Fyta11: Extrauppgift BS-11-B för kap 11.
Magnetisk vektorpotential
I magnetostatiken (statiska förhållanden) använder man sig av följande två av Maxwells
ekvationer för det magnetiska fältet B(r):
∇ · B = 0,
∇ × B = µ0 j.
(1)
(2)
där vektorfältet j(r) är den elektriska strömtätheten.
a) Visa att (1) automatiskt blir uppfylld, om B skrivs som
B = ∇ × A.
(3)
Vektorfältet A(r) brukar kallas vektorpotential.
b) Visa att vektorpotentialen inte är unik, såtillvida att en tillagd gradient,
A → A + ∇Φ,
(4)
där Φ(r) är ett godtyckligt skalärfält, inte påverkar B.
Detta brukar ibland användas till att välja A så att
∇·A=0
(5)
c) En viss magnetostatisk situation kan beskrivas av vektorpotentialen
A = Cêz log ρ,
där ρ =
(6)
p
x2 + y 2 . Visa att detta A är divergensfritt.
d) Visa att (2) därmed kan skrivas som
∇2 A = −µ0 j.
(7)
e) Visa att i detta fall strömtätheten j måste vara noll utanför z-axeln.
f ) Visa att det trots detta måste gå en konstant ström I längs z-axeln. Ange I till storlek
och riktning. (Ledning: Beräkna B-fältet, integrera B · dr längs lämpliga kurvor runt
z-axeln, och använd Stokes sats samt ekv. (2).)
