Lösningsförslag till hemskrivningen 1 1. Efter omkastningen av

Lösningsförslag till hemskrivningen 1
1. Efter omkastningen av andra och tredje rader får systemet matris


1 1 1 1 4
2 3 4 5
.
14
a b c d a+b+c+d
Sedan tillämpar vi standarta radoperationer och återför systemet på trappstegsform


4
1 1
1
1
.
0 1
6
2
3
0 0 a + c − 2b 2a + d − 3b 3a + d + c − 5b
Hur löses systemet vidare beror på parametrar a, b, c och d. I enklaste fallet då a + c − 2b 6= 0 får man från
sista ekvationen
(3a + d + c − 5b) + (3b − 2a − d)u
x4 = u, x3 =
,
a + c − 2b
där u är en fri parameter, sedan andra ekvationen ger
x2 =
(4c − 2b − 2d) + (a − 3c + 2d)u
a + c − 2b
och äntligen den första ekvationen ger
(a − c − b + d) + (2c − b − d)u
.
a + c − 2b
x1 =
I fallet där a + c − 2b = 0 och 2a + d − 3b 6= 0, får vi från sista ekvationen
x3 = v,
x4 =
3a + d + c − 5b
,
2a + d − 3b
där v är fri parameter. Sedan
x2 =
(3a + 3d − 3c − 3b) + (6b − 2d − 4a)v
2a + d − 3b
och
x1 =
(2a − 4b + 2c) + (2a + d − 3b)v
.
2a + d − 3b
Äntligen i fallet där både a + c − 2b = 0 och 2a + d − 3b = 0 får vi sista ekvationen 0 = 0 och de två
första ekvationerna ger oss
x3 = v,
x4 = u,
x2 = 6 − 3u − 2v,
x1 = 2u + v − 2,
där u och v är fria parametrar.
2. Svar:
A−1

1
= 0
−1
−b/2
1/2
b/2

ab/2 + b/2 − d
.
−a/2 − 1/2
1 + d − ab/2 − b/2
1
3. Svar:
(3a + 3)(2c − b).
4. Matrisen saknar invers om dess determinant är 0. Det bästa sättet att räkna ut determinanten är
att använda sig av kofaktorutveklingen längs andra kolonnen. Vi får då
2x − 2c
1 + x − c 1 + 2x − 2d 2 + 3x − 3d det B = −(x − b − 1) −
(x
−
b
−
1)
2x − 2c 2 + 3x − 3d .
1 + 2x − 2c 2 + 4x − 4d Både mindre determinanter multipliceras med −(x − b − 1) och deras summa är
2x − 2c
2 + 3x − 3d 1 + x − c 1 + 2x − 2d +
1 + 2x − 2c 2 + 4x − 4d 2x − 2c 2 + 3x − 3d =
2x − 2c
2 + 3x − 3d 2x − 2c 2 + 3x − 3d −
1 + 2x − 2c 2 + 4x − 4d 1 + x + c 1 + 2x − 2d = summerar andra rader! =
2x − 2c 2 + 3x − 3d = (x − c) 2 2 + 3x − 3d = (x − c)(x − d).
1 1 + 2x − 2d x − c 1 + 2x − 2d Alltså
det B = −(x − b − 1)(x − c)(x − d).
Matrisen B saknar invers för x = b + 1, c, d.
5. Sökta planet skall gå genom punkten (a, b, c) och måste vara vinkelrät med vektorer
u = (b − a, c − b, d − c)
och
v = (d − a, a − b, b − c).
Om vi väljer normalvektor
n = (A, B, C) = u × v,
då planets ekvation blir
A(x − a) + B(x − b) + C(x − c) = 0.
Vi får
vilket ger oss
A = −(b − c)2 − (a − b)(d − c);
i
u × v = b − a
d − a
j
c−b
a−b
k d − c ,
b−c
B = −(b − a)(b − c) + (d − a)(d − c);
2
C = −(b − a)2 − (c − b)(d − a).