Formelsamling till Elektromagnetisk
fältteori
Lars-Göran Westerberg
Avdelningen för strömningslära
Luleå tekniska universitet
13 januari 2009
Sammanfattning
Den här formelsamlingen utgör tillsammans med Physics Handbook
och Beta tillåtna hjälpmedel i kursen. Komplementerande anteckningar
får göras i denna formelsamling. Kapitel i respektive bok som är av
speciellt intresse för denna kurs är (notera att beroende på utgåva,
kanske inte här angivet kapitelnummer motsvarar just det du har i din
version)
Physics Handbook
• #3 Electromagnetic Theory: Innehåller en hel del matnyttigt som
storheter, symboler och enheter. Detta kapitel är även bra komplement till formlerna i detta dokument.
• #M-9 Vector Analysis: Diverse nyttig vektoralgebra.
• #M-10 Special Coordinate Systems: Transformation mellan de
olika koordinatsystemen och med grad, div och curl för respektive
koordinatsystem. Innehållet i M-9 och M-10 finns även i BETA,
se nedan.
BETA - Mathematics Handbook
• #7.2 Tables of Indefinite Integrals: Lösningar till integraler som
dyker upp i kursen hittar du här.
• #11.2 Vector Fields: Innehåller allt som behövs i form av vektoralgebra för olika koordinatsystem, yt- och volymselement, enhetsvektorer, grad, div, curl mm.
1
1
Elektrostatik
Här behandlas elektrostatiska fält i vakum, ledande material och dielektrika.
Elektrostatik innebär att tidsberoende inte tas i beaktande.
1.1
Elektrostatiska fält i vakum
I vakum är elektriska laddningar fria, till skillnad från i dielektriska material
där förekommande laddningar antingen är fria eller bundna i materialet.
1.1.1
Definition av R, R, R̂
R = r − r0
(1a)
R = |r − r0 |
(1b)
R
R
(1c)
R̂ =
Här är r ortsvektorn till observationspunkten, medan r0 är motsvarande vektor till källan.
1.1.2
E-fält
Det elektriska fältet till följd av följande laddningsfördelningar är
• N stycken punktladdningar
E(r) =
N
X
qi R̂i
4π0 Ri2
i=1
• Linjeladdning
1
E(r) =
4π0
Z
(2)
ρL (r0 )R̂ 0
dl
R2
(3)
ρs (r0 )R̂ 0
da
R2
(4)
L0
• Ytladdning
E(r) =
1
4π0
Z
S0
2
• Volymsladdning
1
E(r) =
4π0
Z
ρv (r0 )R̂ 0
dv .
R2
(5)
V0
Här är dl0 , da0 och dv 0 respektive linje-, yt- och volymselemnt. ρL , ρs och ρv är
laddningsdensiteten per längdenhet, areaenhet och volymsenhet. Respektive
laddningsfördelning kan då skrivas som
• Linjeladdning
dq 0 = ρL dl0
(6)
dq 0 = ρs da0
(7)
dq 0 = ρv dv 0 .
(8)
• Ytladdning
• Volymsladdning
1.1.3
Gauss sats
Gauss sats säger att det totala elektriska flödet genom en sluten yta, är lika
med den totala laddningen som innesluts av den ytan
I
Qin
.
(9)
E · da =
0
S
Här är Qin den av ytan S totala inneslutna laddningen, och 0 permitiviteten
i vakum. Genom att integrera (9) och applicera Gauss divergenssats fås
∇·E=
ρv
,
0
(10)
vilket är en av Maxwell’s ekvationer.
1.1.4
Kraft på laddning i E-fält
Kraften F på en laddning q med positionen r i ett elektriskt fält E är
F = qE(r)
3
(11)
1.1.5
Elektriska potentialen V
V är definierad så att
E = −∇V.
(12)
Potentialen i en godtycklig punkt är potentialskillnaden mellan den punkten och en vald punkt där potentialen är noll. Klassiska randvillkor som
används är att V = 0 i jord och oändligt långt bort från en laddningsfördelning.
1.1.6
Elektrisk dipol
En elektrisk dipol formeras när två punktladdningar av samma styrka,
men med olika tecken, separeras av ett litet avstånd. Potentialen för en
dipol vars centrum är lokaliserad i r0 , är
V (r) =
p · (r − r0 )
,
4π0 |r − r0 |3
(13)
där
p = Qd
(14)
är dipol momentet. d innehåller riktningen och beloppet på avståndet mellan
laddningarna. Q är laddningen som vanligt.
1.2
Elektrostatiska fält och ledande material
Beroende på om materialet är en ideal ledare eller ett dielektriskt material,
förekommer olika fält på ytorna och inuti materialet.
Inuti en ideal ledare kan det inte finnas något elektrostatiskt fält då alla
laddningar transporteras till ytan. Detta ger
E(r) = 0
(15a)
V (r) = konstant
(15b)
inuti ledaren. På dess yta gäller då
4
t̂ · E(r) = 0
n̂ · E(r) =
ρs
0
V (r) = konstant.
(16a)
(16b)
(16c)
Här är t̂ enhetsvektorn i tangentialriktningen och n̂ den från ledaren utåtpekande
normalvektorn.
1.3
Elektrostatiska fält och dielektriska material
När ett elektriskt fält E appliceras på dielektriska material som t.ex. plaster
av olika slag, förskjuts de positiva laddningarna i materialet längs E och de
negativa laddningarna i motsatt riktning. Det bildas alltså en dipol till följd
av förskjutningen hos laddningarna, och materialet är då polariserat.
1.3.1
Polariseringsfältet P
Polariseringsfältet P(r) definieras m.h.a. dipolmomentet p som
dp = P(r)dv,
(17)
där dp är det totala dipolmomentet i en liten volym dv med positionen r.
Polarisationsfältet ger upphov till bundna polarisationsladdningsdensiteter
ρps och ρpv enligt
ρps = n̂ · P
(18a)
ρpv = −∇ · P.
(18b)
n̂ är den från det polariserande materialet utåtpekande enhetsnormalvektorn.
5
1.3.2
Förskjutningsfältet D
Förskjutningsfältet uppkommer av fria laddningar. Sambanden mellan D,
E och P är
D = 0 E + P
(19a)
P = 0 χe E
(19b)
r = 1 + χe
(19c)
= 0 r
(19d)
D = E.
(19e)
χe är den elektriska susceptibiliteten för materialet, vilket är ett mått på hur
känsligt materialet är för ett elektriskt fält. r är den dielektriska konstanten (eller relativa permittiviteten), alltså kvoten mellan permittiviteten
hos dielektrikat och 0 (permittiviteten i vakum).
1.3.3
Gauss lag i dielektriska material
Principen är den samma som för Gauss lag i vakum (c.f. §1.1.3). Här fås
dock D-fältet fram, vilket orsakas av de fria laddningarna.
I
∇ · D = ρvf ⇔
D · da = Qf ,
(20)
S
där Qf är den i ytan S inneslutna fria laddningen och ρvf den fria volymsladdningen.
1.3.4
Randvillkor
För E- och D-fälten gäller
E1t = E2t
(21a)
n̂2 · (D1 − D2 ) = n̂2 · (1 E1 − 2 E2 ) = ρs ,
(21b)
6
där ρs är den fria laddningsdensiteten på randen och n̂2 den enhetsnormalvektor som pekar bort från material 2.
1.3.5
Strömmar
Strömmen (i ampere) genom an given yta är den elektriska laddningen
som passerar genom ytan per tidsenhet, i.e.
dQ
.
dt
I=
(22)
Strömdensiteten J vid en given punkt är strömmen genom normlariktningen av ytan för aktuell punkt.
∂ρv
+ ∇ · J = 0 Kontinuitetsekvationen
∂t
(23a)
J1n = J2n R.V. i normalriktningen
(23b)
J2t
J1t
=
R.V. i tangentialriktningen
σ1
σ2
(23c)
J = σE.
(23d)
σ är konduktiviteten hos ledaren. (23d) benämns som ledningsström, även
Ohm’s lag.
1.3.6
Resistans
R=
ρc l
S
(24)
ρc är resistiviteten (1/σ) hos ledaren, l längden och S tvärsnittsarean.
1.4
Magnetfält i vakuum
Liksom för elektrostatiska fält, uppstår olika typer av magnetiska fält beroende
på omgivningen i fråga; om det är vakum eller inte.
7
1.4.1
Biot-Savarts lag
Magnetfältet (B-fältet) genereras av olika strömtätheter enligt
µ0
B(r) =
4π
I
I 0 dl0 × R̂
R2
(25a)
K0 (r0 ) × R̂ 0
da
R2
(25b)
J0 (r0 ) × R̂ 0
dv .
R2
(25c)
C0
B(r) =
µ0
4π
Z
S0
µ0
B(r) =
4π
Z
V
0
Dessa motsvarar bidrag från linjeström, ytström och volymsström respektive.
1.4.2
Kraft på strömförande ledare i B-fält
F=
I
I ds × B(r)
(26a)
K(r) × B(r)da
(26b)
J(r) × B(r)dv
(26c)
C
F=
Z
S
F=
Z
V
1.4.3
Amperes lag
Amperes lag säger att linjeintegralen av tangentiella komponenten av B runt
en sluten kurva, är densamma som den av kurvan inneslutna strömmen Ienc
I
∇ × B = µ0 J ⇔
B · dl = µ0 Ienc .
(27)
C
8
1.4.4
Magnetisk dipol
För en magnetisk dipol i origo gäller att
m = IS n̂
(28a)
B(r) =
µ0
[3(m · r̂) − m]
4πr3
(28b)
A(r) =
µ0 m × r̂
.
4π r2
(28c)
Här är m det magnetiska dipolmomentet, I strömmen, S arean som strömslingan
täcker och A den magnetiska vektorpotentialen.
1.5
Magnetfält i olika material
Analogt med det elektriska fältet, kan ett polariseringsfält M(r) definieras
m.h.a. magnetiska dipolmomentet m som
dm = M(r)dv,
(29)
där dm är det totala dipolmomentet i en liten volym dv med positionen
r. Magnetiseringsfältet ger upphov till magnetiseringsströmmar Jb och Kb
enligt
Jb = ∇ × M
(30a)
Kb = M × n̂,
(30b)
där Jb och Kb är de bundna volyms- och ytströmdensiteterna. n̂ är den från
det magnetiserande materialet utåtpekande enhetsvektorn.
1.5.1
Magnetiserande fältet H
Analogt med elektriska fält i dielektriska material, uppkommer det magnetiserande fältet H i magnetiserade material, där
9
H=
B
−M
µ0
(31a)
M = χm H
(31b)
B = µ0 µr H = µH
(31c)
µr = 1 + χm .
(31d)
χm är den magnetiska susceptibiliteten, µ permeabiliteten hos materialet,
och µr den relativa permeabiliteten i förhållande till µ0 (permeabiliteten i
vakum).
1.5.2
Amperes lag i magnetiska material
∇ × M = Jf ⇔
I
H · dl = If
(32)
C
där If är den fria ström som flödar genom den yta som begränsas av den
slutna kurvan C.
1.5.3
Randvillkor
B1n = B2n
(33a)
n̂2 × (H1 − H2 ) = K
(33b)
där n2 är den från material 2 utåtpekande enhetsnormalen.
2
Elektrodynamik
10
2.1
Maxwells ekvationer
∇ · D = ρvf
(34a)
Z
D · da = Qf
(34b)
∂B
∂t
(34c)
S
∇×E=−
I
∂
E · dl = −
∂t
Z
B · da
(34d)
S
C
∇·B=0
(34e)
Z
(34f)
B · da = 0
S
∇×H=J+
I
∂D
∂t
H · dl = If +
∂
∂t
C
2.2
(34g)
Z
D · da
S
Potentialer
E = −∇V −
∂A
∂t
B=∇×A
Här är V skalärpotentialen och A vektorpotentialen.
2.3
(34h)
Induktion
11
(35a)
(35b)
2.3.1
Magnetiskt flöde Ψ
Det magnetiska flödet Ψ genom ytan S definieras som
Z
Ψ = B · da
(36)
S
2.3.2
Faradays induktionslag
Den inducerade spänningen (även kallad inducerad emk ) i en krets, är detsamma som ändringen per tidsenhet av det magnetiska flödet, i.e.
Z
∂Ψ
d
Vind = −
B · da,
(37)
=−
∂t
dt
S
där ytan S är den yta som kretsen formar. (37) kan även delas upp i två
komponenter så att
I
Z
∂B
· da + u × B · dl,
(38)
Vind = −
∂t
C
S
där u är hastigheten hos kretsen.
12
