Matematisk Grundkurs - Linköpings universitet

LINKÖPINGS UNIVERSITET
Matematisk Grundkurs
för högskoleingenjörer inom byggnadsteknik
Peter Holgersson
LiU Norrköping 2009
© Institutionen för teknik och naturvetenskap
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Sida 2
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Syfte och mål
Kursen syftar till att bidra till att ge studenterna en positiv start på sina ingenjörstudier; de
skall repetera och utveckla sin matematiska förmåga inför kommande studier inom
matematik (särskilt Envariabelanalys I och Envariabelanalys II) och tillämpningar inom
andra kurser. En del nya matematiska begrepp introduceras och det matematiska
hantverket utvecklas. Studenterna skall dessutom uppleva en ”social tillhörighet” och
utveckla sin studieteknik inom ämnet.
Ett viktigt mål är att utveckla lärandet genom att använda olika typer av arbetssätt. Detta
skall bidra till att förbättra studenternas




kunskaper i att skriva, läsa och tala matematiskt språk; kunna redovisa
lösningar av matematiska problem med tydlig tankegång
förmåga att genomföra logiska resonemang
begreppsbildning och kalkylfärdighet samt vana att utföra lösningskontroller
förmåga att reflektera över sitt eget lärande och ge dem förtrogenhet med att
arbeta i grupp; gruppen skall kunna ses som en resurs och goda
samarbetsformer uppmuntras
Lärandemål
Studenterna skall efter genomgången kurs






kunna visa en elementär förmåga att både skriva, läsa och tala det
matematiska språket
kunna visa god algebraisk räkneförmåga med reella och komplexa tal
kunna använda grundläggande begrepp inom funktionsläran, såsom
definitionsmängd, värdemängd och invers funktion
kunna elementära funktioners egenskaper samt använda detta i
problemlösning
kunna ställa upp och lösa ekvationer och olikheter innehållande absolutbelopp
kunna genomföra beräkningar med hjälp av trigonometriska funktioner
Sida 3
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Sida 4
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Innehåll
1
Elementär algebra .......................................................................................................................................... 7
1.1
Elementär algebra – mängdlära ...................................................................................................... 7
1.1.1
Begreppet delmängd .................................................................................................................. 7
1.1.2
Några standardtalmängder ..................................................................................................... 8
1.1.3
Mängdoperationer....................................................................................................................... 9
1.2
Elementär algebra – kombinatorik ............................................................................................. 11
1.2.1
Kombinationer och permutationer ................................................................................... 11
1.2.2
Pascals triangel ger enkelt binomialkoefficienterna.................................................. 12
1.2.3
Binomialutveckling .................................................................................................................. 13
1.3
Elementär algebra – polynom och delbarhet.......................................................................... 15
1.3.1
Vad är ett polynom? ................................................................................................................. 15
1.3.2
Polynomdivision ....................................................................................................................... 16
1.3.3
Begreppet delare till ett polynom ...................................................................................... 18
1.3.4
Primpolynom – irreducibla polynom ............................................................................... 18
1.3.5
Faktorsatsen ............................................................................................................................... 19
1.3.6
Algebrans fundamentalsats och summan av multipliciteten hos rötterna....... 20
1.4
Enkla ekvationer med reella rötter............................................................................................. 21
1.5
Ekvationssystem ................................................................................................................................. 27
1.5.1
Linjära ekvationssystem ........................................................................................................ 27
1.5.2
Ytterligare ekvationssystem ................................................................................................ 30
1.6
Rationella uttryck ............................................................................................................................... 31
1.6.1
2
Partialbråksuppdelning ......................................................................................................... 31
1.7
Ekvationer, olikheter och absolutbelopp ................................................................................. 35
1.8
Övningsuppgifter ................................................................................................................................ 45
Funktionslära................................................................................................................................................. 53
2.1
Inledning ................................................................................................................................................ 53
2.2
Sammansatta funktioner ................................................................................................................. 54
2.3
Funktioner och till hörande inverser ......................................................................................... 55
2.3.1
Injektiva funktioner har invers ........................................................................................... 55
2.3.2
Funktionens och inversens kurva ...................................................................................... 57
2.3.3
Funktioner och inverser från gymnasieskolan............................................................. 58
Sida 5
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.4
2.4.1
Enhetscirkeln och trigonometriska funktionsvärden ................................................63
2.4.2
Restriktioner av trigonometriska funktioner ................................................................67
2.4.3
Grundläggande identiteter inom trigonometrin ..........................................................69
2.5
Grundläggande trigonometriska ekvationer ...........................................................................72
2.6
Arcusfunktioner – en översikt .......................................................................................................76
2.6.1
Inverserna
2.6.2
Förenkling av uttryck med arcusfunktioner ..................................................................80
2.7
3
4
Grundläggande trigonometri..........................................................................................................63
,
och
....................................................................76
Övningsuppgifter.................................................................................................................................83
Komplexa tal ...................................................................................................................................................89
3.1
Rektangulär form, =
+
........................................................................................................89
3.2
Grundläggande beräkningar med komplexa tal .....................................................................91
3.3
Mängder av komplexa tal .................................................................................................................93
3.4
Enkla ekvationer med komplexa rötter .....................................................................................97
3.5
Polynomekvationer av högre grad ...............................................................................................99
3.6
Polär form – ger ibland stora fördelar ..................................................................................... 101
3.6.1
Polär form då = ............................................................................................................... 101
3.6.2
Polär form då = ............................................................................................................... 102
3.7
De Moivres formel............................................................................................................................ 104
3.8
Ekvationer med komplexa koefficienter ................................................................................ 107
3.9
Övningsuppgifter.............................................................................................................................. 111
Ytterligare uppgifter ................................................................................................................................. 115
Sida 6
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Matematisk Grundkurs för
högskoleingenjörer inom byggnadsteknik
1 Elementär algebra
1.1 Elementär algebra – mängdlära
Matematikern Georg Cantor utvecklade mängdläran i slutet av 1800-talet. Cantors definition
av en mängd var ”varje sammanfattning M av bestämda definitiva objekt (kallade element i
M) till en helhet”. Om är ett element i M skriver man ∈ (alfa tillhör M).
Russels förbättrade definitionen av en mängd (1910) och angav då att en mängd ej kan
innehålla sig själv – med denna utökning av definition undviker man det som kallas Russels
paradox.
1.1.1 Begreppet delmängd
Här följer en definition av begreppen delmängd och äkta delmängd:
”Om alla element tillhörande mängden A också är element tillhörande mängden B” gäller att
mängden A är en delmängd av mängden B, skrivet ⊆ . Om det dessutom finns minst ett
element tillhörande B men samtidigt inte tillhörande A säger man att A är en äkta delmängd
av B, skrivet ⊂ .
Sida 7
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.1.2 Några standardtalmängder
(sid 2 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Här följer några standardtalmängder:

Mängden naturliga tal:
ℕ={ |
∈ 0, 1, 2 … }
Ovanstående utläses exempelvis: Mängden ℕ är en mängd enbart innehållande
elementen (talen) sådana att tillhör den aritmetiska talföljden 0, 1, 2…

Mängden heltal:
ℤ={ |
∈ … − 2, −1, 0, 1, 2 … }

Mängden rationella tal:
ℚ=
∈ ℤ och

Mängden reella tal:
ℝ = ”alla tal med eller utan decimaler”

Mängden komplexa tal:
ℂ={ +

Mängden irrationella tal – alltså de reella tal som ej kan beskrivas med hjälp av bråk
innehållande heltal – kan anges med mängddifferensen ℝ\ ℚ

”Komplexa tal” innehåller alltså den äkta delmängden ”reella tal” som innehåller den
äkta delmängden ”rationella tal” som innehåller den äkta delmängden ”heltal” som
innehåller den äkta delmängden ”naturliga tal” – eller enklare skrivet ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂
ℝ⊂ℂ
1.1.2.1
|
∈ ℤ och
∈ ℝ och
≠0
∈ ℝ och
= −1}
Exempeluppgift
Bestäm vilket bråk som motsvarar det rationella talet 0,2141414 …
Lösning:
Alla decimaltal med periodisk decimalutveckling är rationella tal och kan därmed
skrivas på bråkform. Två rader med samma decimalutveckling skapas:
= 0,2141414 = 0,214
10 = 2, 14
1000 = 214, 14
Subtraktion av de sista raderna ger:
990 = 212
=
212 106
=
990 445
Sida 8
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.1.3 Mängdoperationer
Här följer några definitioner vilka förklaras med hjälp av Venn-diagram:

Tomma mängden A definieras genom att A inte innehåller några element. Man
skriver = ∅

Unionen av mängderna A och B, med avseende på
grundmängden , skriven ∪ , definieras genom
∪ = { | ∈ eller ∈ }

Snittet av mängderna A och B, med avseende på
grundmängden , skriven ∩ , definieras genom
∩ = { | ∈ och ∈ }

Alltså gäller om tomma mängden att
B innehåller

Mängddifferensen av mängderna A och B, skriven \
definieras genom \ = { | ∈ och ∉ }

Komplementet av mängden A, skrivet ∁ eller ̅,
definieras genom ∁ = \ . Om är en grundmängd
gäller att ∁ = ∅ och ∁ ∅ =

Disjunkta mängder är åtskiljda från varandra. Exempelvis kan tal inte samtidigt
tillhöra mängden rationella och irrationella. Dock behöver inte disjunkta mängder
vara varandras komplement.
∩ ∅ = ∅ och
Sida 9
∪∅=
oavsett vilka element
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Sida 10
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.2 Elementär algebra – kombinatorik
Kombinatorik är den teori som bland annat behandlar frågor av typen: Hur många danspar
kan man bilda ur tio herrar och tio damer? Hur många bilnummer kan man bilda med tre
siffror och tre bokstäver?
Mest användning har säkert kombinatoriken fått inom sannolikhetsläran; den girige
kortspelaren vill ju alltid maximera sannolikheten att vinna pengar…
Pascal och Fermat utvecklade de teorier vi går igenom och de kom till i samband med
studier av just hasardspel! Numera används sannolikhetskalkyler av exempelvis
försäkringsbolag, moderna fysiker och statistiker vilka studerar vårt samhälle.
1.2.1 Kombinationer och permutationer
(sid 46 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Kombinationer kan liknas vid grupper – alltså har ordningsföljden hos elementen ingen
betydelse. Antalet kombinationer som kan bildas med k stycken element valda ur en mängd
M innehållande n stycken element är:
=
!
! ( − )!
Man säger vanligtvis ” över k stycken” eller ” välj k stycken” oc ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅
h
Att jämföra kombinationer av personer och permutationer av personer är som att jämföra
grupper av personer och köer av personer; personerna A–B–C och A–C–B räknas som två
olika permutationer (köer) men räknas som en och samma kombination (grupp) av
personer. Här följer att antal exempel på kombinationer:
1.2.1.1
Exempel

Ur en kortlek kan
= 2598960 olika ”pokerhänder” fås på ”given”.

Ur fem personer kan 5 ⋅ 4 = 20 olika köer med två personer skapas.

Ur fem personer kan

Genom att kasta om bokstäverna i ordet MATTANT kan man bilda
=10 olika par skapas.
35 ∙ 6 ∙ 2 ∙ 1 = 420 olika ord.
Sida 11
=
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.2.2 Pascals triangel ger enkelt binomialkoefficienterna
(sid 48 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Pascals triangel – en genväg till binomialkoefficienterna:
n=0
n=1
n=2
n=3
o s v…
Förenklat får man:
n=0
n=1
n=2
n=3
o s v…
1
1
1
1
1
2
3
1
3
1
Några förtydligande kommentarer:



Om man skall välja en grupp med 0 personer ur en grupp innehållande 0
personer kan man göra det på exakt ett sätt; man tar ingen person. Alltså gäller
att
=1
Om man skall välja en grupp med 1 person ur en grupp innehållande 2 personer
kan man göra det på två sätt; man tar den ena eller den andra personen. Alltså
gäller att
=2
Om man skall välja en grupp med 3 personer ur en grupp innehållande 4
personer kan man göra det på fyra sätt; man struntar i en av de 4 personerna.
Alltså gäller att
=4
Sida 12
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.2.3 Binomialutveckling
(sid 47 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Det är lätt att visa att ( + ) =
+ 2 + och att ( + ) =
+3
+3
+ .
Koefficienterna är i dessa fall enkla att finna men för utveckling av högre grad än ovan kan
det vara ganska knivigt! Låt oss studera kallat Binomialteoremet – ett kompakt uttryck för
summan av termerna ur produkten ( + ) = ( + )( + ) ⋯
( + ) =
1.2.3.1
=
+
0
+ ⋯+
1
Exempeluppgift
Utveckla ( + )
Lösning:
Binomialteoremet ger:
4
( + ) =
=
4
0
=1
=
1.2.3.2
4
1
+
+4
+4
+
+6
+6
4
2
+
+4
+4
4
3
+
4
4
+1
+
Exempeluppgift
Utveckla ( − 2)
Lösning:
( − 2)
4
=
=
4
0
=1
=
(−2)
(−2) +
(−2) + 4
−8
+ 24
4
1
(−2) + ⋯ +
(−2) + 6
− 32 + 16
Sida 13
4
4
(−2) + 4
(−2)
(−2) + 1
(−2)
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.2.3.3
Exempeluppgift
Utveckla ( − )
Lösning:
( − )
6
=
=
6
0
=
1.2.3.4
(− )
(− ) +
−6
6
1
+ 15
(− ) + ⋯ +
− 20
+ 15
6
6
(− )
−6
+
Exempeluppgift
Utveckla ( − 3 )
Lösning:
4
( −3 ) =
=
4
0
=1
=
(−3 )
(−3 ) +
(−3 ) + 4
− 12
+ 54
4
1
(−3 ) + ⋯ +
(−3 ) + 6
− 108
(−3 ) + 4
+ 81
Sida 14
4
4
(−3 )
(−3 ) + 1
(−3 )
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.3 Elementär algebra – polynom och delbarhet
I detta avsnitt studerar vi polynomekvationer, deras rötter, unika faktorisering och
delbarhet. Man noterar fördelen med att kunna faktorisera polynom och därigenom
synliggöra polynomens nollställen.
1.3.1 Vad är ett polynom?
(sid 28 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Ett polynom ( ) av grad n – till en början polynomfunktioner från ℝ till ℝ – kan skrivas på
formen:
( )=
=
+
+ ⋯+
,  ∈ ℕ, 
∈ℝ
Detta medför exempelvis att:


− 7 är ett polynom av grad = 2, med koefficienterna = −7,
=3
23 är ett polynom av grad = 0 samt koefficienten = 23
7
inte är ett polynom ty exponenten är negativ

5

3
inte är ett polynom ty exponenten är ej ett naturligt tal
Sida 15
= 0 och
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.3.2 Polynomdivision
(sid 28–29 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Låt ( ) och ( ) vara två godtyckliga polynom sådana att ( ) har lägst samma grad som
( ), då finns alltid polynom ( ) och ( ) sådana att:
( )= ( )∙ ( )+ ( )
Om ( ) dessutom är skiljt från nollpolynomet kan följande begrepp införas:
( ) =
ä
( ) ∙ ( )+ ( )
ä
Division med polynomet ( ) ger därmed:
ä
( )
( )
= ( )+
( )
( )
ä
1.3.2.1
Exempeluppgift
Bestäm kvoten ( ) och resten ( ) till polynomen ( ) =
−3 +2 −5 +2
(= täljare) och ( ) =
− 2 + 1 (= nämnare) med hjälp av lång polynomdivision.
Lösning:
− −1
−(
−3
+2
−2
+
−
−(−
+
+2
−
−(−
−5 +2 :
−2 +1
)
−5 +2
− )
−4 +2
+ 2 − 1)
−6 + 3
Sida 16
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.3.2.2
Exempeluppgift
Bestäm kvoten ( ) och resten ( ) till polynomen ( ) = 2 − 5 + 2 − 6
(= täljare) och ( ) =
− 3 (= nämnare) med hjälp av kort respektive lång
polynomdivision.
Lösning med kort polynomdivision:
2
−5
+2 −6 2
=
−3
−6
+ +2 −6
−3
2
−6
+
=
= 2 +1+
−3 +5 −6
−3
5 −6
−3
Lösning med lång polynomdivision:
2 +1
2
−5
+2 −6 :
−(2
−6
)
−3
+2 −6
−(
−3 )
5 −6
Därmed gäller att:
2
−5
+2 −6
5 −6
=2 +1+
−3
−3
Sida 17
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.3.3 Begreppet delare till ett polynom
(sid 29 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Polynomdivision av ( ) med hjälp av nollskiljda ( ) är särskilt intressant då resttermen
( ) = 0:
( )= ( )∙ ( )+ ( )
Fallet då ( ) = 0 är ekvivalent med att ( ) är delare till ( ). Alltså kan i detta fall ( )
faktoriseras enligt ( ) = ( ) ∙ ( ).
Man skriver ( ) | ( ) vilket utläses ” ( ) är delare till ( )”. Även ( ) blir i dessa fall
delare till ( ).
1.3.3.1


Exempel
− 1 har delarna ( + 1) och ( − 1) ty
− 1 = ( + 1)( − 1)
50 − 200 har bara trivialdelare såsom ( − 4), −1, 5, (5 − 20) vilka ger en kvot
som antingen är av grad noll eller av samma grad som det ursprungliga uttrycket…
1.3.4 Primpolynom – irreducibla polynom
Ett primpolynom (irreducibelt polynom) har bara triviala delare – alltså är bara delbara
med polynom av grad noll (konstanter  0) och ”sig själva”. Varje polynom kan delas upp i
primpolynom och faktoriseringen är entydig (om man bortser från konstanterna).
1.3.4.1


Exempel
+ 1 är ett primpolynom (irreducibelt polynom)
− 1 kan faktoriseras i primpolynomen ( + 1)( + 1)( − 1)
Jämför med primtalet 23 som bara har de triviala delarna  1 och  23 (sig själv).
Sida 18
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.3.5 Faktorsatsen
(sid 29–30 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Låt ( ) vara ett polynom över ℂ (= mängden komplexa tal). Då gäller att talet = är en
rot till ekvationen ( ) = 0 (alltså = är nollställe till ( )) om och endast om faktorn
( − ) är delare till polynomet ( ):
( )=0 ⇔ ( − )| ( )
Då man löser polynomekvationer av högre grad kan man således – då en rot har upptäckts
eller gissats – dividera bort rotens tillhörande faktor utan att erhålla en restterm. På så vis
sänks ekvationens grad och man finner enklare ekvationens övriga lösningar.
1.3.5.1
Exempeluppgift
Lös ekvationen
−2
− 9 + 18 = 0 genom att först gissa och upptäcka roten
= 2.
Lösning:
Roten
= 2 är gissad och tillhörande faktor – enligt faktorsatsen – är ( − 2).
Polynomdivision med rotens tillhörande faktor ( − 2)
−9
−(
−2
− 9 + 18 ∶
−2
)
−2
−9 + 18
−(−9 + 18)
0
ger kvoten − 9 och samtidigt resten 0:
Vänsterledet kan alltså faktoriseras enligt
( − 2)(
− 9) = 0
som därefter faktoriseras ytterligare till den unika faktoriseringen
( − 2)( + 3)( − 3) = 0
De återstående rötterna
= ±3 framträder därmed.
Sida 19
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.3.6 Algebrans fundamentalsats och summan av
multipliciteten hos rötterna
(sid 30 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Algebrans fundamentalsats säger att:
a) Varje polynomekvation ( ) = 0 av grad  1 har minst en komplex rot (en komplex
rot kan vara rent reell)
Dessutom gäller att:
b) Summan av multipliciteterna hos rötterna = polynomekvationens grad
Exempelvis en femtegradsekvation kan därmed ha en dubbelrot och en trippelrot.
Ovanstående kan sammanfattas i att:
c) Varje polynomekvation över ℂ (= mängden komplexa tal) av grad
stycken rötter i ℂ om varje rot räknas med sin multiplicitet
1.3.6.1
≥ 1 har exakt n
Exempeluppgift
Bestäm antalet reella rötter hos ekvationen
−2
+ 9 − 18 = 0
Lösning:
Enligt graden hos polynomet har ekvationen tre komplexa rötter. Roten = 2
gissas och tillhörande faktor, enligt faktorsatsen, är därmed ( − 2).
Polynomdivision med rotens tillhörande faktor ( − 2) ger ytterligare faktor:
+9
−(
−2
+ 9 − 18 ∶
−2
)
−2
9 − 18
−(9 − 18)
0
Ekvationen kan alltså faktoriseras enligt ( − 2)( + 9) = 0 och faktorn + 9 är
ett primpolynom som saknar reella nollställen. Alltså är de återstående två
rötterna (utöver den reella roten = 2) icke reella och har därmed imaginärdel.
Bestämning av dessa rötter tas upp i ett senare avsnitt.
Sida 20
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.4 Enkla ekvationer med reella rötter
(sid 22–25 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Här följer ett stort antal ekvationer med stegrande svårighetsgrad:
1.4.1.1
Exempeluppgift
Lös ekvationen
−9=0
Lösning:
−9=0
⇔
=9
⇔
= ±3
Två reella rötter
Kontroll med hjälp av den unika faktoriseringen av ekvationen ger
( − 3)( + 3) =
−9
vilket motsvarar det ursprungliga vänsterledet
Svar:
1.4.1.2
= 3 eller
= −3
Exempeluppgift
Lös ekvationen
−6 +5 = 0
Lösning:
⇔ ( − 3) − 4 = 0
−6 +5=0
⇔
=3±2
Två reella rötter
Kontroll med hjälp av den unika faktoriseringen av ekvationen ger
( − 5)( − 1) =
−6 +5
vilket motsvarar det ursprungliga vänsterledet
Svar:
= 5 eller
=1
Sida 21
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.4.1.3
Exempeluppgift
Lös ekvationen
+ 13
+ 36 = 0
Lösning:
− 13
+ 36 = 0
⇔
−
⇔
−
⇔
−
−
+ 36 = 0
13
2
−
169 144
+
=0
4
4
13
2
=
25
4
⇔
−
13
5
=±
2
2
⇔
=
13 5
±
2 2
⇔
= 9 eller
=4
⇔
= ±3 eller
= ±2
Fyra reella rötter
Kontroll med hjälp av den unika faktoriseringen av ekvationen ger
( − 3)( + 3)( − 2)( + 2) = (
− 9)(
− 4) =
vilket motsvarar det ursprungliga vänsterledet
Svar:
= 3,
= −3,
= 2 eller
Sida 22
= −2
− 13
+ 36
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.4.1.4
Exempeluppgift
Lös ekvationen
+5
− 36 = 0
Lösning:
+5
− 36 = 0
⇔
+
⇔
+
⇔
+
−
− 36 = 0
5
2
−
25 144
−
=0
4
4
5
2
=
169
4
5
13
=±
2
2
⇔
+
⇔
5 13
=− ±
2 2
⇔
= 4 eller
⇔
= −9 (saknar reella rötter)
= ±2
Två reella rötter och två ickereella rötter
Kontroll med hjälp av den unika faktoriseringen av ekvationen ger
( − 2)( + 2)(
+ 9) = (
− 4)(
+ 9) =
vilket motsvarar det ursprungliga vänsterledet
Svar:
= 2 eller
= −2
Sida 23
+5
− 36
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.4.1.5
Exempeluppgift
Lös ekvationen 5 −
=√ +1
Lösning:
En rotekvation – alltså ingen polynomekvation förrän efter kvadrering…
5−
⇒ (5 − ) =
=√ +1
+1
⇔
− 10 + 25 =
⇔
− 11 + 24 = 0
⇔
−
11
2
−
121 96
+
=0
4
4
⇔
−
11
2
=
25
4
⇔
−
11
5
=±
2
2
⇔
=
11 5
±
2 2
+1
=8
(duger ej)
=3
(duger)
Man noterar att kvadreringen av höger- och vänsterled ger upphov till en
”skenrot” som måste strykas; = 8 ger nämligen inte likhet mellan leden.
Svar:
=3
Sida 24
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.4.1.6
Exempeluppgift
Lös ekvationen + 1 + √ + 1 = 0
Lösning:
Ännu en rotekvation som leder till en polynomekvation vars rötter måste
kontrolleras…
+1+√ +1=0
⇔
+ 1 = −√ + 1
⇒
⇔
+1
9
+
=
+1
2
+1 =
3
+1
⇔
+6 +9= 9 +9
⇔
−3 =0
⇔
( − 3) = 0
=0
(duger ej)
=3
(duger ej)
Man noterar att kvadreringen av höger- och vänsterled ger upphov till två
”skenrötter” vilka måste strykas; = 0 och
= 3 ger nämligen inte likhet
mellan leden.
Svar:
Reella rötter saknas
Sida 25
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Sida 26
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.5 Ekvationssystem
Ekvationssystem är uppsättningar av ekvationer vilka alla skall beaktas – alltså en form av
matematisk artighet gentemot flera uttryck samtidigt. Ibland finner man lösningar som
uppfyller alla ekvationer men ibland finns inga lösningar och eventuellt söker man då
lösningsförslag som ger ”minst totala fel” enligt exempelvis minsta kvadratmetoden. Detta
kan exempelvis göras med hjälp av miniräknare eller med hjälp av program såsom Excel –
till exempel vid rätlinjig regression under fysiklaborationer inom kursen Fysik A. Inom
denna kurs behandlas bara entydiga lösningar och fall du lösning saknas – övriga fall tas upp
inom kursen Linjär Algebra.
1.5.1 Linjära ekvationssystem
(sid 18–19 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
1.5.1.1
Exempeluppgift
Lös ekvationssystemet:
− =1
−2 + 4 = 2
Ett ekvationssystem med två ekvationer av typen ovan med två obekanta variabler kan
tolkas som två räta linjer i ett tvådimensionellt rum. Man kommer antingen att finna en
skärningspunkt mellan linjerna (en entydig lösning), ingen gemensam punkt hos linjerna
eller så är de samma linje och har alla punkter gemensamma.
Lösning 1
Lösning med additionsmetoden sker genom att man eliminerar en variabel ur en
av ekvationerna:
− =1
−2 + 4 = 2
Svar:
~
2 −2 =2
−2 + 4 = 2
~
2 −2 =2
~
2 =4
~
2 −4=2
=2
~
2 =6
=2
=3
=2
Sida 27
~
2 −2 =2
=2
=3
=2
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Lösning 2
Ett annat sätt att lösa detta ekvationssystem är att skriva de räta linjernas
ekvationer på så kallad k-form och dra nytta av att linjerna k-värden och m-värden
framträder:
− =1
−2 + 4 = 2
− =− +1
4 =2 +2
~
=
~
−1
= +
y
=
−1
= +


Linjerna
=
− 1 ( = 1 och
= −1) och
x
= +
( = och
= ) ritas
eventuellt och skärningspunkten läses av grafiskt om närmevärden duger.
Lösningens exakta värden fås exempelvis genom att ekvationerna nu sätts lika med
varandra:
=
−1
1
1
=
+
2
2
Svar:
=
−1
1
1
−1=
+
2
2
~
=3
=2
Sida 28
=
~
1
2
−1
3
=
2
~
=3
=2
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.5.1.2
Exempeluppgift
Lös ekvationssystemet:
+2 + =9
−2 + + 3 = 12
3 − +2 =9
Ett ekvationssystem av denna typ med tre ekvationer och tre obekanta variabler kan tolkas
som tre olika plan i ett tredimensionellt rum. Man kommer antingen att finna en
skärningspunkt mellan tre plan (en entydig lösning), en skärningslinje mellan de tre planen
eller ingen gemensam punkt hos de tre planen.
Lösning
För att underlätta skrivs ekvationssystemet på matrisform
+2 + = 9
−2 + + 3 = 12
3 − +2 =9
~
1
2 1 9
−2 1 3 12
3 −1 2 9
~
1
0
0
2
1 9
5
5 30
−7 −1 −18
~
1 2
1 9
0 1
1 6
0 −7 −1 −18
~
1
0
0
2 1 9
1 1 6
0 6 24
~
1 2
0 1
0 0
19
16
14
~
1 2 19
0 1 02
0 0 14
~
1 0
0 1
0 0
15
02
14
~
1 0 01
0 1 02
0 0 14
~
=1
=2
=4
Som synes gav Gauss-eliminationen en entydig lösning och därmed existerar en och
endast en gemensam skärningspunkt.
Svar:
=1
=2
=4
Sida 29
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.5.2 Ytterligare ekvationssystem
1.5.2.1
Exempeluppgift
=− +3
=
− 10 + 21
Lös ekvationssystemet:
Ekvationssystemet innehållande ett rätlinjigt samband och en andragradsfunktion. Duger en
ungefärlig lösning kan den räta linjen och andragradskurvan ritas – därefter avläses
skärningspunkterna grafiskt. Exakt lösning fås enligt nedan:
Lösning
=− +3
=
− 10 + 21
~
~
=− +3
− +3=
− 10 + 21
=− +3
~
0=
− 9 + 18
=− +3
( − 6)( − 3) = 0
Som synes finns de två möjliga x-värden med tillhörande y-värden – alltså två
skärningspunkter mellan linjen och kurvan:
=6
eller
= −3
Svar:
1.5.2.2
=3
=0
Exempeluppgift
=√
= −2
Lös ekvationssystemet:
Lösning
=√
= −2
Svar:
~
=√
⇒
√ = −2
~
=√
~
( − 1)( − 4) = 0
=√
~
=
−4 +4
=1
eller
=1
=√
−5 +4= 0
=4
=2
=4
=2
Som synes gav kvadreringen av den nedre ekvationen ett extra lösningsförslag som
visade sig inte duga vid insättningen i det ursprungliga uttrycket.
Sida 30
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.6 Rationella uttryck
En rationell funktion ( ) är sådan att ( ) =
( )
då
( )
( ) och ( ) är polynom skiljda från
nollpolynomet.
1.6.1 Partialbråksuppdelning
(sid 256–260 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Vid partialbråksuppdelning delas en rationell funktion upp i enklare rationella funktioner.
Detta är ett hjälpmedel som främst kommer till användning vid bestämning av primitiva
funktioner.
1.6.1.1
Exempeluppgift
Dela upp det rationella uttrycket
i partialbråk.
Lösning:
5 +3
5 +3
=
( − 1)
−
Lämplig ansats med nämnarens faktorer:
=
+
=
( − 1)
+
( − 1)
( − 1)
−1
=
− +
( − 1)
=
( + ) −
( − 1)
= −3
=8
Svar:
=− +
Sida 31
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.6.1.2
Exempeluppgift
Dela upp uttrycket
i partialbråk.
Lösning:
5 +3
5 +3
=
( − 1)
−
Lämplig ansats med nämnarens faktorer, en grad lägre i täljaren:
+
=
+
−1
Förkortning ger detta uttryck som många väljer att ansätta direkt:
=
+
=
( − 1)
+
( − 1)
=
( + )
+ =0
− + =5
− =3
Svar:
+
⇔
−1
( − 1)
+
( − 1)
+ (− + ) −
( − 1)
= −8
= −3
=8
=− −
+
Sida 32
( − 1)
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.6.1.3
Exempeluppgift
Polynomdividera
och dela upp resttermen i partialbråk.
Lösning:
2
+ 19 + 35 2
=
+5 +6
=2+
+ 10 + 12
+
+5 +6
9 + 23
+5 +6
9 + 23
+5 +6
Lämplig ansats med nämnarens faktorer, en grad lägre i täljaren:
9 + 23
=
( + 3)( + 2)
+ =9
2 + 3 = 23
Svar:
+3
+
+2
=
( + 2)
( + 3)
+
( + 2)( + 3) ( + 2)( + 3)
=
( + ) + (2 + 3 )
( + 2)( + 3)
⇔
−2 − 2 = −18
2 + 3 = 23
=2+
+
Sida 33
⇔
=4
=5
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Sida 34
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.7 Ekvationer, olikheter och absolutbelopp
(sid 32–41 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Här följer ett antal uppgifter av varierande slag vilka kräver bra struktur under lösningens
gång…
1.7.1.1
Exempeluppgift
Lös denna ekvation hämtad från Matematik C:
−
=
Lösning:
7
−
+3
2
5
=
,
−2 5 −1
∉ −3, 2,
1
5
Båda leden multipliceras med samtliga nämnare:
7
−
+3
2
5
= ( + 3)( − 2)(5 − 1)
−2
5 −1
⇒
( + 3)( − 2)(5 − 1)
⇔
7( − 2)(5 − 1) − 2( + 3)(5 − 1) = 5( + 3)( − 2)
⇔
20
− 110 + 50 = 0
⇔
−
11
5
+ =0
2
2
⇔
−
11
4
⇔
−
11
4
−
=
11
4
−
121 40
+
=0
16 16
81
16
⇔
−
11
81
=±
4
16
⇔
=
11 9
±
4 4
Båda rötterna visar sig vara OK och ingen ”skenrot” uppkom – trots kvadreringen
av ekvationen i rad 2. Detta inses genom kontroll med villkoret
därefter insättning av rötterna i den ursprungliga ekvationen.
Svar:
= 5 eller
=
Sida 35
∉ −3, 2,
och
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.7.1.2
Exempeluppgift
Lös olikheten
−7 +6>0
Lösning:
Genom att gissa roten = 1 och genomföra polynomdivision med tillhörande
faktor ( − 1) får man en återstående andragradsfaktor + − 6 som sedan kan
faktoriseras till ( + 3)( − 2).
Därmed kan olikheten skrivas med faktorer enligt: ( − 1)( + 3)( − 2) > 0
Teckenstudium av de tre faktorerna:
-3
1
2
( − 1):
--------------------- 0+++++++++++
( + 3):
- - - - - - - - - - 0 + + + + + ++ + + + + + + + + + + + +
( − 2):
-------------------------------- 0++++
( − 1)( − 3)( + 2): -
---------- 0++++++ 0--------- 0++++
Svar:
∈
= ]−3, 1[ ∪ ]2, ∞[
Sida 36
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.7.1.3
Exempeluppgift
Lös olikheten:
≤
Lösning:
2 −8
≤
+2
−5
,
+1
∉ {−2, −1}
Noll i högerledet är att föredra:
⇔
2 −8
−
+2
−5
≤0
+1
Liknämnighet och därefter gemensamt bråk skapas:
⇔
(2 − 8)( + 1) ( − 5)( + 2)
−
≤0
( + 2)( + 1) ( + 1)( + 2)
⇔
(2 − 8)( + 1) − ( − 5)( + 2)
≤0
( + 2)( + 1)
⇔
−3 +2
≤0
( + 2)( + 1)
Nollställen ses enklast i uttryck på faktoriserad form:
⇔
( − 2)( − 1)
≤0
( + 2)( + 1)
Teckenstudium av de tre faktorerna:
-2
-1
1
2
( − 2):
------------------------------------------ 0+++
( − 1):
------------------------------- 0+++++++++++
( + 2):
- - - - - - - - - - 0 + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
( + 1):
--------------------- 0++++++++++++++++++
(
(
)(
)(
Svar:
)
:
)
+ + + + + + + - - - - - - - - -  + + + + + + 0 - - - - - - - - - 0 + + + +
∈
= ]−2, −1[ ∪ [1, 2]
Sida 37
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.7.1.4
Exempeluppgift
Lös olikheten:
>
Lösning:
−1
−2
,
−3
>
∉ {1, 3}
Noll i högerledet är att föredra:
⇔
−1
−
−2
>0
−3
Liknämnighet och därefter gemensamt bråk skapas:
⇔
( − 3)
( − 2)( − 1)
−
>0
( − 1)( − 3) ( − 3)( − 1)
( − 3) − ( − 2)( − 1)
>0
( − 3)( − 1)
⇔
⇔
−2
>0
( − 3)( − 1)
Teckenstudium av de tre faktorerna:
1
3
−2:
----------------------------------
( − 3):
---------------------0++++++++
( − 1):
---------- 0++++++++++++++++
(
)(
Svar:
)
:
---------- ++++++ -----------
∈
= ]1, 3[
Sida 38
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.7.1.5
Exempeluppgift
Lös ekvationen | − 1| + 2| + 1| = 3
Lösning:
Begreppet absolutbelopp kan beskrivas som ”ett tals avstånd till origo”. Således
förändras ej positiva tal och uttryck av absolutbelopp – däremot negativa tal och
uttryck (genom teckenbyte). Alltså kan man ersätta absolutbelopp med ett
minustecken före uttrycket om innandömet är negativt.
Vi kontrollerar för vilka x-värden absolutbeloppen genererar ett teckenbyte och för
vilka x-värden ”absolutbeloppsparenteserna” fungerar som vanliga parenteser:
-1
1
∈ ]−∞, −1]
| − 1| + 2| + 1| = 3
∈ [−1, 1]
| − 1| + 2| + 1| = 3
∈ [1, ∞[
| − 1| + 2| + 1| = 3
⇒
⇒
⇒
−( − 1) − 2( + 1) = 3
−( − 1) + 2( + 1) = 3
( − 1) + 2( + 1) = 3
⇔
⇔
⇔
−3 − 1 = 3
+3=3
⇔
=−
Duger ty
⇔
4
3
= − ∈ ]−∞, −1]
Svar:
3 +1 =3
⇔
=0
Duger ty
=−
eller
= 0 ∈ [−1, 1]
=0
Sida 39
=
Duger ej ty
2
3
= ∉ [1, ∞[
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.7.1.6
Exempeluppgift
Lös olikheten | + 1| ≤ 2| − 2|
Lösning:
Vi kontrollerar för vilka x-värden absolutbeloppen genererar ett teckenbyte och för
vilka x-värden ”absolutbeloppsparenteserna” fungerar som vanliga parenteser:
-1
2
| + 1| ≤ 2| − 2|
∈ ]−∞, −1]
| + 1| ≤ 2| − 2|
∈ [−1, 2]
| + 1| ≤ 2| − 2|
∈ [2, ∞[
⇒
⇒
⇒
−( + 1) ≤ −2( − 2)
+ 1 ≤ −2( − 2)
⇔
≤5
Inom angivet intervall gäller
∈
⇔
⇔
3 ≤3
− ≤ −5
⇔
⇔
≤1
≥5
Inom angivet intervall gäller
= ]−∞, −1] ∩ ]−∞, 5]
∈
= [−1, 2] ∩ ]−∞, 1]
⇔
∈
Svar:
+ 1 ≤ 2( − 2)
Inom angivet intervall gäller
∈
= [2, ∞[ ∩ [5, ∞[
⇔
= ]−∞, −1]
∈
∈
=
∪
∪
= ]−1, 1]
= ]−∞, 1] ∪ [5, ∞[
Sida 40
⇔
∈
= [5, ∞[
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.7.1.7
Exempeluppgift
Lös olikheten 2 ≥
Lösning:
Olikheter med i nämnaren lockar ofta en nybörjare till otillåtna drag som i o f s är
tillåtna vid lösning av ekvationer (med likhet). Det är exempelvis inte tillåtet att
höja graden i båda leden – alltså att multiplicera båda leden med en faktor
innehållande x; svaret blir då inkorrekt ifall < 0.
Denna felaktiga metod strider mot
tidigare regel för just olikheter och
ger det felaktiga (ofullständiga)
svaret ∈ [4, ∞[ istället för
∈ ]−∞, 0] ∪ [4, ∞[
Felaktig metod:
2≥
8
2 ≥8
≥4
Lösning:
2≥
8
2
⇔
≥
8
⇔
2
−
8
≥0
⇔
Teckenstudium av de tre faktorerna:
0
4
2:
++++++++++++++++++++++++
( − 4):
---------------------0++++++++
:
(
---------- 0++++++++++++++++
)
:
Svar:
+++++++ --------- 0+++++++
∈
= ]−∞, 0[ ∪ [4, ∞[
Sida 41
2( − 4)
≥0
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.7.1.8
Exempeluppgift
Lös olikheten
−3 <
Lösning:
Felaktig metod:
−3 <
⇔(
5
+1
− 3 )( + 1) < 5
Lösning:
−3 <
5
+1
⇔
⇔
⇔
(
− 3 )( + 1)
5
<
+1
+1
(
− 3 )( + 1)
5
−
<0
+1
+1
−2
−3 −5
<0
+1
⇔
−2 −8
<0
+1
⇔
( − 4)( + 2)
<0
+1
Teckenstudium av de tre faktorerna:
-2
:
-1
0
4
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -0 + + + + + + + + + +
( − 4):
------------------------------------------ 0+++
( + 2):
---------- 0++++++++++++++++++++++++++
( + 1):
---------------------0++++++++++++++++++
(
)(
Svar:
)
:
+ + + + + + + + 0- - - - - - - -  + + + + + + 0 - - - - - - - - - 0 + +
∈
= ]−2, −1[ ∪ ]0, 4[
Sida 42
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.7.1.9
Exempeluppgift
Lös olikheten
≥
Lösning:
>
3 +2
⇔
≥
⇔
−
⇔
⇔
⇔
3 +2
3 +2
−3 −2
( − 2)(
≥0
≥0
+ 2 + 1)
( − 2)( + 1)
≥0
≥0
Teckenstudium av de tre faktorerna:
-1
0
2
( − 2):
-------------------------------- 0++++++
( + 1) :
++++++++0+++++++++++++++++++++
:
(
Svar:
--------------------- 0++++++++++++++
)(
)
∶ ++++++++0+++++++-------- 0++++++
∈
=∪ ]−∞, 0[ ∪ [2, ∞[
Sida 43
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Sida 44
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
1.8 Övningsuppgifter
1.
Vilket bråk har decimalutvecklingen 0, 1?
Svar:
2.
Vilket bråk har decimalutvecklingen 0,12?
Svar:
3.
Vilket bråk har decimalutvecklingen 0,112?
Svar:
4.
Vilket bråk har decimalutvecklingen 0, 12?
Svar:
5.
6.
7.
Förklara följande begrepp och sätt dem i ett sammanhang:
a)
Delmängd
b)
Äkta delmängd:
c)
Mängden naturliga tal
d)
Mängden heltal
e)
Mängden rationella tal
f)
Mängden reella tal
g)
Mängden komplexa tal
h)
Mängden irrationella
i)
Snittet
j)
Komplement
k)
Disjunkta mängder
Förklara följande begrepp och sätt dem i ett sammanhang:
a)
Kombinationer
b)
Permutationer
c)
Binomialkoefficienterna
d)
Pascals triangel
Visa två metoder att ta fram binomialkoefficienten
Sida 45
.
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
8.
Vilken koefficient har femtegradstermen i ( − 2) ?
(−2)
Svar: −448 ty
9.
= −448
Utveckla ( + 2) med hjälp av binomialteoremet.
Svar:
10.
= 56 ⋅ (−8)
+
2
+
4
+
8
+
16
+
32
+
64 +
128
Vilken koefficient har sjundegradstermen, i polynomet som uppstår då binomet
( − 2) upphöjs till grad tio? Svara på så enkel form som möjligt.
Svar: −960
11.
12.
Förklara följande begrepp och sätt dem i ett sammanhang:
a)
Polynom
b)
Delare
c)
Primpolynom
d)
Irreducibla polynom
e)
Faktorsatsen
f)
Algebrans fundamentalsats
g)
Multipliciteten hos rötterna till en polynomekvation
Lös ekvationen
−14
+63
− 106 + 56 = 0
Svar:
13.
= 2,
= 4 eller
=7
= 1,
= 2 eller
=6
= −1
eller
=0
=3
=8
Lös ekvationen
−4
− 25
+ 88 − 60 = 0
Svar:
14.
= 1,
= −5,
Lös ekvationssystemet
=2 +2
=
−1
Svar:
Sida 46
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
15.
Lös ekvationssystemet
=
+2
2
=√ +4
Svar:
16.
=0
eller
=2
= −4
=0
Lös ekvationssystemet
= −2
=√ +4
=5
=3
Svar:
17.
Lös ekvationssystemet
+ + = 16
− + =6
2 − − = 14
18.
Svar:
= 10,
= 5 och = 1
Svar:
= 10,
= 5 och = 1
Lös ekvationssystemet
+ 2 − = 19
3 − + = 26
2 + + 2 = 27
19.
Hur kan man tolka (grafiskt) ett ekvationssystem med två ekvationer och två
obekanta och vilka tre lösningsalternativ finns?
20.
Hur kan man tolka (grafiskt) ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre
obekanta och vilka huvudsakliga lösningsalternativ finns?
21.
Dela upp i partialbråk
9 + 23
+5 +6
Svar:
Sida 47
+
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
22.
Dela upp i partialbråk
9 − 24
−6 +8
23.
Svar:
+
+
+
Dela upp i partialbråk
5 + 4 − 10
( + 1) ( − 2)
Svar: (
24.
Dela upp i partialbråk
5
+ 23 + 25 + 33
( + 1)( + 3)
Svar:
25.
)
+(
)
+
Dela upp i partialbråk
6 + 2 − 18
( + 4)( − 3)( − 1)
Svar:
26.
+
+
Svar: − +
+
Faktorisera nämnaren och dela upp i partialbråk
24
−4
27.
Skriv om uttrycket genom att inledningsvis genomföra en polynomdivision och
därefter partialbråksuppdela resten från divisionen:
2
−14 + 31 − 23
− 7 + 12
Svar: 2 +
28.
+
Lös ekvationen
3 +6
=
−4
7
−2
Svar: Saknar lösning
Sida 48
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
29.
Lös ekvationen
3 −9
=
−9
7
+3
Svar: Saknar lösning
30.
Lös ekvationen
2|2 − 6| = | + 2| + 2
31.
Svar:
=
eller
=
Svar:
= eller
=
Lös ekvationen
2|3 − | − 3|2 − 8| = 0
32.
Lös ekvationen
4| − 2| − 3|5 − | = 5
Svar:
33.
= −12 eller
=4
Lös ekvationen
| − 2| − 3 = 0
Svar:
34.
=3
Lös ekvationen
2| + 1| + |4 − 2 | = 6
Svar:
35.
= −1 eller
=2
Lös olikheten
( + 2)( − 3)
>0
( + 1)( − 1)
Svar:
36.
= ]−∞, −2[ ∪ ]−1, 1[ ∪ ]3, ∞[
∈
Lös olikheten
( + 4)( − 4)
≤0
( − 3)( + 1)
Svar:
37.
= [−4, −1[ ∪ ]3, 4]
Lös olikheten
−4
− 25
+ 88 − 60 > 0
Svar:
38.
∈
∈
= ]−∞, −5[ ∪ ]1, 2[ ∪ ]6, ∞[
Lös olikheten
+4
−
− 16 − 12 ≤ 0
Svar:
Sida 49
∈
= [−3, −2] ∪ [−1, 2]
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
39.
Lös olikheten
−9
+ 26 − 24 > 0
Svar:
40.
∈
= ]2, 3[ ∪ ]4, ∞[
Lös olikheten
−3 +2
≤0
+3 +2
Svar:
41.
∈
Lös olikheten
3
−1
+1≤
Svar:
42.
∈
= ]−∞, −2] ∪ ]1, 2]
Lös olikheten
+
− 8 − 12 ≥ 0
Svar:
43.
= ]−2, −1[ ∪ [1, 2]
= −2 eller
∈ [3, ∞[
Lös olikheten
− −6
≥0
+2 +1
Svar:
44.
+63
− 106 + 56 > 0
Svar:
∈
= ]−∞, 1[ ∪ ]2, 4[ ∪ ]7, ∞[
Lös olikheten
−8
+ 12
+ 32 − 64 > 0
Svar:
46.
= ]−∞, −2] ∪ [3, ∞[
Lös olikheten
− 14
45.
∈
∈
= ]−∞, −2[ ∪ ]2, 4[ ∪ ]4, ∞[
Lös olikheten
3| − 1| < | + 2|
Svar:
47.
∈
=
,
Lös olikheten
|
−3 |≤
5
+1
Svar:
Sida 50
∈
= [−2, −1[ ∪ [0, 4]
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
48.
Lös olikheten
| |<
| − 2|
Svar:
49.
∈
= ]1, 2[ ∪ ]2, 3[
Lös olikheten
2| − 3| ≤ | + 2|
Svar:
Sida 51
∈
=
, 3 ∪ [3, 8] =
,8
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Sida 52
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Matematisk Grundkurs för
högskoleingenjörer inom byggnadsteknik
2 Funktionslära
2.1 Inledning
(sid 63–72 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
En reell funktion ( ) är en regel som till varje ”tillåtet” värde – ingående i funktionens
definitionsmängd – skapar ett tillhörande funktionsvärde . Alltså = ( ).
Mängden av alla tänkbara funktionsvärden kallas värdemängden
Regeln ( )
Funktioner såsom ( ) =
är definierade för alla reella tal och i dessa fall gäller att
definitionsmängden
= ℝ. Man kan också skriva
= { ∈ ℝ} vilket utläses
”definitionsmängden för funktionen f är en mängd innehållande element sådana att
tillhör mängden av alla reella tal”.
Funktioner såsom ( ) = √ är däremot bara definierade för reella tal ≥ 0. Man skriver
då
= { ∈ ℝ; ≥ 0} vilket utläses ”definitionsmängden för funktionen f är en mängd
innehållande element sådana att tillhör mängden av alla reella tal större än eller lika
med noll”.
Ibland görs inskränkningar i den ordinarie definitionsmängden, t ex då man för omvändbara
funktioner önskar definiera den inversa funktionen (baklängesfunktionen). I senare avsnitt
kommer vi att studera funktionen ( ) = sin som är definierad för alla reella tal men man
inskränker sig då till en definitionsmängd
=
∈ ℝ; − ≤
intervall kunna definiera den inversa funktionen
Sida 53
≤
( ) = arcsin .
för att inom detta
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.2 Sammansatta funktioner
(sid 68 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Av två funktioner och
∘ ( )=
kan man bilda en sammansatt funktion
( ) för alla
∈
och
= ( )∈
∘
.
∘ ( )
( )
( )
=
2.2.1.1
Exempeluppgift
Låt ( ) =
+ 4 och ( ) = √ − 2.
Bestäm de sammansatta funktionerna
∘ ( ) och
=
=
∘ ( ).
Lösning:
( )=
+4
( )=√ −2
= ∘ ( )=
= √ −2
( )=
(
( )
+4=
= { ∈ ℝ; ≥ 2}
+2,
+4
( )=√ −2
= ∘ ( )=
=
⇒
⇒
( )
+ 4) − 2 =
+2 ,
Sida 54
=ℝ
sådan att
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.3 Funktioner och till hörande inverser
(sid 72–77 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Under gymnasieskolans Matematik A–E kommer man i kontakt med ett flertal elementära
funktioner och vanligen har de invers – åtminstone inom en del av sin definitionsmängd.
2.3.1 Injektiva funktioner har invers
(sid 72–74 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
En funktion är omvändbar (har invers) om och endast om varje värde y inom funktionens
värdemängd enbart härstammar från enbart ett värde inom funktionens
definitionsmängd . För en funktion med tillhörande invers
gäller att
=
och
=
.
Regeln
=
Regeln
=
Därmed är funktionen ( ) =
inte injektiv inom hela sin definitionsmängd; exempelvis
värdet = 9 kan uppstå både genom (3) = 3 och genom (−3) = (−3) .
Regeln ( ) =
Däremot är ( ) =
injektiv inom intervallen ≥ 0 respektive ≤ 0 och inverserna
( ) = √ respektive
( ) = −√ existerar för respektive intervall.
Sida 55
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Ett tillräckligt villkor för existensen av en invers är att funktionen är strängt monoton –
alltså strängt växande eller strängt avtagande på hela sin definitionsmängd.
Några exempel:
Strängt monoton
Strängt monoton
Styckevis strängt monoton
Strängt växande
Strängt avtagande
Varken strängt växande
eller strängt avtagande
Injektiv
Injektiv
Ej injektiv
Invers existerar
Invers existerar
Invers saknas
En injektiv funktion som varken är strängt växande eller strängt avtagande – ja det finns
faktiskt sådana – skulle kunna ha en kurva med utseende enligt nedan. Som alla injektiva
funktioner så har den för varje y-värde finns enbart ett tillhörande x-värde och följaktligen
har den invers.
Sida 56
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.3.2 Funktionens och inversens kurva
(sid 75–76 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Tidigare har nämnts att funktionen ( ) har invers om och endast om den är injektiv – d.v.s.
för varje värde = ( ) får det enbart finnas ett tillhörande x-värde.
Den inversa funktionens kurva är en spegelbild av den ordinarie funktionens kurva – detta
utifrån linjen = . Detta medför att eventuella skärningspunkter mellan funktionens kurva
och linjen = också är skärningspunkter med den inversa funktionens kurva.
( )
=
( )
Funktionens värdemängd innehåller samma värden som den inversa funktionens
definitionsmängd (se ovan) samt tvärtom.
Sida 57
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.3.3 Funktioner och inverser från gymnasieskolan
2.3.3.1
Exempel
Under gymnasieskolans kurser Matematik C och D stöter man på tiologaritmen lg .
Funktionen = lg presenteras som den inversa funktionen till = 10 och på
miniräknaren finns dessa funktioner på samma knapp men vanligtvis trycker man ”INV”
före knapptryckningen för att få inversen till den andra. Miniräknarens lg-knapp kallas av
många för ”’tio upphöjt i vad’-knappen”.
Vi drar oss till minnes minnes några av egenskaperna hos
= ( ) = 10 :


Funktionen är strängt växande
Definitionsmängden är mängden av alla reella tal:

Värdemängden är mängden av alla reella tal större än noll:
= ]−∞, ∞[
= ]0, ∞[
Därmed ger symmetrin mellan funktionens kurva och den inversa funktionens kurva –
( ) = lg :
utifrån linjen = i figuren nedan – följande egenskaper hos hos =


Funktionen är strängt växande
Definitionsmängden är mängden av alla tal större än noll:
= ]0, ∞[

Värdemängden är mängden av alla reella tal:
= ]−∞, ∞[
Skiss av funktionkurva och tillhörande invers’ kurva:
y
= 10
=
= lg
x
Sida 58
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Vardagligt kan man säga att = ( ) = 10 ”sväljer” alla rella tal men enbart ”spottar ut”
reella tal större än noll; en tiopotens blir alltid större än noll, oavsett exponentens storlek
( ) = lg , alltså att den enbart ”sväljer” reella
och tecken. Det omvända gäller för =
tal större än noll men ”spottar ut” alla reella tal; tiologaritmen besvarar frågan ”tio upphöjt i
vad blir talet…” och svaret (tiopotensens exponent) kan anta alla värden…
( ) =
( ) = i detta exempel endast för vissa xPå grund av detta gäller
värden. Om man exempelvis testar med = 1 får man med hjälp av exponentialfunktionen
värdet 10 och åter värdet 1 med hjälp av tiologaritmen; lg(10 ) = lg 10 = 1. Gör man
tvärtom får man värdet 0 med hjälp av tiologaritmen och åter värdet 1 med hjälp av
exponentialfunktionen; 10 = 10 = 1.
Detta förfarande fungerar dock ej för tal mindre än eller lika med 0 eftersom att
tiologaritmen ej kan (”svälja”) dessa tal (ej definierad för negativa tal) och samtidigt kan inte
exponentialfunktionen returnera (”spotta ut”) negativa tal.
2.3.3.2
Exempel
Under gymnasieskolans kurs Matematik D stöter man på den naturliga logaritmen ln .
Funktionen = ln presenteras som den inversa funktionen till =
(basen e är det
irrationella talet 2.71828…) och på miniräknaren finns dessa funktioner på samma knapp
men vanligtvis trycker man ”INV” före knapptryckningen för att få inversen till den andra.
Vi drar oss till minnes minnes några av egenskaperna hos
= ( )=


Funktionen är strängt växande
Definitionsmängden är mängden av alla reella tal:

Värdemängden är mängden av alla reella tal större än noll:
:
= ]−∞, ∞[
= ]0, ∞[
Därmed ger symmetrin mellan funktionens kurva och den inversa funktionens kurva –
( ) = ln :
utifrån linjen = i figuren nedan – följande egenskaper hos hos =


Funktionen är strängt växande
Definitionsmängden är mängden av alla tal större än noll:
= ]0, ∞[

Värdemängden är mängden av alla reella tal:
= ]−∞, ∞[
Sida 59
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Skiss av funktionskurva och den tillhörande inversens kurva:
y
=
=
= ln
x
Vardagligt kan man säga att = ( ) =
”sväljer” alla rella tal men enbart ”spottar ut”
reella tal större än noll; en potens med basen e blir alltid större än noll, oavsett exponentens
( ) = ln , alltså att den enbart ”sväljer”
tecken och värde. Det omvända gäller för =
reella tal större än noll men ”spottar ut” alla reella tal; naturliga logaritmen besvarar frågan
”2.71828… upphöjt i vad blir talet…” och svaret (potensens exponent) kan anta alla värden…
( ) =
( ) = i detta exempel endast för vissa xPå grund av detta gäller
värden. Om man exempelvis testar med = 1 får man med hjälp av exponentialfunktionen
värdet e och åter värdet 1 med hjälp av naturliga logaritmen; ln( ) = ln = 1. Gör man
tvärtom får man värdet 0 med hjälp av naturliga logaritmen och åter värdet 1 med hjälp av
eponentialfunktionen; 10
= 10 = 1.
Detta förfarande fungerar dock ej för tal mindre än eller lika med 0 eftersom att naturliga
logaritmen ej kan (”svälja”) dessa tal (ej definierad för negativa tal) och samtidigt kan inte
exponentialfunktionen returnera (”spotta ut”) negativa tal.
Sida 60
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.3.3.3
Exempel
Under kurserna Matematik A och B, på gymnasieskolans NV- och TE-program, stöter man på
funktionen =
(kubiken) samt dess invers = √ = (tredje roten). På vissa
miniräknare finns dessa funktioner på samma knapp och vanligtvis trycker man ”INV” före
knapptryckningen för att få inversen till den andra.
Vi drar oss till minnes några av egenskaperna hos
= ( )=


Funktionen är strängt växande
Definitionsmängden är mängden av alla reella tal:

Värdemängden är mängden av alla reella tal:
:
= ]−∞, ∞[
= ]−∞, ∞[
Därmed ger symmetrin mellan funktionens kurva och den inversa funktionens kurva –
utifrån linjen
=
i figuren nedan – följande egenskaper hos
( )= √ =
=
:


Funktionen är strängt växande
Definitionsmängden är mängden av alla reella tal:
= ]−∞, ∞[

Värdemängden är mängden av alla reella tal:
= ]−∞, ∞[
Skiss av funktionskurva och tillhörande invers’ kurva:
=
=
=√ =
( ) =
( ) = för alla x-värden. Om man exempelvis
Tack vare detta gäller att
testar med = −8 får man med hjälp av kubiken -512 och åter -8 med hjälp av kubikroten;
(−8) = √−512 = −8. Gör man tvärtom får man -2 med hjälp av kubikroten och åter -8
med hjälp av kubiken; √−8
= (−2) = −8.
Sida 61
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.3.3.4
Exempel
Under kursen Matematik B stöter man på rätlinjiga samband såsom = −4 + 2 med kvärdet (lutningen) 4 och m-värdet (skärningen med y-axeln) 2. Genom att skifta variabler
och lösa ut y får man unktionens invers:
= −4 + 2
⇔
4 =− +2
⇔
− +2
=
4
⇔
1
=− +
4 2
Skiss av funktionens räta linje och tillhörande invers’ räta linje:
= −4 + 2
=
1
=− +
4 2
För de båda funktionerna (den ordinarie och dess invers) gäller i detta fall:


Funktionerna är strängt avtagande
Definitionsmängderna är mängden av alla reella tal:

Värdemängderna är mängden av alla reella tal:
Sida 62
= ]−∞, ∞[
= ]−∞, ∞[
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.4 Grundläggande trigonometri
(sid 91–99 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Under Matematik A stöter man för första gången på trigonometri och man nöjer sig då med
att göra beräkningar med rätvinkliga trianglar. De trigonometriska funktionerna länkar då
samman vinlars storlek och förhållanden mellan sidors längd.
Med trigonometriska funktioner menas inledningsvis
= sin ,
= cos och
= tan .
Direkt ställer man sig frågan om dessa funktioner har invers för samtliga x-värden men så är
inte fallet; endast inom begränsade intervall har dessa funktioner invers ty funktionerna är
bara styckevis injektiva.
2.4.1 Enhetscirkeln och trigonometriska funktionsvärden
Från Matematik A minns man följande samband för rätvinkliga trianglar:
sin
=
cos
=
tan
=
c
a
b
En så kallad enhetscirkel – se Matematik D – har radien = 1. En inskriven rätvinklig
triangel kommer till stor nytta då man söker exakta trigonometriska funktionsvärden.
Sida 63
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
I enhetscirkeln kan man läsa av trigonometriska funktionsvärden – detta tack vare att den
rätvinkliga triangeln, inskriven i enhetscirkeln, alltid har hypotenusan = 1. Ur sambanden
från Matematik A får man kateternas längd enligt:
sin =
=1
⇒
cos =
=1
= sin
=1
⇒
= cos
= sin
= cos
Pythagoras sats ger:
=
0
6
4
3
2
= 30°
= 45°
1
√2
=
=
0
1
1
1
2
√3
≈ 0.87
2
1
≈ 0.71
1
√2
≈ 0.71
1
= 60°
√3
≈ 0.87
2
1
2
1
= 90°
1
0
1
⋮
⋮
⋮
⋮
Sida 64
⋮
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.4.1.1
Exempeluppgift
Bestäm sin
och cos på exakt form med hjälp av enhetscirkeln.
Lösning:
En rätvinklig triangel med vinkeln skrivs in i enhetscirkeln och speglas i höjdled.
Därmed har en liksidig triangel skapats; vinklarna är alla i den stora triangeln.
c=1
a
b
Eftersom att hypotenusan = 1 bör även den lodräta sidan 2 = 1 och
= .
Sidan b fås nu med hjälp av Pythagoras sats:
+
=
=1
1
=
2
⇒
1
2
+
=1
I första kvadranten av enhetscirkeln är
I enhetscirkeln gäller dessutom att
därmed löst:
Svar:
sin =
⟺
1
2
≥ 0 och därmed gäller
= sin
och cos =
=± 1−
√
Sida 65
och att
=±
3
√3
=±
4
2
= och
=
√
= cos och uppgiften är
(exakt form)
.
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.4.1.2
Exempeluppgift
Bestäm sin
och cos på exakt form.
Lösning:
En rätvinklig triangel med vinkeln skrivs in i enhetscirkeln och speglas i
hypotenusan. Därmed har en kvadrat skapats.
=1
Eftersom att hypotenusan = 1 och kateterna är lika långa ( = b) fås nu
kateternas längd med hjälp av Pythagoras sats:
+
=
=1
=
⇒
+
=1
⟺ 2
I första kvadranten av enhetscirkeln är
=
=
√
≥ 0 och
=±
1
1
=±
2
√2
≥ 0 och därmed gäller
.
I enhetscirkeln gäller dessutom
Svar:
=1 ⟺
sin = cos =
= sin
√
och
= cos . Uppgiften är därmed löst:
(exakt form)
Sida 66
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.4.2 Restriktioner av trigonometriska funktioner
(sid 75–76 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Från Matematik D minns man att de trigonometriska funktionerna är periodiska – deras
kurvorna har en profil som upprepar sig inom hela definitionsmängden – och inversa
funktioner till dessa definieras bara inom begränsade intervall nära origo. För detta krävs
utvalda avsnitt av funktionerna inom vilka funktionerna är injektiva – s.k. restriktioner.
Funktionen
= sin är injektiv inom det slutna intervallet
∈ − ,
y
1
= sin
−
Funktionen
x
2
2
= cos är injektiv inom det slutna intervallet
∈ [0, ]
y
= cos
x
-1
Sida 67
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Funktionen
= tan är injektiv inom det öppna intervallet
∈ − ,
y
= tan


x
Sida 68
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.4.3 Grundläggande identiteter inom trigonometrin
(sid 95–101 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Här följer ett litet urval av grundläggande trigonometriska identiteter vilka är bra att känna
till – ytterligare identiteter tas upp i läroboken:
Grundläggande:
(1)
cos
= sin
+
Detta samband inses genom följande figur:
sin
+
+
2
2
cos
För cos
(2)
≠ 0 gäller att:
tan
=
I enhetscirkeln gäller att = 1 och sambandet inses genom:
tan
För sin
(3)
=
=
=
sin
cos
≠ 0 gäller att:
cot
=
=
I enhetscirkeln gäller att = 1 och inses genom: cot =
Sida 69
=
=
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Perioder:
För
∈ ℤ gäller att:
(4)
sin
= sin( + 2 )
Detta samband inses tack vare att kateten a för en rätvinklig triangel inskriven i
enhetscirkeln antar samma längd då visaren i enhetscirkeln roterat n varv.
För
∈ ℤ gäller att:
(5)
cos
= cos( + 2 )
Detta samband inses tack vare att kateten b för en rätvinklig triangel inskriven i
enhetscirkeln antar samma längd då visaren i enhetscirkeln roterat n varv.
För
∈ ℤ gäller att:
(6)
tan
= tan( +
)
Detta samband inses tack vare att kateternas längd skiftar mellan ”a och b”
respektive ”− och − ” då visaren i enhetscirkeln roterar
(alltså n st.
halvvarv) i enhetscirkeln. Förhållandet mellan dem blir dock alltid detsamma:
−
tan = =
= tan( + )
−
Symmetri:
Nedanstående identiteter inses genom symmetriska resonemang m h a enhetscirkeln:
(7)
sin(− ) = − sin
(8)
sin
(9)
cos(− ) = cos
= sin( − )
(10) tan(− ) = − tan
(11) sin
= cos
−
(12) cos
= sin
−
Trigonometriska Ettan:
(11) sin
+ cos
=1
Fås genom Pythagoras sats på triangel inskriven i enhetscirkeln.
Sida 70
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Additions- och subtraktionsformler:
(11) sin( ± ) = sin cos
± cos sin
(12) cos( ± ) = cos cos
∓ sin sin
Formler för dubbla vinkeln:
Nedanstående formler fås genom att man sätter
Trigonometriska Ettan:
=
(13) sin 2 = 2 sin cos
(14) cos 2
= cos
= 2 cos
− sin
−1
= 1 − 2 sin
Sida 71
i formlerna ovan samt med hjälp av
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.5 Grundläggande trigonometriska ekvationer
2.5.1.1
Exempeluppgift
Lös ekvationen sin =
Lösning:
sin =
1
2
Enhetscirkeln ger:
=
π
+ 2 ,
6
∈ℤ
eller
= π−
2.5.1.2
π
5π
+ 2 =
+ 2 ,
6
6
∈ℤ
Exempeluppgift
Lös ekvationen cos =
√
Lösning:
cos =
√3
2
Enhetscirkeln ger:
π
=± + 2 ,
6
Sida 72
∈ℤ
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.5.1.3
Exempeluppgift
Lös ekvationen cos 2 = 0
Lösning:
cos 2 = 0
Enhetscirkeln ger:
π
2 =± + 2
2
2.5.1.4
π
=± +
4
⇔
=
π
+
,
4
2
Exempeluppgift
Lös ekvationen sin 2 (1 − cos 3 ) = 0
Lösning:
sin 2 (1 − cos 3 ) = 0
Varje faktor studeras var och en för sig:
Fall 1)
sin 2 = 0
Enhetscirkeln ger:
2 =
⇔
=
2
,
∈ℤ
Fall 2)
1 − cos 3 = 0
⇔ cos 3 = 1
Enhetscirkeln ger:
3 = 2
=
2
,
3
Svar:
⇔
∈ℤ
=
eller
=
,
Sida 73
∈ℤ
∈ℤ
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.5.1.5
Exempeluppgift
Lös ekvationen sin
+ sin + = 0
Lösning:
sin
3
1
+ sin + = 0
2
2
⇔
1
=0
2
(sin + 1) sin +
Varje faktor studeras var och en för sig:
Fall 1)
sin = −1
Enhetscirkeln ger:
=−
2
+ 2 ,
∈ℤ
Fall 2)
sin = −
1
2
Enhetscirkeln ger:
= − + 2 eller
Svar:
=
+ 2 ,
= − + 2 eller
∈ℤ
= − + 2 eller
Sida 74
=
+ 2 ,
∈ℤ
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.5.1.6
Exempeluppgift
Lös ekvationen cos
+ sin = 1
Lösning:
cos
+ sin = 1
1 − sin
⇔
+ sin = 1
⇔
sin (1 − sin ) = 0
Varje faktor studeras var och en för sig:
Fall 1)
sin = 0
Enhetscirkeln ger:
=
,
∈ℤ
Fall 2)
sin = 1
Enhetscirkeln ger:
=
2
Svar:
+ 2 ,
∈ℤ
=
eller
= + 2
Sida 75
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.6 Arcusfunktioner – en översikt
(sid 109–115 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
När man söker vinklar ur trigonometriska uttryck såsom sin = 1, cos = −
eller
tan = 0 behövs inverser till respektive funktion. Dock existerar ej inversa funktioner till
dessa funktioner inom hela deras definitionsmängder eftersom det till varje y-värde (inom
värdemängden) finns oändligt många tänkbara x-värden. Ovan nämnda funktioner är ej
injektiva – bara styckevis injektiva.
2.6.1 Inverserna
,
och
I föregående avsnitt berördes att de trigonometriska funktionerna endast har invers inom
begränsade intervall som är injektiva.
Inom detta intervall av
invers:
Funktionen
= sin (inom vilket funktionen är injektiv) definieras funktionens
= sin är injektiv inom det slutna intervallet
∈ − ,
y
1
= sin
−
x
2
2
Sida 76
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Kurvan till inversen
= arcsin fås genom symmetri:
Restriktionen av
= sin och dess invers
= arcsin
y

= arcsin
1
 -1
= sin
1

x
= sin
= arcsin
= [−1, 1]
= arcsin :
Inom detta intervall av
invers:
Funktionen
= − ,
2 2
= cos (inom vilket funktionen är injektiv) definieras funktionens
= cos är injektiv inom det slutna intervallet
∈ [0, ]
y
= cos
x
-1
Sida 77
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Kurvan till inversen
= arccos fås genom symmetri:
Restriktionen av
= cos och dess invers
= arccos
y

= arccos

1
-1
-1
1


x
= cos
= arccos :
Sida 78
= [−1, 1]
= [0, ]
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Inom detta intervall av
invers:
Funktionen
= tan (inom vilket funktionen är injektiv) definieras funktionens
= tan är injektiv inom det öppna intervallet
∈ − ,
y
= tan

Kurvan till inversen

x
= arctan fås genom symmetri:
Restriktionen av
= tan och dess invers
y
= tan


= arctan
= arctan
x


= ]−∞, ∞[
= arctan :
Sida 79
= − ,
2 2
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.6.2 Förenkling av uttryck med arcusfunktioner
Det gäller att vara på sin vakt om man önskar ”kvitta” trigfunktioner och motsvarande
arcusfunktioner – speciellt då man arbetar med värden på vinklar utanför restriktionernas
definitionsmängder.
Exempel:
arcsin sin −
6
= arcsin −
1
=−
2
6
Exempel:
arcsin sin
5
6
1
= arcsin =
2 6
Som synes returnerar arcsin alltid vinklar inom sin värdemängd
sin x
arcsin x returnerar vinklar
inom detta intervall
1
2

1
2
1
2

1
2
Sida 80
cos x
= − ,
:
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Exempel:
arccos cos
5
6
= arccos −
5
√3
=
2
6
Exempel:
arccos cos −
6
= arccos
√3
=
2
6
Som synes returnerar alltid arccos vinklar inom intervallet
sin x
arccos x returnerar vinklar
inom detta intervall
1
2

1
2
1
2

= [0, ]:
1
2
Sida 81
cos x
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
I vissa fall konstruerar man med fördel en hjälptriangel för att förenkla ett uttryck:
Exempel:
1
tan(arcsin ) = tan arcsin
= tan
=
√
√1 −
Ytterligare studier – vilka överlåts åt läsaren – visar att erhållet samband
tan(arcsin ) =
gäller för hela arcsinus’ definitionsmängd
= [−1, 1].
√
Exempel:
1
tan(arccos ) = tan arccos
= tan
=
√1 −
√
Ytterligare studier – vilka överlåts åt läsaren – visar att erhållet samband
tan(arcsin ) =
gäller för hela arccosinus’ definitionsmängd
= [−1, 1].
√
Sida 82
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
2.7 Övningsuppgifter
1.
Vad krävs för att en funktion skall ha en invers?
Svar: Se lektionsgenomgång
2.
Hur ser inversens funktionskurva ut i förhållande till den ordinarie funktionens
funktionskurva?
Svar: Se lektionsgenomgång
3.
Låt = ( ) = . Ange definitionsmängd, värdemängd, funktionens invers med
tillhörande definitionsmängd och värdemängd samt skissa kurvorna i samma
koordinatsystem.
Svar: Se lektionsgenomgång
4.
Låt = ( ) = 1 − 2 . Ange definitionsmängd, värdemängd, funktionens invers
med tillhörande definitionsmängd och värdemängd samt skissa kurvorna i samma
koordinatsystem.
Svar:
5.
= ]−∞, ∞[
= ]4, ∞[ och
= ]−∞, ∞[ samt
= ]−∞, ∞[ och
= ]4, ∞[
= ]−3, ∞[ och
= ]−∞, ∞[ samt
= ]−∞, ∞[ och
= ]−3, ∞[
Låt = ( ) = ln(2 − ). Ange definitionsmängd, värdemängd, funktionens
invers med tillhörande definitionsmängd och värdemängd samt skissa kurvorna i
samma koordinatsystem.
Svar:
8.
= ]−∞, 1[ och
Låt = ( ) = ln( + 3). Ange definitionsmängd, värdemängd, funktionens
invers med tillhörande definitionsmängd och värdemängd samt skissa kurvorna i
samma koordinatsystem.
Svar:
7.
= ]−∞, 1[ samt
Låt = ( ) = ln( − 4). Ange definitionsmängd, värdemängd, funktionens
invers med tillhörande definitionsmängd och värdemängd samt skissa kurvorna i
samma koordinatsystem.
Svar:
6.
= ]−∞, ∞[ och
= ]−∞, 2[ och
= ]−∞, ∞[ samt
= ]−∞, ∞[ och
= ]−∞, 2[
Låt = ( ) = lg . Ange definitionsmängd, värdemängd, funktionens invers med
tillhörande definitionsmängd och värdemängd samt skissa kurvorna i samma
koordinatsystem.
Svar: Se lektionsgenomgång
Sida 83
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
9.
Låt = ( ) = √ . Ange definitionsmängd, värdemängd, funktionens invers med
tillhörande definitionsmängd och värdemängd samt skissa kurvorna i samma
koordinatsystem.
Svar: Se lektionsgenomgång
10.
Låt = ( ) = √4 − . Ange definitionsmängd, värdemängd, funktionens invers
med tillhörande definitionsmängd och värdemängd samt skissa kurvorna i samma
koordinatsystem.
= ]−∞, 4] och
Svar:
11.
Låt
= ( )=
1
= [0, ∞[ samt
= [0, ∞[ och
= ]−∞, 4]
− 1. Ange definitionsmängd, värdemängd, funktionens invers
med tillhörande definitionsmängd och värdemängd samt skissa kurvorna i samma
koordinatsystem.
Svar:
12.
= ]0, 1] och
= [0, ∞[ samt
= [0, ∞[ och
= ]0, 1]
Nämn tre funktioner vilka saknar invers respektive har invers
Svar:
=
=
13.
Låt ( ) =
å
å
∈ ℝ,
≥ 0,
= cos
(2) +
. Bestäm uttrycket
Icke injektiva funktioner såsom
å ∈ ℝ och = | | å ∈ ℝ
saknar invers.
= cos
å
Injektiva funktioner såsom
∈ [0, ] och = | | å ≤ 0
har invers.
(8)
Svar: 1000
14.
Låt ( ) = √ . Förenkla uttrycket (
(2) + (1000) + 9)
Svar: 3
15.
Låt ( ) = 3 − 6. Förenkla uttrycket
(9) − (4)
Svar: -9
16.
Låt ( ) = lg . Förenkla uttrycket (
(2) + (1000) − 93)
Svar: 1
17.
Låt ( ) = lg . Förenkla uttrycket (
(1) − (200) − (5000) − 3)
Svar: 0
18.
Låt ( ) = ln . Förenkla uttrycket
( (
) − 2)
Svar:
Sida 84
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
19.
Låt ( ) = √ och ( ) = −√ har båda inversen ( ) =
intervall. Visa med hjälp av grafer hur detta hänger ihop.
men inom olika
Svar: Se lektionsgenomgång
20.
21.
22.
Lös ekvationen ln
+ ln( − 1) = ln 2 + ln(3 − )
Svar:
=2
Svar:
=6
Lös ekvationen ln( − 4) − ln 6 = ln( − 2) −ln
Varför är tangens inte definierad för vissa vinklar och vilka är dessa vinklar?
Svar: Se lektionsgenomgång
23.
Visa i enhetscirkeln vilka vinklar som har sinusvärdet −
√
.
Svar: Se lektionsgenomgång
24.
Visa i enhetscirkeln vilka vinklar som har cosinusvärdet − .
Svar:
25.
=±
+ 2 då
Nämn ett intervall av vinklar vilka har tangensvärde större än 1?
Svar: T.ex.
26.
∈ℤ
∈ =
,
Vilka värden kan tangens anta och hur kommer det sig?
Svar: Se lektionsgenomgång
27.
Bestäm cos
med hjälp av enhetscirkeln.
Svar: −
28.
Bestäm tan
√
med hjälp av enhetscirkeln.
Svar: √3
29.
Bestäm cos då tan = .
Svar: ±
30.
Bestäm cos då sin = .
Svar: ±
Sida 85
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
31.
Bestäm sin
med hjälp av en subtraktionssats och trigonometriska värden för
och .
Svar:
32.
Bestäm sin då cos =
√
√
√
−
1
√
=
√ −1
√
.
Svar: ±
33.
Bestäm sin 2 om sin = .
Svar: ±
34.
√
Bestäm sin 2 x om tan = 1.
Svar: 1
35.
Lös ekvationen sin 2 = cos
Svar:
36.
= + 2 eller
=
+ 2 eller
då
∈ℤ
=
då
∈ℤ
Lös ekvationen tan 5 = 1
Svar:
37.
= +
Lös ekvationen tan
+
+ 1 = sin
Svar: Saknar lösning
38.
39.
Lös ekvationen sin
Lös ekvationen sin
+ sin − 2 = 0
41.
= + 2 då
∈ℤ
+ 2 eller
= + 2 då
∈ℤ
Svar:
=0
− sin + = 0
Svar:
40.
Svar:
= + 2 eller
=
Lös ekvationen arccos =
Lös ekvationen arccos =
Svar: Saknar lösning
42.
Lös ekvationen sin cos = 0
Svar:
Sida 86
=
då
∈ℤ
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
43.
Lös ekvationen sin = tan
Svar:
44.
Lös ekvationen tan
=
då
∈ℤ
= +
då
∈ℤ
eller ± + 2 då
∈ℤ
−1 = 0
Svar:
45.
Lös ekvationen 2 cos
− cos = 0
Svar:
46.
= +
Lös ekvationen arcsin = −
Svar:
47.
=−
√
Lös ekvationen arcsin = π
Svar: Saknar lösning
48.
Lös ekvationen 2 sin = sin 2
Svar:
49.
50.
=
då
∈ℤ
Svar:
=1
då
∈ℤ
Lös ekvationen arctan =
Lös ekvationen cos
= sin
Svar:
−
= +
51.
Visa att
=
52.
Visa att
=
53.
Visa att
= 1 + tan
54.
Visa att 1 −
55.
Visa att tan
56.
Förklara varför endast restriktioner till de elementära trigonometriska
funktionerna har inversa funktioner.
= sin
=
Svar: Se lektionsgenomgång
Sida 87
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
57.
Ange definitionsmängd och värdemängd till den restriktion av = ( ) = sin
som har invers, ange inversens definitions- och värdemängd samt skissa kurvorna
i samma koordinatsystem.
Svar: Se lektionsgenomgång
58.
Ange definitionsmängd och värdemängd till den restriktion av = ( ) = cos
som har invers, ange inversens definitions- och värdemängd samt skissa kurvorna
i samma koordinatsystem.
Svar: Se lektionsgenomgång
59.
Ange definitionsmängd och värdemängd till den restriktion av = ( ) = tan
som har invers, ange inversens definitions- och värdemängd samt skissa kurvorna
i samma koordinatsystem.
Svar: Se lektionsgenomgång
60.
Förenkla uttrycket tan(arccos ) med stöd av hjälptriangel.
Svar:
61.
Förenkla uttrycket arcsin sin
√
med stöd av enhetscirkeln.
Svar:
62.
63.
Lös ekvationen
Lös ekvationen 3
+ lg(1 − ) − lg 25 =
− 36 ∙ 3
(
)
.
= −2
= −2 eller
= −3
+ 243 = 0.
Svar:
64.
Svar:
Lös ekvationen lg(−2 ) + lg(−5 ) = 7.
Svar:
Sida 88
= −1000
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Matematisk Grundkurs för
högskoleingenjörer inom byggnadsteknik
3 Komplexa tal
När man införde den imaginära enheten som definieras genom
2
= −1 revolutionerades
matematiken; möjligheterna att lösa diverse tidigare olösliga problem möjliggjordes. Ett
stort antal problem inom fysiken blev dessutom enklare att hantera då modeller baserade
på denna definition användes.
3.1 Rektangulär form,
=
+
(sid 50–51 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
De komplexa talen kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas
som = + där det reella talet a är realdelen, det reella talet b är imaginärdelen och i är
den imaginära enheten som definieras av just = −1.
Detta ger en utvidgning från ℝ (mängden reella tal) till ℂ (mängden komplexa tal) som
innehåller talpar ( , ) med realdel a och imaginärdel b enligt ovan.
Mängden reella tal ℝ utgör den delmängd av mängden komplexa tal med talpar ( , 0) vilka
saknar imaginärdel. ℝ är en äkta delmängd av ℂ.
Två komplexa tal med talparen ( , ) och ( , ) är bara lika med varandra om
samtidigt = .
= och
Framställningen = + av ett komplext tal kallas också rektangulär form och
åskådliggörs enklast med koordinatsystem bestående av den reella tallinjen (rellea axeln)
för realdelen a samt imaginära tallinjen (imaginära axeln) för imiaginärdelen b:
Im
+
Re
Sida 89
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Om
≠ 0 så gäller att z är ett icke reellt komplext tal (till exempel = 2 + 4 ).
Om
= 0 kallas talet rent imaginärt ty det saknar då realdel (till exempel = 4 ).
Om
= 0 kallas talet reellt ty det saknar då imaginärdel (till exempel = 2).
Här beskrivs de tre talen:
Im
(0, 4)
Im
(2, 4)
=4
(2, 0)
=2+4
=2
Re
Koordinater med realdel och imaginärdel...
Sida 90
Re
…till dessa komplexa tal
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
3.2 Grundläggande beräkningar med komplexa tal
(sid 52–57 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)

Imaginärdel och realdel för det komplexa talet (−1 + 4 ) skrivs Re (−1 + 4 ) = −1
respektive Im(−1 + 4 ) = 4.

Vid addition och subtraktion av komplexa tal hanteras alltid imaginära termer för
sig och reella termer för sig.
Exempel:
(5 + 2 ) + (−1 + 4 ) = 5 + 2 − 1 + 4 = 4 + 6
(4 + 6 ) − (5 + 2 ) = 4 + 6 − 5 − 2 = −1 + 4
Im
4+6
−1 + 4
5+2
Re

Vid multiplikation av komplexa tal ersätts produkten ∙ =
produkter av rent imaginära tal blir därmed reella tal.
med −1 och
Exempel:
(4 + 3 )(2 − 5 ) = 8 − 20 + 6 − 15

= 8 − 14 + 15 = 23 − 14
Under gymnasieskolans Matematik B tar man upp konjugatregeln för exempelvis
multiplikation av polynomen ( + 2) och ( − 2). Som synes har faktorerna lika
utseende så när som på tecknet före den andra termen. Hos komplexa tal fås
konjugatet ̅ till ett tal genom ”spegling” av talet i den reella axeln – alltså genom
teckenbyte hos imaginärdelen. Konjugatet till = + blir därmed ̅ = − .
Exempel:
Im
=5+2
Re
̅=5−2
Sida 91
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009

Vid division av komplexa tal förlänger man lämpligtvis med nämnarens konjugat –
detta så att nämnaren skall bli rent reell.
Exempel:
(4 + 8 )(1 − ) 4 − 4 + 8 + 8 12 + 4
4+8
=
=
=
=6+2
(1 + )(1 − )
1+
1− + +1
2

Absolutbeloppet av ett komplext tal definieras genom | | = √ + och beskriver
”det kortaste avståndet till origo”, precis som för reella tal men ett avstånd genom
två dimensioner vilket kräver beräkning med hjälp av Pythagoras sats.
Exempel:
| |=
+
= +
=4
=3
⇒
=4+3
| |= 4 +3 = 5
Im
=3
= 4+3
| |=5
=4
Sida 92
Re
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
3.3 Mängder av komplexa tal
I föregående avsnitt har enstaka punkter (talpar) markerats inom det komplexa talplanet.
Nedan ser man exempel på mängder av komplexa tal markerade i det komplexa talplanet.
Talen är angivna utifrån krav på deras imaginärdel, realdel, absolutbelopp eller avstånd till
andra komplexa tal:
Im
Im
Re
Re
Re
≥0
Im ≤ 0
Mängden av alla komplexa tal med realdel större
än noll
Mängden av alla komplexa tal med imaginärdel
mindre än noll
Im
Im
Re
Re
| |≤
| |≥
Mängden av alla komplexa tal med
absolutbelopp större än eller lika med
Mängden av alla komplexa tal med
absolutbelopp mindre än eller lika med
Sida 93
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Im
Im
Re
Re
Re > Im
Re < Im
Mängden av alla komplexa tal med större realdel
än imaginärdel
Mängden av alla komplexa tal med större
imaginärdel än realdel
Im
Im
2+
2+
Re
Re
| − (2 + )| = 1
| — (2 + )| = | − |
Mängden av alla komplexa tal med ”avståndet 1”
till talet 2 +
Mängden av alla komplexa tal med ”lika avstånd”
till talen 2 + respektive
Sida 94
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
3.3.1.1
Lös ekvationen | − (2 + )| = 1
Lösning:
| − (2 + )| = 1
⇔
| +
⇔
|( − 2) + ( − 1)| = 1
⇔
−2− |=1
( − 2) + ( − 1) = 1
Kvadrering ger
⇔
Svar:
3.3.1.2
( − 2) + ( − 1) = 1
En cirkel med = 1 och centrum i
= 2,
=1
Exempeluppgift
Lös ekvationen | + 8| = 2| + 2|
Lösning:
| + 8| = 2| + 2| ⇔
| +
+ 8| = 2| +
( + 8) +
⇔
+ 2|
= 2 ( + 2) +
Kvadrering ger
( + 8) +
⇔
+ 16 + 64 +
= 4(
⇔
+ 16 + 64 +
=4
⇔
⇔
Svar:
= 4(( + 2) +
3
− 48 + 3
+
+4 +4+
)
+ 16 + 16 + 4
=0
= 16
En cirkel med = 4 och centrum i origo
Sida 95
)
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
3.3.1.3
Exempeluppgift
Lös ekvationen | − 4 + 5 | = 3| − 4 − 3 |
Lösning:
| − 4 + 5 | = 3| − 4 − 3 |
⇔ | +
⇔
− 4 + 5 | = 3| +
−4−3 |
( − 4) + ( + 5) = 3 ( − 4) + ( − 3)
Kvadrering ger
⇔ ( − 4) + ( + 5) = 9(( − 4) + ( − 3) )
⇔
− 8 + 16 +
+ 10 + 25 = 9(
⇔
− 8 + 16 +
+ 10 + 25 = 9
⇔ 0=8
⇔
− 64 + 8
−8 +
− 8 + 16 +
− 6 + 9)
− 72 + 144 + 9
− 64 + 184
− 8 + 7 = 23
⇔ ( − 4) + ( − 4) − 16 − 16 = 23
⇔ ( − 4) + ( − 4) = 9
Svar:
En cirkel med = 3 och centrum i
Sida 96
= 4,
=4
− 54 + 81
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
3.4 Enkla ekvationer med komplexa rötter
(sid 57 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Här följer ett antal ekvationer med stegrande svårighetsgrad:
3.4.1.1
Exempeluppgift
Lös ekvationen
+9=0
Lösning:
+9=0
= 9 ∙ (−1)
⇔
⇔
= ±3
Två rent imaginära rötter.
Kontroll med hjälp av den unika faktoriseringen av ekvationen ger
( − 3 )( + 3 ) =
+9
vilket motsvarar det ursprungliga vänsterledet
3.4.1.2
Exempeluppgift
Lös ekvationen
− 6 + 25 = 0
Lösning:
− 6 + 25 = 0
⇔ ( − 3) − 9 + 25 = 0
⇔ ( − 3) = −16
⇔
=3±4
Två komplexa (sammansatta) rötter med både real- och imaginärdel.
Kontroll med hjälp av den unika faktoriseringen av ekvationen ger
− (3 + 4 )
− (3 − 4 ) =
=
−3 −4
− 6 + 25
vilket motsvarar det ursprungliga vänsterledet.
Sida 97
−3 +4
+ 9 − 16
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
3.4.1.3
Exempeluppgift
Lös ekvationen
+ 13
+ 36 = 0
Lösning:
+ 13
+ 36 = 0
⇔
+
⇔
+
⇔
+
−
+ 36 = 0
13
2
−
169 144
+
=0
4
4
13
2
=
25
4
13
5
=±
2
2
⇔
+
⇔
=−
⇔
= −9 eller
⇔
= ±3 eller
13 5
±
2 2
= −4
= ±2
Fyra rent imaginära rötter
Sida 98
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
3.5 Polynomekvationer av högre grad
(sid 57 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
Algebrans fundamentalsats säger som bekant att:

Varje polynom av grad  1 har minst en komplex rot
Dessutom gäller att:

Summan av multipliciteterna hos rötterna = polynomets grad
Ovanstående kan sammanfattas i att:

3.5.1.1
Varje polynom över ℂ (= mängden komplexa tal) av grad ≥ 1 har exakt n stycken
nollställen i ℂ om varje nollställe räknas med sin multiplicitet
Exempeluppgift
Lös ekvationen
−2
+ 9 − 18 = 0
Lösning:
Ekvationen har tre komplexa rötter. Roten = 2 gissas och tillhörande faktor,
enligt faktorsatsen, är därmed ( − 2). Polynomdivision med rotens tillhörande
faktor ( − 2):
+9
−(
−2
+ 9 − 18 ∶
−2
)
−2
9 − 18
−(9 − 18)
0
Ekvationen kan alltså faktoriseras enligt ( − 2)( + 9) = 0 och faktorn
ett primpolynom av grad 2 och har därmed komplexa nollställen:
+9=0
Svar:
⇔
⇔
= 2,
= −9
= ±3
= 3 , eller
Sida 99
= −3
+ 9 är
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
3.5.1.2
Exempeluppgift
Ekvationen
+2
+3
+ 2 + 2 = 0 har en rot = . Bestäm resterande rötter.
Lösning:
Om polynomekvationer med reella koefficienter har komplexa rötter så är de alltid
konjugat till varandra – de komplexa rötterna förekommer i konjugerade par.
Således är = − också en rot och tillhörande faktorer till de två kända rötterna är
( − )( + ) = + 1.
+2 +2
+2
+3
−(
+2 +2∶
)
+
2
+1
+2
+2 +2
+2 )
−(2
2
+2
−(2
+ 2)
0
Ekvationen kan alltså faktoriseras enligt ( − )( + )(
faktorn + 2 + 2 har komplexa nollställen:
+2 +2=0
Svar:
3.5.1.3
,
⇔
= ± eller
+ 2 + 2) = 0 och
= −1 ±
,
= −1 ±
Exempeluppgift
Ekvationen
+ 4 = 0 har en rot = 1 + . Bestäm resterande rötter.
Lösning:
Den konjugerade roten till = 1 + är = 1 − .
De tillhörande faktorerna är
Polynomdivisionen
Svar:
− (1 + )
ger kvoten
,
= 1 ± eller
,
− (1 − ) =
− 2 + 2.
+ 2 + 2 som har nollställena = −1 ± .
= −1 ±
Sida 100
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
3.6 Polär form – ger ibland stora fördelar
(sid 117–120 i läroboken Analys – en variabel, Forsling och Neymark)
=| |
Ibland är det smidigt att ange koordinater med hjälp av avstånd från origo och vinkel i
förhållande till nollriktning – detta görs bland annat hos polära koordinater (2-dim) och
sfäriska koordinater (3-dim).
3.6.1 Polär form då | | =
För komplexa tal med | | = 1 gäller att = cos + sin .
Efter derivering med avseende på (se kommande kurs inom Enavariabelanalys) och
ytterligare hantering fås den första av Eulers formler som kopplar samma polär
exponentialform och polär trigonometrisk form:
(1)
= cos + sin
Im
= sin
= +
= cos + sin
=
= | |=1
= cos
Sida 101
Re
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
För konjugatet
gäller genom symmetri i enhetscirkeln att
=
= cos − sin
Addition respektive subtraktion med
= cos + sin
ger ytterligare två av Eulers formler:
(2)
cos
=
(3)
sin =
3.6.2 Polär form då | | =
Ett allmänt komplext tal – med valfritt absolutbelopp – kan nu skrivas som
(4)
= (cos + sin ) =
,
=| |
ℎ
= arg
Im
= sin
= +
= (cos + sin )
=
=| |
= cos
Re
Absolutbeloppet = | | är avståndet till origo i det komplexa talplanet och är vinkeln
mellan den reella axeln och en linje genom origo och talets punkt i det komplexa talplanet.
Vinkeln kallas argumentet för z och kan för
∈ − ,
skrivas som
= arg = arctan
Denna framställning kallas polär form – eller ”polär trigonometrisk form” respektive ”polär
exponentialform” – och vid multiplikation, division, potensräkning och rotdragning av
komplexa tal blir beräkningarna smidiga på just polär form…
Sida 102
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
3.6.2.1
Exempel
Låt
√
= cos + sin =
+
= cos + sin =
= +
och
=
Beräkna
∙
√
.
på kvadratisk form, polär trigonometrisk form och polär exponentialform.
Lösning:
Båda talen är komplexa tal med absolutbeloppet 1 samt argumenten arg
respektive arg
=
= .
a) Produkten
∙
∙
=
på rektangulär form:
1 √3
+
2
2
√3 1
+
2
2
=
3
√3 1
√3
+
+
−
=
4
4
4
4
b) Polär trigonometrisk form med parentesmultiplikation och förenkling
med hjälp av additions- och subtraktionssats från föregående kapitel:
∙
= cos + sin
3
3
cos + sin
6
6
= cos cos − sin sin +
3
6
3
6
= cos
3
+
6
+ sin
= cos + sin
2
2
=
c) Polär exponentialform:
∙
=
∙
=
=
=
Sida 103
3
+
6
sin cos + cos sin
3
6
3
6
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
3.7 De Moivres formel
För komplexa tal gäller att
=
=
=
(cos
+ sin
) ,
∈ℤ
Detta samband kallas för de Moivres formel och är till stor hjälp vid lösning av ekvationer av
typen
= :
3.7.1.1
Exempel
Lös ekvationen
= −16 och ange svaret på kvadratisk form.
Lösning:
= −16
⇔
= 16
(
)
⇔ z = √16
⇔z=2
,
= 0, 1, 2, 3
⇔ z = 2 cos
+
+ sin
+
,
= 0, 1, 2, 3
Im
=0
=1
=2
Re
=2
cos
+
=±
√
=3
sin
+
=±
√
Multiplikationen med absolutbeloppet 2 ger real- och imaginärdelar:
Svar:
z = √2 + √2 ,
z = −√2 + √2 ,
z = −√2 − √2 ,
z = √2 − √2
Sida 104
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
3.7.1.2
Exempel
Lös ekvationen
= 125 och ange svaret på kvadratisk form.
Lösning:
= 125
⇔
= 125
⇔ z = √125
⇔z=5
⇔ z = 5 cos
,
= 0, 1, 2
+
+ sin
+
,
= 0, 1, 2
Im
=1
=0
=5
Re
=2
cos
+
=±
√
eller 0
sin
+
=
eller − 1
Multiplikationen med absolutbeloppet 5 ger real- och imaginärdelar:
Svar:
⇔z =
√
+
,
z =−
Sida 105
√
+
, z = −5
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Sida 106
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
3.8 Ekvationer med komplexa koefficienter
Vid lösning av polynomekvationer med komplexa koefficienter kan man inte dra nyttan av
konjugerade rötter och lösning av sådana ekvationer blir något mer omfattande än för
polynomekvationer med reella koefficienter. Här följer några exempel:
3.8.1.1
Exempeluppgift
Lös ekvationen
=9
Lösningar:
Metod 1:
=9
⇔
=
⇔
=
⇔
= −9
⇔
=9
⇔
=3
⇔
= 3 cos
cos
+
3
+
4
=∓
+ sin
3
+
4
,
sin
och
√
= 0, 1
+
=±
√
Multiplikationen med absolutbeloppet 3 ger real- och imaginärdelar:
Svar:
=−
√
+
√
eller
Sida 107
=
√
−
√
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Lösningar:
Metod 2:
=9
⇔
=
⇔
=
⇔
= −9
=
Substitutionen
( +
+
ger förenklad hantering:
) = −9
⇔
+2
−
= −9
Studie av realdel respektive imaginärdel ger följande ekvationssystem:
2
−
=0
= −9
Absolutbeloppen av VL och HL ovan ger en tredje nödvändig ekvation:
|( +
⇔
) | = |−9 |
+
=9
−
=0
2 = −9
+
=9
Addition av ekvation 1 och 3 ger:
2
=9
⇔
=±
9
3
=±
2
√2
Insättning i ekvation 2 ger:
∓
3
√2
+
Svar:
=±
3
√2
∓
3
√2
=−
√
+
√
eller
Sida 108
=
√
−
√
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
3.8.1.2
Exempeluppgift
+ (6 + 4 ) − 20 + 12 = 0
Lös ekvationen
Lösning:
+ (6 + 4 ) − 20 + 12 = 0
⇔ ( + 3 + 2 ) − (3 + 2 ) − 20 + 12 = 0
⇔ ( + 3 + 2 ) − 5 − 12 − 20 + 12 = 0
⇔ ( + 3 + 2 ) = 25
Som synes är högerledet rent reellt och vanlig kvadratrot tillämpas:
⇔ + 3 + 2 = ±5
⇔
= −3 − 2 ± 5
Rötterna kontrolleras genom insättning i den ursprungliga ekvationen…
Svar:
3.8.1.3
,
= −3 − 2 ± 5
Exempeluppgift
Lös ekvationen 4
=
Lösning:
4
=
⇔
=
⇔
= −8
⇔
=8
(
⇔
=2
⇔
= 2 cos
)
3
+
,
= 0, 1, 2
2
3
+ sin
3
+
2
3
Kända trigonometriska värden och för
Svar:
= 1 + √3 ,
= −2 eller
Sida 109
= 0, 1, 2 gäller att:
= 1 − √3 ,
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
3.8.1.4
Exempeluppgift
− (8 − 10 ) − 12 − 44 = 0
Lös ekvationen
Lösning:
− (8 − 10 ) − 12 − 44 = 0
− (4 − 5 )
⇔
+ 9 + 40 − 12 − 44 = 0
⇔( −4+5 ) −3−4 =0
Substitutionen − 4 + 5 =
( +
⇔
+
ger förenklad hantering:
) =3+4
+2
−
=3+4
Studie av realdel respektive imaginärdel ger följande ekvationssystem:
2
−
=3
= −8
Absolutbeloppen av VL och HL ovan ger en tredje nödvändig ekvation:
|( +
⇔
) | = |3 + 4 |
+
=5
−
=3
2 =4
+
=5
Addition av ekvation 1 och 3 ger:
2
=8
⇔
= ±2
Insättning i ekvation 2 ger:
±1
+
= ±2 ±
Återsubstitution ger:
− 4 + 5 = ±2 ±
Svar:
⇔
z=4−5 ±2±
= 6 − 4 eller
=2−6
Sida 110
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
3.9 Övningsuppgifter
1.
Ange två komplexa tal med samma absolutbelopp men olika argument.
Svar: Se lektionsgenomgång
2.
Vad händer med ett komplext tal vid multiplikation med i?
Svar: Se lektionsgenomgång
3.
Vad händer med ett komplext tal vid kvadrering?
Svar: Se lektionsgenomgång
4.
Vad händer med komplexa tal då de multipliceras med varandra?
Svar: Se lektionsgenomgång
5.
Vad händer med komplexa tal då de divideras med varandra?
Svar: Se lektionsgenomgång
6.
Ge exempel på användningsområde för de Moivres formel.
Svar: Se lektionsgenomgång
7.
Skriv två olika komplexa tal på rektangulär form och polär form. Multiplicera sedan
talen med varandra och kontrollera att svaret blir samma oavsett form.
Svar: Se lektionsgenomgång
8.
Vad vet man om rötterna till polynomekvationer med reella koefficienter?
Svar: Se lektionsgenomgång
9.
Markera i det komplexa talplanet:
a) Re
≥0
b) | | ≤
c) | − (2 + )| = 1
d) Re
e)
< Im
— (2 + ) = | − |
Svar: Se lektionsgenomgång
10.
Lös ekvationen
+9 = 0
Svar:
11.
Lös ekvationen
= ±3
− 6 + 25 = 0
Svar:
Sida 111
=3±4
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
12.
Lös ekvationen
+ 13
+ 36 = 0
Svar: = ±3 eller = ±2
13.
Lös ekvationen
−2
+ 9 − 18 = 0
Svar:
14.
Lös ekvationen
rötter.
+2
+3
= 2,
Lös ekvationen
Lös ekvationen
Lös ekvationen
,
= −1 ±
,
= 1 ± eller
,
= −1 ±
=9
Svar:
17.
= ± eller
,
+4 = 0
Svar:
16.
= −3
+ 2 + 2 = 0 har en rot = . Bestäm resterande
Svar:
15.
= 3 , eller
=−
√
+
eller
√
=
√
−
√
+ (6 + 4 ) − 20 + 12 = 0
Svar:
,
= −3 − 2 ± 5
− (8 − 10 ) − 12 − 44 = 0
18.
Lös ekvationen
19.
Svar:
= 6 − 4 eller
Låt ( ) = − med
= ”alla komplexa tal i första kvadranten utanför
enhetscirkeln”. Bestäm .
=2−6
Svar: Utanför enhetscirkeln i kvadranterna 3 och 4
20.
Låt ( ) =
med
= ”alla komplexa tal i andra kvadranten innanför
enhetscirkeln, förutom origo”. Bestäm
.
Svar: Utanför enhetscirkeln i kvadranterna 1 och 2
21.
Låt ( ) = 2
med
= ”alla komplexa tal i första kvadranten utanför
enhetscirkeln”. Bestäm .
Svar: Utanför en cirkel med centrum i origo och radien 2, i kvadranterna 2, 3 och 4
22.
Konstruera en funktion med
= ”1:a kvadranten utanför enhetscirkeln” och
”2:a kvadranten innanför enhetscirkeln”.
=
Svar: T ex ( ) = −
23.
Konstruera en funktion med
= ”1:a kvadranten utanför enhetscirkeln” och
”2:a, 3:e och 4:e kvadranten utanför enhetscirkeln”.
Svar: T ex ( ) =
Sida 112
=
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
24.
Konstruera en funktion med
= ”2:a kvadranten utanför enhetscirkeln” och
”2:a och 3:e kvadranten innanför enhetscirkeln”.
=
Svar: T ex ( ) =
25.
Nämn ett tal med vilket man kan multiplicera ett komplext tal med för att det skall
”vridas 30° i positiv riktning” (öka dess argument 30°).
Svar: T ex med
26.
Vad händer med absolutbeloppet och argumentet hos ett komplext tal om det
multipliceras med talet
?
Svar: | | blir 5 ggr så stort
27.
= 5 och arg ökar 180° (3.14 … radianer = 180°)
Vad händer med absolutbeloppet och argumentet hos ett komplext tal z om det
multipliceras med talet
?
Svar: | | blir ca 7.4 ggr så stort (
28.
Enhetsrötter är rötter till ekvationer av typen
= 1 då ∈ ℕ och dessa rötter är
punkter (talpar) på enhetscirkeln i det komplexa talplanet. Nämn en ekvation som
bl.a. har enhetsroten = − och bestäm övriga enhetsrötter till denna ekvation.
Svar: T ex
29.
≈ 7.4) och arg ökar ca 172° (3 radianer ≈ 172°)
Bestäm
= 1 med de fjärde enhetsrötterna
då =
√
+
√
= 1,
= ,
= ,
= −1,
=−
.
Svar: −1
30.
Bestäm
då
= +
√
.
Svar: −
31.
Bestäm, med hjälp av Eulers formler, ett utryck för cos respektive sin då =
Svar: cos =
32.
Låt = 12
och
=4
. Bestäm
och sin =
respektive .
Svar:
33.
√
= 48 och
=
1 + √3
Ersätt
med motsvarande uttryck på polär trigonometrisk form, multiplicera
samman uttrycken, utnyttja sedan additions- och subtraktionsformler och visa att
uttrycket motsvarar ( ) .
Svar: Se lektionsgenomgång
Sida 113
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
34.
Ge exempel på för vilka likhet (=) respektive olikhet (<) råder enligt
Triangelolikheten | | + | | ≥ | + | .
Svar: Se lektionsgenomgång
35.
Markera i det komplexa talplanet:
a) | + 8| = 2| + 2|
Svar: En cirkel med = 4 och centrum i origo ty
+
= 16
b) 2| − 1 − 3 | = | − 4 − 3 |
Svar: En cirkel med = 2 och centrum i = 3 ty
+ ( − 3) = 4
c) | − 2 + 2 | = 3| − 2 − 6 |
Svar: En cirkel med = 3 och centrum i = 2 + 7 ty ( − 2) + ( − 7) = 9
Sida 114
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Matematisk Grundkurs för
högskoleingenjörer inom byggnadsteknik
4 Ytterligare uppgifter
Här följer ett antal kompletterande uppgifter vilka berör moment ur hela grundkursen.
Dessa uppgifter är lämpliga att lösa inför tentamen TEN1, om man anser sig behärska
kapitel 1–3 och vill öva på lite mer krävande uppgifter.
1.
Lös ekvationssystemet
+ + = 16
2 + − = 24
4 + 3 + = 56
= 8+2
= 8 − 3 (parameterform)
=
Svar: T ex
2.
Lös olikheten för
∈
= [0, ]
2 sin 3 ≥ 1
Svar:
3.
Lös olikheten för
∈
∈
=
,
∪
,
∪
,
= [0, 2 ]
2 cos 3 ≤ √3
Svar:
4.
∈
=
,
∪
,
Lös olikheten
|3 − | + 2| − 2| < 0
Svar: Saknar reella lösningar
5.
Låt ( ) vara den restriktion av ( ) = cot som har inversen
( ) i samma koordinatsystem.
Skissa ( ) och dess invers
( ) = arccot .
Svar: Se läroboken sid. 106 för ( ) = cot
6.
Låt ( ) = √36 − 4
. Bestäm funktionens
och
.
Svar:
Sida 115
= [−3, 3] och
= [0, 6]
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
7.
Låt ( ) = √2 sin − 1 . Bestäm funktionens
.
Svar:
8.
Lös olikheten
≥
+2.
Svar:
9.
∈
= ]−∞, −1] ∪ ]1, 2]
Lös ekvationen lg(−4 ) + lg(−25 ) = 4 .
Svar:
10.
= [0, 1]
= −10
Hitta på en ekvation som på ett smidigt sätt löses med De Moivres formel och lös
ekvationen.
Se anteckningarna
Sida 116
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Sida 117
Matematisk Grundkurs
LiU Norrköping 2009
Sida 118