös storhet som för de flesta material ligger mycket nära ett. För
ferromagnetiska material (järn, nickel och kobolt) är det betydligt större (100-1000).
4
