PHYS-A5130 Elektromagnetism period III våren 2017
Vecka 2
~ = (−5,00 N/Cm)xî +
1. En kub med sidlängden L = 3,00 m placeras med ett hörn i origo (se figuren). Elfältet ges av E
(3,00 N/Cm)z k̂.
(a) Bestäm det elektriska flödet genom varje sida i kuben.
(b) Finns det laddning inom kuben? Ifall ja, hur mycket? Ifall nej, varför ej?
Medelsvår
~ = (600 N/C)î. (a) Bestäm det elektriska
2. Den kilformade slutna ytan i figuren är i ett område med ett homogent elfält E
flödet genom varje enskild yta, (b) Bestäm nettoflödet genom hela den slutna ytan. Finns det någon laddning inom den
slutna ytan?
Lätt
3. En laddad sfär (radie R1 ) har en total laddning +4q homogent fördelad över dess volym.
(a) Härled uttrycket för elfältet i och kring sfären.
(b) Sfären omges av ett ledande sfäriskt skal med inre radien R2 och yttre radien R3 (R1 < R2 < R3 ). Skalet har en total
laddning −2q. Hur fördelas denna laddning i det ledande skalet? Motivera.
Medelsvår
4. En oändligt lång rak cylinder (radie R) av ett isolerande material har en homogen laddningsdensitet λ, ([λ]=C/m). Bestäm
det elektriska fältet för alla avstånd r från cylinderns symmetriaxel.
Medelsvår
5. En sfär av ett isolerande material med radien R har ett sfäriskt hål (inom sig) med radien a centrerad på ett avstånd b från
sfärens mittpunkt (a < b < R). Den fasta delen av sfären (dvs. inte hålet) har en homogen laddningsdensitet ρ. Bestäm
~ är homogent över hela hålet.
styrkan och riktingen för elfältet i hålet och visa att E
Svår
Vecka 3
1. I nedastående kopplingschema är C1 = C5 = 8,6 µF och C2 = C3 = C4 = 4,3 µF. Potentialskillnaden Vab = 220 V.
(a) Bestäm den ekvivalenta kapacitansen för systemet av kondensatorer mellan a och b.
(b) Bestäm laddningen för kondensator C4 samt potentialskillnaden över denna kondensator.
Lätt
2. Mellan kondensatorskivorna i en skivkondensator finns ett okänt isolerande material, vars relativa permittivitet är εr . Skivornas area är A = 10,0 cm2 och avståndet mellan dem är d1 = 1,00 mm. En laddning Q1 tillförs kondensatorn, varefter
brytaren S öppnas. Spänningsmätaren ger då utslaget V1 . Efter detta avlägsnas det isolerande materialet.
(a) Hur förändras kondensatorns kapacitans och laddning, samt spänningen mellan skivorna då det isolerande materialet
avlägsnas? Motivera.
(b) Avståndet mellan skivorna ändras så att spänningsmätaren ger samma utslag V1 som med det isolerande materialet
mellan skivorna. Avståndet mellan skivorna mäts då till d2 = 0,46 mm. Bestäm den relativa permittiviteten εr för det
isolerande materialet.
Lätt
3. En ledande sfär med radien R1 ges en laddning Q. Sfären omges av ett sfäriskt skal av ett oladdat dielektriskt material med
inre radien R1 , yttre radien R2 och med den dielektriska konstanten κ.
(a) Bestäm elfältet för alla avstånd r från sfärens mittpunkt.
(b) Bestäm den ledande sfärens potential i förhållande till V = 0 oändligt långt borta från sfären.
(c) Bestäm den elektrostatiska potentialenergin för systemet.
Medelsvår
4. I föreläsningstransparangerna visas att energidensiteten i elfältet mellan kondensatorskivorna i en skivkondensator är proportionellt mot elfältets kvadrat:
u=
1
ε0 E 2 .
2
Visa att detta även gäller för en cylindrisk kondensator.
Svår
5. Visa att den elektriska potentialen i elfältet från en dipol är
V =
p~ · r̂
4πε0 r2
då avståndet till dipolen är mycket större än avståndet a mellan dipolens laddningar. r̂ är en enhetsvektor som pekar från
dipolens mittpunkt mot en punkt P där potentialen bestäms.
Medelsvår
Vecka 4
1. I en stel cirkulär strömslinga med radien R och massan M går en ström I. Slingan är placerad på ett horisontellt bord.
~ Vad är minimivärdet på detta magnetfält som krävs för att lyfta en
Strömslingan påverkas av ett horisontellt magnetfält B.
ända på strömslingan från bordsytan?
Medelsvår
2. Visa med hjälp av att applicera Amperes lag att ett magnetfält inte abrupt kan falla till noll vid kanten av området mellan
två magneter, dvs. randeffekter sker alltid (fältlinjerna böjs).
Svår
N
S
3. Bestäm magnetfältet i intervallet r ∈ [0,∞] för koaxialkabeln i figuren.
Medelsvår
4. En metallstav roterar kring sin ena ända i ett homogent magnetfält, som är riktat vinkelrätt mot rotationsplanet. Magnetfältets magnetiska flödestäthet är 0,45 T. Stavens längd är 41 cm och dess vinkelhastighet är 31 rad/s.
(a) Redogör för vilken av metallstavens ändor som är positivt laddad.
(b) Bestäm det största värdet för elfältet som uppstår i metallstaven.
Lätt
5. Figuren visar tvärsnittet av en lång cylindrisk ledare med radien a = 4,0 cm, som har ett cylindriskt hål parallellt med
sin centralaxel med radien b = 1,50 cm. Avståndet mellan cylinderns och hålets centralaxlar är d = 2,00 cm. Strömmen
i = 5,25 A är homogent distribuerad över figurens gråa område. (a) Bestäm storleken på den magnetiska flödestätheten i
hålets mittpunkt. (b) Överenstämmer ditt resultat med specialfallen b = 0 och d = 0?
Svår
Vecka 5
1. Betrakta nedanstående kopplingar (i) och (ii).
(a) Hur stor är potentialskillnaden mellan punkterna a och b i kopplingarna då brytaren S är öppen?
(b) I vilken potential är punkt b i förhållande till jord efter att brytaren S slutits och jämvikt uppnåtts?
(c) Hur mycket ändrar laddningen på de båda kondensatorerna efter att brytaren S slutits?
Lätt
(i)
(ii)
2. En cyklotronmagnet består av två cirkulära polytor med radien R=50 cm. När magneten sätts på ökar magnetfältet lineärt
under 2 s ända tills det når toppvärdet 2 T.
(a) Härled ett uttryck för elfältet mellan polytorna. Ge svaret som funktion av
∂B
∂t
och r.
(b) Beräkna styrkan i elfältet då r = 40 cm.
(c) Upprepa (a)-fallet för r > R.
Medelsvår
B
R
3. Betrakta nedanstående krets. Brytaren S sluts vid tidpunkten t = 0 och en ström i1 börjar gå i den induktiva grenen av
kretsen och en ström i2 i den kapacitiva grenen. Kondensatorns laddning innan brytaren sluts är noll och laddningen vid
tidpunkten t är q2 . (a) Använd dig av Kirchhoffs lagar för att härleda uttryck för i1 , i2 och q2 . Ge svaret som funktion av
E, L, C, R1 , R2 och t. (b) Låt R1 = 25 Ω, R2 = 5000 Ω, C = 20 µF, E = 48 V och L = 8,0 H. Hur stor är strömmen
genom den induktiva grenen och den kapacitiva grenen ögonblicket efter att brytaren slutits?
Svår
4. En strömslinga formad som en rätvinklig triangel rör sig med hastigheten 4,0 m/s, igenom ett homogent magnetfält riktat
vinkelrätt mot hastigheten och in i pappret, enligt figuren. Magnetfältets flödestäthet är B = 15 mT, längden på triangelns
kortaste sida är a = 12 cm och magnetfältets bredd är b = 50 cm.
a) I vilken riktning går den inducerade strömmen? Motivera.
b) Rita den inducerade källspänningen som funktion av tiden.
c) Bestäm det största värdet på källspänningen.
Medelsvår
5. En laddad kondensator, med kapacitansen C, får urladda sig genom en spole, vars resistans är R0 och induktans L = 42
mH. Härvid minskar den oscillerande laddningen i kondensatorn till hälften av sitt utgångsvärde på tiden 0,8 ms. Därpå
kopplas ett motstånd med resistansen 3R0 i serie med spolen och kondensatorn, varvid laddningens svängning nätt och
jämnt upphör. Bestäm kondensatorns kapacitans.
Medelsvår
Vecka 6
1. En elektromagnetisk våg har magnetfältet
~
B(x,
t) = (7,32 · 10−6 T) ĵ sin (1,28 · 104 rad/m)x − ωt
(a) I vilken riktning rör sig vågen?
(b) Hur stor är vågens våglängd λ?
(c) Skriv ner vågfunktionen för elfältet.
(d) Bestäm vågens Poynting vektor och intensitet.
Lätt
2. Ljus som rör sig vågrätt består av en opolariserad komponent I0 och av en polariserad komponent IP . Polarisationsplanet
för den polariserade komponenten är orienterad i en vinkel θ i förhållande till vertikalen. I tabellen nedan ges intensiteten
mätt genom en polarisator, vars polarisationsplan är i vinkeln φ i förhållande till vertikalen.
(a) Bestäm vinkeln θ, polarisationsplanet för den polariserade komponenten.
(b) Bestäm värden för I0 och IP .
Medelsvår
φ [◦ ]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Itotal [W/m2 ]
18,4
21,4
23,7
24,8
24,8
23,7
21,4
18,4
15,0
11,6
φ [◦ ]
100
110
120
130
140
150
160
170
180
Itotal [W/m2 ]
8,6
6,3
5,2
5,2
6,3
8,6
11,6
15,0
18,4
3. Tre polarisatorer är placerade i rad så att polarisationsaxeln för den andra polarisatorn är i en vinkel θ med den första
polarisatorns axel och den tredje polarisatorns axel är i en vinkel 90◦ med den första polarisatorns axel. Opolariserat ljus
(intensitet I0 ) träffar denna rad av polarisatorer. (a) Härled uttrycket för ljusets intensitet efter den tredje polarisatorn som
funktion av I0 och θ. (b) För vilket värde på θ antar denna intensitet sitt maximi värde?
Medelsvår
4. En ljusstråle går igenom ett glasblock med brytningsindexet n0 och tjockleken t. Strålens infallsvinkel är θa och brytningsvinkel är θb0 . Visa att strålens parallellförskjutning d är
cos θa
d=t 1− p
n02 − sin2 θa
!
sin θa
Medelsvår
5. Härled brytningslagen (Snells lag).
Vägledning: Utgå antingen från Fermats princip: Ljuset följer den väg som innebär den kortaste färdtiden, eller från
principen att Tidsskillnaden mellan korresponderande punkter på två olika vågfronter är lika för alla par av korresponderande punkter.
Svår
