Einsteins postulat “räddade” inte bara paradoxen med

Einsteins postulat “räddade” inte bara paradoxen med
ljushastigheten. Den räddade faktiskt också
elektromagnetismen. För att undersöka hur, återger jag
Lorentzkraften.
1
B
Hastigheten är till höger, magnetfältet pekar rak ner, och kraften pekar in mot
pappret. En bild som fokuserar på det väsentliga, där vi bara har ritat magnetfältet
och den närmare laddning är nedan
F
F
v
B
v
B rakt ner
Lorentzkraften,
denär
kraft
som ett magnetfält ger till en laddning som har en rikLorentzkraften
F=qvB
beroende
tning enligt följande konstruktion. Höger hands fyra fingrar pekar i riktningen
av hastigheten.
Om vi nu förflyttar oss tillsammans med
av laddningens hastighet. Man för fingrarna sedan mot magnetfältets riktning.
laddningen,
blir
laddningens
hastighet
relativt
Därför
Tummen
pekar
i kraftens riktning.
Ochnoll
det visar
sig attoss.
kraftens
storhet är qvB/c
borde nu
försvinna,
medan
därLorentzkraften
c är ljushastigheten!
(vi återkommer
till detta.)
kraften mot den andra ledaren ändå kvarstår.
2
Vi gör nu ett tankeexperiment. Vi har en fyrkantig ledare, vars ena ända är
Einsteins teori förklarar detta genom ett elegant
resonemang som visar att relativiteten verkligen
är en del av vår vardag.
3
V
+
+
+ Plusladdning
+
+
+
V
+
+
Minusladdning
B
I labsystemet rör sig minusladdningen till höger, medan
plusladdningen står stilla. Avståndet mellan plus-plus och
minus-minus är detsamma då det inte finns något elektriskt
fält.
Magnetfältet påverkar en röd laddning som rör sig till höger
så att (Lorentz)kraften pekar mot den andra ledaren.
4
V
Plusladdning
E
Minusladdning
Låt oss nu röra oss med den röda laddningens hastighet.
Avståndet mellan de gröna laddningarna har nu krympt
enligt Lorentz kontraktion och avståndet mellan de röda har
ökat. Det blir nu en nettominusladdning i ledaren. Vi har
samma kraft, men den tolkas nu som ett elektriskt fält
istället för ett magnetiskt!
5
En konsekvens av detta argument är vad som tolkas som
elektriska och magnetiska fält beror på den relativa rörelsen.
Men den mätbara kraften blir densamma.
Detta förklarar en tidigare matematisk och otolkad
“invarians” hos Maxwellekvationerna som upptäcktes av
Lorentz, som formellt skrev ner de s.k. “Lorentztransformationerna” mellan E och B samt tid och rum.
Tvärtemot vad Einstein gjorde, tog han aldrig det viktiga
steget att ge sina ekvationer den korrekta fysikaliska
tolkningen.
6
Det märkliga är att 1905 gjorde Einstein sina stora upptäckter
med hjälp av anspråkslösa matematiska resonemang.
Einsteins styrka var att tränga igenom de motsägelsefulla
experimenten och teorierna och genomskåda enkelheten som
dolde sig bakom dem.
“Man ska förenkla saker så mycket det går, men inte
mera.”
Den allmänna relativitetsteorin som lades fram 1915 var
någonting helt annat. Det var en matematisk såväl som fysikalisk
bragd. Den innebar för honom att behärska många matematiska
redskap som andra fysiker vid den tiden inte hade någon aning
om.
7
Några intressanta fakta om Einstein ... han var
inte vidare duktig i skolan. Han var uttråkad och ansågs lat
och uppkäftig av lärarna. Han kom först inte in på ETH i
Zurich 1895, kom sedan in till slut men var ingen större
akademisk succé. Han fick ingen akademisk tjänst, och
började på patentverket i Bern. (1902-1909)
8
9
10
11
Einstein 1905: “A storm broke loose in my mind”
Ljuskvantum postuleras
12
Brownisk rörelse
13
Speciella relativitetsteorin
14
E = m c2
15
Allmäna
relativitetsteorin
av tröghet och massa
• Repetition
• Ekvivalensprincipen
16
Galileo och Newton insåg att det fanns principiell
skillnad mellan tröghet och vikt, något som vi nu
repeterar.
17
Newton diskuterar skillnaden mellan
vikt och tröghet (massa)
Fg = Mg g
Gravitationskraften är
proportionell till vikten
F = Ma
Kraften för att åstadkomma en
given acceleration är
proportionell till trögheten
Om vi förflyttar oss är massan alltid
densamma, men vikten kan ändra sig.
18
trögheten M motsvarar 1000 g i alla dessa fall:
Tom
vikt Mg =
ekvatorn
1000 g
Kiruna
1003 g
månen
150g
vikten skiljer sig dock.
19
Vi analyserar Galileos “Pisaexperiment” (som
antagligen är en skröna) vilket visar den
principiella skillnaden mellan tröghet och vikt.
20
F = Mg g
Gravitationskraften är
proportionell mot vikten
F = Ma
Kraften för att åstadkomma en
given acceleration är
proportionell till trögheten
Fg
För en kropp som faller blir
Mg g = M a
21
Mg g = M a
Om inte gravitationsmassan och trögheten
var identiska skulle olika kroppar accelerera
olika fort i vårt gravitationsfält! Om dessa
mängder är lika får vi
a=g
för alla kroppar.
22
Detta förhållande har mätts med mycket stor
precision:
Senaste mätningarna (1999) visar
Mg
= 1 ± 10−13
M
Nu börjar Einstein grubbla på detta märkvärdiga universella
samband mellan gravitationsmassan och trögheten.
23
1907 formulerar Einstein ekvivalensprincipen.
Observationer i ett referenssystem med konstant
acceleration är identiska med observationer i ett
motsvarande gravitationsfält.
Ekvivalensen mellan tröghet och massa innefattas
av denna princip. Som med det tidigare postulatet, kommer det
mycket mer på köpet när man undersöker konsekvenserna.
24
25
26
Ekvivalensprincipen har som konsekvens att ljus måste böjas av
ett gravitationsfält, ett argument som vi nu återger.
Vi antar att ingen gravitation finns. En raket startar vertikalt
samtidigt som en kula skjuts horisontellt enligt följande
diagram
27
Ingen gravitation förekommer i dessa bilder!
En kula kastas in från vänster
medan raketen accelererar
28
Halvvägs till höger har den också
börjat “falla” inuti raketen trots att
vi ser kulan röra sig åt höger.
29
Till slut når den andra sidan mot
botten av raketen.
30
Men inuti raketen väcks frågan: “Faller” kulan på grund av
gravitation medan raketen i verkligheten står stilla på jorden,
eller är det raketen som accelererar?
Inuti raketen ser det ut som om
kulan har “fallit” trots att för en
utomstående har den enbart rört sig
i en rät linje.
31
Ingen gravitation förekommer i dessa bilder.
En kula skjuts horisontellt när raketen startar
I det stilla referensystemet rör sig kulan rakt höger
En kula skjuts horisontellt när raketen startar
I det stilla referensystemet rör sig kulan rakt höger
En kula skjuts från vänster
till höger precis när en raket
startar uppåt.
I raketen "faller"
den
Inuti raketen ser
den ut att “falla”
32
I raketen "faller"
den
Enligt Einsteins ekvivalensprincip finns inget experiment som
man kan göra inuti raketen som kan ge svar på denna fråga.
Argumentet gäller även en ljusstråle. Alltså måste ljuset böjas
av ett gravitationsfält.
33
Konsekvens I. Einsteins förutsägelse betydde att ljus måste
böjas av ett gravitationsfält, och 1919 kunde man mäta just
denna krökning vid en total solförmörkelse.
34
35
1/2000 grad
Experimentet bekräftades under stor dramatik 1919.
36
The collection of galaxies in the middle of the picture represents such a
bending of spacetime that images of galaxies behind the collection are
multiplied. These multiple images of the same extremely distant galaxy are
shown encircling the central mass collection.
37
Merkurius bana var inte en perfekt ellips. Den avvek med
1/100 grad per år. Allmänna relativiviteten förklarade detta.
38
Nu måste ekvivalensprincipen i detalj förenas med speciella
relativiteten från förra föreläsningen. Vi noterar att någon
som snurrar inuti en rymdstation inte vet om han sitter på
ytan av en planet och i ett gravitationsfält eller är ute i
rymden.
39
Konsekvens II. En klocka i ett gravitationsfält tycks gå
långsammare när den observeras utifrån.
40
På den snurrande rymdstationen måste omkretsen krympa
enligt längdkontraktionen.
Alltså gäller ej längre förhållandet att omkretsen är 2 pi gånger
radien.
Konsekvens III. Rymden måste alltså krökas för
att kunna få ett annat förhållande!
41
Hur kan vi tänka på en yta där omkretsen inte alltid växer
proportionellt till radien.
Tänk dig en myra som kryper omkring i en skål. Hon mäter
radien från centrum genom att lägga ett måttband längs
insidan av skålen från mitten.
Omkretsen blir nu mindre än
2πr
omkrets
Måttband
42
Vi kan nu tänka oss att gravitationen kröker ljuset
på motsvarande sätt. Ljuset definierar räta linjer i
tid och rum. Genom att fortsätta på detta spår med kroppar som
rör sig, kan Einstein visa att denna geometriska tolkning ger
direkt gravitiationslagarna och ekvivalensprincipen.
Raka linjer blir krokiga i ett krökt rum.
43
Vår egna rörelser ser lokalt ut som raka, men
blir krökta.
44
Analogin som vi är mer bekanta med är varför vi flyger
över Grönland från London till Los Angeles. På en
karta ser det ut att vara en krökt linje.
45
46
47
1915 framlades Einsteins allmänna relativitetsteori efter
10 år av intensivt arbete som enligt honom själv höll på att
knäcka hans hälsa.
48
I motsats till tidigare genombrott som han gjorde, innebar dessa
beräkningar en enorm matematisk utmaning, där han fick lära
sig differentialgeometri. Ingen annan fysiker vid denna tid
behärskade detta.
49
Sidan 132 ur en någorlunda modern bok om allmänna
relativitetsteorin. Den är mycket mer matematiskt
komplicerad än någon annan tidigare teori.
Einsteins “ekvationer”
Gµν = 8πTµν
Gµν = Rµν
1
− gµν R
2
50
The Einstein and the Eddington
A Parody of "The Walrus and the Carpenter"
by Professor W.H.Williams,
recited at a faculty club dinner.
The Einstein and the Eddington
Were Counting up their score;
The Einstein's card showed ninety-eight
And Eddington's was more,
And both lay bunkered in the trap
And both stood up and swore.
I hate to see, the Einstein said,
Such quantities of sand,
Just why they placed a bunker here
I cannot understand;
If one could smooth this landscape out,
I think it would be grand.
If seven maids with seven mops
Would sweep the fairway clean
I'm sure that I could make this hole
In less than seventeen.
I doubt it, said Eddington,
Your slice is pretty mean.
...
The time has come, said Eddington,
To talk of many things;
Of cubes and clocks and meter-sticks,
And why a pendulum swings,
And how far space is out of plumb,
And whether time has wings.
The shortest line, Einstein replied,
Is not the one that's straight;
It curves around upon itself,
Much like a figure eight,
And if you go too rapidly
You will arrive too late.
I learned at school the apple's fall
To gravity was due,
But now you tell me that the cause
Is merely G mu nu.
I cannot bring myself to think
That this is really true.
...
And space, it has dimensions four,
Instead of only three.
The square of the hypotenuse
Ain't what it used to be.
It grieves me sore, the things you've done
To plane geometry.
But Easter Day is Christmas time
And far away is near,
And two and two is more than four
And over there is here.
You may be right, said Eddington,
It seems a trifle queer.
But thank you very, very much,
For troubling to explain;
I hope you will forgive my tears,
My head begins to pain;
I feel the symptoms coming on
Of softening of the brain.
You hold that time is badly warped,
That even light is bent;
I think I get the idea there,
If this is what you meant;
The mail the postman brings today,
Tomorrow will be sent.
...
51
Det sades att det endast fanns tre som förstod sig på allmänna
relativitetsteorin.
Arthur Eddington asked if it was true that only three understood
relativity, the witty British astrophysicist paused, then said, "I
am trying to think who the third person is."
52
Eddington tog snart upp allmänna relativiteten och
blev snart expert. Han upptäckte möjligheten att ett
svart hål skulle kunna förekomma.
Eftersom materia hopar sig, kan det uppstå samlingar
med hög densitet
Solen 1 gm/cc
Jorden - 5.4 gm/cc
Vita dvärgar - 1 ton/cc
Neutronstjärnor 100 miljoner ton/cc
53
De sista millisekunderna då två neutronstjärnor
kolliderar.
54
I en neutronstjärna packas atomkärnorna tätt. När dessa
inte kan hålla trycket mot gravitationen, kollapsar även detta
och ett svart hål uppstår.
Innanför “Schwartschild-radien” (c.a. 3 km) kan inget
ljus komma ut, och allting som kommer innanför denna radie
slukas av svarta hålet.
55
56
Svarta hål
57
58
59
Gravitationsvågor
The violent deaths of large stars (supernovas) and the collisions of
extremely dense stars such as neutron stars with each other can
cause spacetime disturbances to happen and to spread out in a
wavelike manner. These waves are called gravity waves or
gravitational radiation. Within the next five years gravitational
radiation should be seen for the first time.
60
General relativity has been observationally confirmed in a variety of ways:
• Measurements of the precession of Mercury's perihelion (1915).
• Observed deflection of starlight from stars near the edge of the Sun during a solar
eclipse (1919).
• Measured red shifting of light (stretching of light waves) from white dwarf stars
(1924).
• Measured red shifting of gamma rays in the Earth's gravitational field (1960).
• Measured time delay of radar signals bounced off Venus and Mercury (1968).
• Measured time delay of radio signals from space probes passing other planets
(1970).
• Measurements of the precession of asteroid Icarus's perihelion (1971).
• Measured time dilation due to the Earth's gravity, by comparing atomic clocks on
Earth and in space (1976).
• Observed gravitational lensing or focusing of distant star light by massive objects
between us and the star (1980).
• Observed inspiral and orbital precession of binary neutron stars, in accordance with
predicted loss of energy due to radiation of gravitational waves (1982).
Idag använder dessutom GPS-navigering allmänna relativiteten
för att få en noggrann position.
61