Institutionen för fysik Ú 2014–08–11 Kjell Rönnmark Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält Syfte Magnetisk dipol och harmonisk oscillator är två mycket viktiga modeller inom fysiken. Laborationens syfte är att ge en djupare förståelse av dessa modeller, de approximationer som leder fram till dem, och hur approximationerna begränsar modellernas tillämpning på praktiska problem. I laborationen bestäms först en permanentmagnets magnetiska moment genom att mäta hur magnetfältets styrka varierar med avståndet. Sedan undersöks vid vilken amplitud magnetens svängningar i fältet från en kort spole inte längre kan betraktas som harmoniska. Slutligen bestäms det magnetiska momentet genom mätning av med vilken frekvens magneten svänger i det inhomogena magnetfältet. Utrustning • • • • • • • Permanentmagnet Spole med glidbana och ryttare Strömkälla, GPR 3060 (kan leverera 5A, 30V) Amperemeter (→ 5A, upplösning 0.01 A) Magnetometer (Hallprob) med mätbord Våg Stoppur 1 Fig. 1. Magnetiskt dipolfält Teori Om man undersöker fältet kring en liten magnet liknar många av dess egenskaper en magnetisk dipol. En magnetisk dipol är helt enkelt en strömslinga vars radie r är myckt liten i förhållande till alla andra avstånd. Den kan fullständigt beskivas av sitt magnetiska moment µ µ = NIA n̂ (1) där I är strömmen som går N varv runt kanten på en yta med area A och normalvektor n̂. Magnetfältet från en dipol kan, efter ganska besvärliga räkningar, skrivas µ (2) B(r) = 0 3 3(µ · r̂)r̂ − µ , 4πr och fältlinjernas form visas i Fig 1. Om vi inför polära koordinater med z-axeln längs n̂ och bara betraktar punkter längs axeln, r = z n̂, ges magnetfältets styrka av µ µ Bz (z) = 0 3 (3) 2πz En permanentmagnet är uppbyggd av en stor mängd mikroskopiska dipoler, som är mer eller mindre parallella. Det är omöjligt att mäta I och A på atomär nivå, men om man inte kommer för nära själva magneten kan den beskrivas av ett enda magnetiskt moment µP , som är vektorsumman av de många ingående atomenas magnetiska moment. Genom att mäta Bz (z) och avståndet z till magnetens mitt kan vi med hjälp av (3) beräkna dess magnetiska momentet µP . I laborationen används också en större spole. På några meters avstånd skulle också den kunna betraktas som en dipol, men vi är här intresserade av magnetfältet i spolens centrum, och då kan vi inte försumma spolens radie R. 2 Med hjälp av Biot-Savarts lag kan magnetfältet längs axeln i en punkt på avståndet z från centrum på en spole med magnetiska moment µR = πR2 NI skrivas (Benson, Ex. 30.3, sid 610) Bz (z) = µ0 NIR2 µ0 µR = , 2(R2 + z 2 )3/2 2π(R2 + z 2 )3/2 (4) Notera att då R → 0 får (4) samma form som (3). Magnetfältet är maximalt i spolens mitt (z = 0) där de magnetiska fältlinjerna ligger tätast. Det magnetiska flödet Φr = πr 2 Bz genom de skuggade ytorna i Fig 2. är oberoende av z om r(z) är avståndet från z-axeln till en viss fältlinje. Genom Taylorutveckling av Φr (z + ∆z) får vi Br B I Bz r (z) z R Fig. 2. Magnetfältet från en cirkulär spole. dΦr (z) d 2 πr (z)Bz (z) = Φr (z) + ∆z # dz "dz dBz dr , = Φr (z) + ∆z π 2r Bz + r 2 dz dz Φr (z + ∆z) = Φr (z) + ∆z (5) som eftersom Φr är konstant måste vara oberoende av ∆z. Då måste uttrycket inom [ ] vara noll, vilket ger Bz dr r dBz + = 0. dz 2 dz (6) Att fältlinjerna alltid är parallella med B betyder att (se Fig. 2) dr Br = , dz Bz 3 (7) och med hjälp av detta kan vi ur (6) lösa ut det radiella magnetfältet Br = − r dBz . 2 dz (8) Kraften på ett strömelement I dl är vinkelrät mot B och ges av (Benson, ekv. 29.5) dF = I dl × B. (9) På en liten strömslinga med radie r kommer alltså magnetfältets radiella R komponent Br att ge en kraft i z-riktningen. Eftersom dl = 2πr i detta fall blir kraften på strömslingan, med hjälp av (8), Fz = I2πrBr = −Iπr 2 dBz dBz = −µ dz dz (10) En liten strömslinga på den stora spolens axel påverkas alltså av en kraft som är proportionell mot dess magnetiska moment. Detta gäller också för en permanentmagnet µP , som ju är uppbyggd av många mikroskopiska strömslingor. Uppgift 1: Beskriv, med ekv (9) som utgångspunkt, i ord och bild hur kraftens riktning beror på hur strömmen i spolen förhåller sig till de atomära strömmarna i permanentmagneten! 4 Uppgift 2: Beräkna med hjälp av (4) och (10) kraften Fz på en liten permanentmagnet med magnetiskt moment µP på avståndet z från spolens centrum. Uppgift 3: Om z ≪ R kan Fz förenklas genom att sätta (1 + z 2 /R2 ) ≈ 1. Hur stort blir maximala felet i Fz om z ≤ R/10? Om vi linjäriserar Fz genom approximationen (1 + z 2 /R2 ) ≈ 1 får vi rörelseekvationen d2 z 3µ µP NI m 2 = Fz = − 0 3 z (11) dt 2R där m är den svängande massan (magnet och ryttare). Denna ekvation beskriver en harmonisk svängningsrörelse med frekvens ω= s 3µ0 µP NI 2mR3 (12) Genom att experimentellt bestämma ω kan vi från (12) beräkna permanentmagnetens dipolmoment µP . 5 Genomförande av experimenten Fig. 3. Gaussmeter med axiell Hallprob Uppgift 4: Bestäm en permanentmagnets magnetiska moment µP genom att mäta magnetfältets styrka på olika avstånd längs axeln. Utförande: Stavmagneten läggs i mätfixturen och magnetiska fältstyrkan mäts i stavmagnetens axiella riktning för 10 olika avstånd (2, 4, 6, 8, . . . , 20 cm). Använd sedan ekvation (3) för att beräkna permanentmagnetens magnetiska moment µP . 6 Fig. 4. Luftbana med ryttare och magnetspole Uppgift 5: Bestäm vid vilken svängningsamplitud linjäriseringen av rörelseekvationen genom approximationen (1 + z 2 /R2 ) ≈ 1 märkbart påverkar svängningens vinkelfrekvens ω. Utförande: 1. Montera stavmagneten med hjälp av dubbelhäftande tejp (mitt på och parallellt med ryttaren). 2. Koppla tryckslang till tryckluftsuttag och skruva upp flödet på flödesregulatorn så att ryttaren lyfter. 3. Ställ in strömmen genom spolen på 5.00 A och släpp ryttaren med magnetens centrum 1 cm från spolens centrum. Klocka 10 svängningar med hjälp av tidtagarur, och bestäm periodtiden. Gör sedan om samma mätning, men öka amplituden i steg om 2 cm så långt det går. Använd resultatet för att välja och motivera startamplituden i nästa uppgift! 7 Uppgift 6: Bestäm en permanentmagnets magnetiska moment µP genom att mäta svängningsfrekvensen ω i ett inhomogent magnetfält. Utförande: 1. Ställ in strömmen genom spolen på 1.00 A och släpp ryttaren med magnetens centrum på lämpligt avstånd från spolens centrum. Klocka 10 svängningar med hjälp av tidtagarur och bestäm periodtiden. Gör på samma sätt för varje 0.50 A upp t.o.m. 5.00 A ( 9 mätningar ). 8