1
Institutionen för elektrovetenskap
Tentamen Modellering och simulering inom fältteori,
21 augusti, 2007
Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori
Varje uppgift ger 10 poäng. Delbetyget på tentan ges av (total poäng)/10.
1
a) För vilket värde på konstanten a blir rotationen av vektorfältet
A(x, y, z) = (axy − z 3 )x̂ + ((a − 2)x2 )ŷ + ((1 − a)xz 2 )ẑ
identiskt lika med noll?
b) Bestäm A:s
R skalära potential för detta värde på a.
c) Beräkna A · dr längs kurvan (x = t2 + 1, y = t3 , z = 2t2 ), −1 ≤ t ≤ 1 för
samma värde på a.
2
Beräkna
I
F · dS
S
där F = (2xy, yz 2 , xy) och S är ytan av en kub i origo med kanter i x = ±1, y = ±1
och z = ±1 och med normalen riktad utåt.
3
En plattkondensator har cirkulära plattor med radien a. Avståndet mellan plattorna är d (d a). Området rc ≤ a/2 mellan plattorna är fyllt med ett oledande
plastmaterial med relativ permittivitet εr medan det för a/2 < rc < a är luft.
a) Bestäm kondensatorns kapacitans.
b) Hur stor fri laddning finns på den positivt laddade plattan om spänningen mellan
plattorna är V ?
c) Hur stor fri laddning finns på ytan rc < a/2 av den positivt laddade plattan om
spänningen mellan plattorna är V ?
2
4
En koaxialkabel har en innerledare med radien a och en ytterledare med innerradien b. Mellan ledarna är det vakuum. I innerledaren flyter en ström I i positiv
z−led och i ytterledaren en ström −I. Båda strömmarna är jämnt fördelade över
respektive tvärsnitt. En elektron rör sig med hastigheten v = v0 ẑ på avståndet r
från symmetriaxeln, där a < r < b. Man lägger en spänning V mellan inner- och
ytterledaren så att totala kraften på elektronen är noll. Bestäm V .
5
4m
60º
Pelle sitter i en gunga som består av en träsits som är upphängd med två metallkedjor i en horisontell metallstång. Avståndet melan kedjorna är 0.5 meter och
avståndet från metallstången ned till Pelles händer är fyra meter. När han är i det
högsta läget bildar gungans kedjor 60 graders vinkel med vertikallinjen, enligt figur.
Pelles gunga är uppställd så att han rör sig i väst-östlig riktning. På det ställe där
gungan är uppställd ges det jordmagnetiska fältet av
B = B0 (0.6x̂ + 0.8ẑ)
där x̂ är riktad horisontellt i syd-nordlig riktning och ẑ är riktad nedåt i vertikal
led. Styrkan på det jormagnetiska fältet är B0 = 50 µT.
Bestäm den maximala ström som går genom Pelle när han gungar. Vi kan anta att
resistansen mellan Pelles händer är 1 kΩ och att metallstången och kedjorna har
försumbar resistans.
6
Ett elektromagnetiskt fält är en superposition av två plana linjärpolariserade vågor.
Det totala elektriska fältet ges av
E(x, z, t) = E0 (sin(ωt − kz)x̂ + sin(ωt − kx)ẑ)
Vågorna utbeder sig i vakuum.
a) Bestäm det magnetiska fältet och ange var i rummet detta alltid är noll.
b) Bestäm tidsmedelvärdet av strålningsvektorn och ange var i rummet det är maximalt respektive minimalt.
1
Institutionen för elektrovetenskap
Lösning tentamen Modellering och simulering inom
fältteori, 21 augusti, 2007
1
a) Vi får
x̂
ŷ
ẑ
∂
∂
∂
∇×A = ∂x
∂y
∂z
axy − z 3 (a − 2)x2 (1 − a)xz 2
= −((1−a)z 2 +3z 2 )ŷ+(2(a−2)x−ax)ẑ
Om vi väljer a = 4 blir rotationen noll.
, ∂V , ∂V ). Integration av varje komponent ger
b) A = −∇V = −( ∂V
∂x ∂y ∂z
V = xz 3 − 2x2 y + konstant
R
c) Vi använder A · dr = V (startpunkt) − V (slutpunkt). Startpunkten= r(t =
−1) = (2, −1, 2) och slutpunkten= r(t = 1)) = (2, 1, 2). Det ger
Z
A · dr = 16
2
Vi kan utnyttja divergenssatsen. ∇ · F = 2y + z 2 och
I
Z
F · dS =
∇ · F dV
S
V
Detta ger resultatet 8/3 vilket är samma som fås om ytintegralerna över de sex
ytorna adderas.
3
Vi använder plattkondensatorformeln
C=
ε0 εr A
d
2
a) Kondensatorn kan ses som två parallellkopplade kondensatorer med kapacitanserna
ε0 π(a2 − (a/2)2 )
d
ε0 εr π(a/2)2
C2 =
d
C1 =
Totala kapacitansen ges av
C = C1 + C2 =
ε0 π(4a2 + (εr − 1)a2 )
ε0 πa2 (3 + εr )
=
4d
4d
b) Totala laddningen ges av
Q = CV = V
ε0 πa2 (3 + εr )
4d
c) Laddningen för ytan r ≤ a/2 ges av Q1 = V C2 dvs
Q1 = ε0 εr π
V a2
4d
4
Magnetfältet mellan ledarna ges av
B=
µ0 I
φ̂
2πrc
Den magnetiska kraften på elektronen är
F m = qe v × B = −qe
µ0 Iv0
rˆc
2πrc
Den magnetiska kraften uppvägs av den elektriska F e = qe E. Vi låter potentialen
vara V0 på innerledaren och 0 på ytterledaren. Laplace ekvation ger då att potentialen mellan ledarna ges av
V (rc ) = −V
ln(rc /b)
ln(b/a)
Motsvarande elektriska fält är
E = −∇V (rc ) =
V
r̂ c
rc ln(b/a)
Då kraften på elektronen är noll gäller F e = −F m och därmed
V =
µ0 Iv0 ln(b/a)
2π
3
5
Vi får strömmen som
i=
E
R
där R är Pelles resistans och E är emk:n
E =−
dΦ(t)
dt
Det magnetiska flödet genom gungan ges av
Φ(t) = B0 0.8 sin α(t)S
där α(t) är vinkeln mellan gungan och vertikallinjen och S = 0.5 · 4 = 2 m2 är ytan
mellan gungans kedjor. Strömmen genom Pelle ges då av
1 dΦ(t) B0 0.8
dα(t) =
S
|i| = cos α(t) R dt R
dt Från detta uttryck är det uppenbart att strömmen är maximal när Pelle befinner
sig i den lägsta punkten α = 0 eftersom då både tidsderivatan av α och cos α är
maximala. Tidsderivatan av α(t) fås ur energikonservering. Pelles lägesenergi vid
den högsta punkten är mgh där h = 4 cos 60◦ = 2 m. Denna energi övergår vid den
lägsta punkten i rörelseenergi. Därmed gäller
2
dα
1
mgh = m 2h
2
dt
Vinkelhastigheten ges alltså av
r
dα g
=
dt 2h
Den maximala strömmen är
B0 0.8
|i| =
R
r
√
g
S = 80 2.5 nA
2h
6
a) Högertrebensregeln ger magnetfältet
H(z, t) =
E0
(sin(ωt − kz)ŷ − sin(ωt − kx)ŷ)
η0
där η0 är vågimpedansen för vakuum. Vi ser att magnetfältet är noll i alla plan
x = z + 2nπ/k
4
där n är ett godtyckligt heltal.
b) Tidsmedelvärdet av strålningsvektorn ges av
1
S = Re{E × H ∗ }
2
där E och H är de komplexa fälten
E = −E0 eikz x̂ + eikx ẑ
E0 ikz
H=−
e − eikx ŷ
η0
Därmed
E02
Re{(1 − eik(z−x) )ẑ + (1 − eik(x−z) x̂}
2η0
E2
= 0 ((1 − cos(k(z − x)))(x̂ + ẑ)
2η0
S=
Vi ser att S = 0 i alla plan x = z + 2nπ/k. Vi ser också att S antar sitt maximala
E2
värde S = η00 (ẑ + x̂) i alla plan där x = z + (2n + 1)π/k.
