Formelsamling i
Hållfasthetslära för F
Avd. för Hållfasthetslära
Lunds Universitet
Oktober 2016
1
Spänningar
τ
Normalspänning: σ = spänningskomponent vinkelrät mot snittyta
σ
Skjuvspänning:
τ = spänningskomponent tangentiellt till snittyta
zz
Spänningstillstånd i ett plan, vinkelrätt mot en huvudspänning
σyy
τyx
)
τ (ϕ
τxy
y
σxx
ϕ
σxx σxx
τxy
τxy
τyx
x
z
ϕ)
σ(
ϕ
π
–ϕ
2
τyx
σyy
σyy
σϕ = σx cos2 ϕ + σy sin2 ϕ + 2τxy sin ϕ cos ϕ
σy − σx
τϕ =
sin 2ϕ + τxy cos 2ϕ
2
Huvudspänningar och huvudspänningsriktningar
σ2
σ1
α2
α1
σ1
σ2
)
σx + σy
=
±
2
σ1 − σx
τxy
σ2 − σx
tan α2 =
τxy
tan α1 =
y
σ1
σ2
x
σ1 + σ2 = σx + σy
s
σx − σy
2
2
2
+ τxy
2
Maximala skjuvspänningen i planet är
σ1 − σ2
(τmax )planet =
2
Maximala skjuvspänningen är
|σ1 − σ2 | |σ1 | |σ2 |
τmax = max
;
;
;
2
2
2
Töjningar
L − Lo
Lo
där Lo =ursprunglig längd, L=ny längd
Normaltöjning: ε = relativ ländändring =
Skjuvtöjning:
γ = minskning av ursprunglig rät vinkel
(orsakad av deformation)
Deformationstillståndet i ett plan, vinkelrätt mot en
huvudspänningsriktning
η
y
ξ
ϕ
x
εξ = εx cos2 ϕ + εy sin2 ϕ + γxy sin ϕ cos ϕ
γξη = (εy − εx ) sin 2ϕ + γxy cos 2ϕ
där
εx
är töjningen av ett linjeelement i x-riktningen
εy
är töjningen av ett linjeelement i y-riktningen
εξ
är töjningen av ett linjeelement i ξ-riktningen
γxy är skjuvningen av axelkorset xy, dvs. minskningen av den
räta vinkeln mellan x- och y-riktningen
γξη är skjuvningen av axelkorset ξη, dvs. minskningen av den
räta vinkeln mellan ξ- och η-riktningen
3
Huvudtöjningar och huvudtöjningsriktningar
y
ε1
ε2
ε2
ε1
α2
)
εx + εy
=
±
2
s
εx − εy
2
2(ε1 − εx )
γxy
2(ε2 − εx )
tan α2 =
γxy
2
+
γ 2
xy
2
tan α1 =
α1
x
ε1 + ε2 = εx + εy
Maximala skjuvningen i planet är
(γmax )planet = ε1 − ε2
Samband mellan spänningar och töjningar
Enaxlig belastning
A, E
F
F
F
A
σx
εx =
E
σx =
σy = σz = τxy = τyz = τzx = 0
εy = εz = −νεx ;
γxy = γyz = γzx = 0
Vridning
För en roterande axel gäller
Mv =
P
ω
där Mv är vridmomentet i en axel som överför effekten P vid vinkelhastigheten ω
För maximal vridskjuvspänning τvmax gäller
τvmax =
Mv
Wv
Wv är vridmotståndet (se tabell)
4
För förvridningsvinkel ϕ mellan axelns ändytor gäller
ϕ=
Mv L
GK
L är axellängden
K är vridstyvhetens tvärsnittsfaktor (se tabell)
Tvärsnitt
Tunnväggigt cirkulärt
slutet tvärsnitt med
konstant väggtjocklek
Wv
K
πd2 t
2
πd3 t
4
di dy
π(d4y − d4i )
16dy
π(d4y − d4i )
32
d
πd3
16
πd4
32
t
d
Tjockväggigt cirkulärt
slutet tvärsnitt
Massivt cirkulärt
tvärsnitt
Balkböjning
Positiva definitioner på belastningsintensitet, tvärkraft och böjande moment.
z
q
z
z
w
x
y
y
x
y
T
x
För balkens totala belastning Q, positiv riktad uppåt, gäller
Z L
qdx
Q=
0
Jämviktsdifferentialekvationerna för balken ges av
dT
= −q
dx
dMb
=T
dx
Mb
5
Böjspänningar (ingen normalkraft)
Koordinatsystemet ligger sådant att x-axeln går genom tvärsnittets tyngd-
e
σ
medellinje
z
z
Mb
y
ρ
neutralplane
x
tp
böjningsaxel
punkt.
z
ρ
Mb
z
σ=
Iy
σ=E
ρ är neutralplanets krökningsradie.
Iy är yttröghetsmomentet kring y-axeln.
För maximal böjspänning σb i ett snitt gäller
σb =
|Mb |
Wb
Wb är böjmotståndet
För Wb gäller
Wb =
Iy
e
e = |zmax | är största avståndet från neutralplanet till yttersta fibern
6
Tvärsnitt
Iy
Wb
y
πd3 t
8
πd2 t
4
y
πd4
64
πd3
32
bh3
12
bh2
6
z
Tunnväggigt cirkulärt
slutet tvärsnitt med
konstant väggtjocklek
t
d
z
Massivt cirkulärt
tvärsnitt
d
z
Massivt rektangulärt
tvärsnitt
y
h
b
Allmänt om yttröghetsmoment
y
Yttröghetsmomentet kring x-axel
Ix =
x
tp
Yttröghetsmomentet kring y-axel
Iy =
Deviationsmomentet kring axelkorset xy Dxy
Z
y 2 dA
Z
x2 dA
Z
= xydA
Steiners sats
y
a
tp
För yttrögetsmomentet Ix1 kring en axel parallel med
en axel genom tyngdpunkten gäller
x
x1
Ix1 = Ix + a2 A A är tvärsnittsarean
a är avståndet mellan axlarna.
7
För tröghetsradien i gäller
r
I
i=
A
Elastiska linjen
För neutralplanets krökningsradie gäller
1
Mb
=
ρ
EI
Mb
Mb
ρ
där I är tvärsnittytans tröghetsmoment kring böjningsaxeln.
Elastiska linjens differentialekvation är
EI
d2 w
= −Mb
dx2
Sammansatt belastning
z
=
+
x
N
N
Mb
Mb
z
=
+
x
σx =
N
A
σx =
Mb
z
I
σx =
Mb
N
+
z
A
I
Balk utsatt för böjande moment och normalkraft
σx =
N
Mb
z+
Iy
A
8
Elementarfall för fritt upplagd balk
1.1
P
αL
βP
θA
1.2
M/L
θA
1.3
αP
ξL
δ(ξ)
αL
θB
M
θ(α)
M/L
θB
Q
1
Q
2
θA
ξL
δ(ξ)
ML
ML
(1 − 3β 2 )
θB =
(1 − 3α2 )
6EI
6EI
M L2
[(1 − 3β 2 )ξ − ξ 3 ] för ξ ≤ α
δ(ξ) =
6EI
ML
M L2
αβ(α − β)
θ(α) =
(1 − 3αβ)
δ(α) =
3EI
3EI
θA =
βL
δ(ξ)
ξL
P L2
P L2
αβ(1 + β)
θB =
αβ(1 + α)
6EI
6EI
3
PL
β[(1 − β 2 )ξ − ξ 3 ] för ξ ≤ α
δ(ξ) =
6EI
P L3 2 2
δ(α) =
α β
3EI
θA =
βL
θA = θB =
1
Q
2
θB
QL2
24EI
QL3
(ξ − 2ξ 3 + ξ 4 )
24EI
5QL3
δ( 12 ) =
384EI
δ(ξ) =
1.4
Q
8QL2
7QL2
θB =
180EI
180EI
QL3
δ(ξ) =
(7ξ − 10ξ 3 + 3ξ 5 )
180EI
θA =
1
Q
3
θA
ξL
δ(ξ)
2
Q
3
θB
1.5
RB
MA
MB
RA
θA
δ(ξ)
ξL
θB
MA − MB
L
MA L
MB L
MA L
MB L
θA =
+
θB =
+
3EI
6EI
6EI
3EI
L2
2
3
δ(ξ) =
[MA (2ξ − 3ξ + ξ ) + MB (ξ − ξ 3 )]
6EI
RA = RB =
9
Elementarfall för konsolbalk
2.1
P
αL
βL
ξL
δ(ξ)
θ(ξ)
2.2
M
αL
ξL
δ(ξ)
θ(ξ)
2.3
βL
(
2β(1 − ξ − 12 β)]
M L2
·
δ(ξ) =
2EI
[(ξ − α)2 − 2β(ξ − α) + β 2 ]
(
β
ξ≤α
ML
θ(ξ) =
·
EI
(1 − ξ) ξ > α
Q
δ(ξ) =
QL3 4
(ξ − 4ξ + 3)
24EI
θ(ξ) =
QL2
(1 − ξ 3 )
6EI
δ(ξ) =
QL3 5
(ξ − 5ξ + 4)
60EI
θ(ξ) =
QL2
(1 − ξ 4 )
12EI
δ(ξ) =
QL3
(−ξ 5 + 5ξ 4 − 15ξ + 11)
60EI
θ(ξ) =
QL2 4
(ξ − 4ξ 3 + 3)
12EI
ξL
δ(ξ)
(
[−β 3 + 3β 2 (1 − ξ)]
[(ξ − α)3 − 3β 2 (ξ − α) + 2β 3 ]
(
β2
ξ≤α
P L2
θ(ξ) =
·
2
2
2EI
[β − (ξ − α) ] ξ > α
P L3
·
δ(ξ) =
6EI
θ(ξ)
2.4
Q
ξL
δ(ξ)
θ(ξ)
2.5
Q
ξL
δ(ξ)
θ(ξ)
ξ≤α
ξ>α
ξ≤α
ξ>α
10
Materialtabeller
Material
E[kN/mm2 ] ν [−] ρ[kg/m3 ]
stål
2101
0.3
7800
höglegerat
206
0.3
7880
rostfritt
220
0.3
7710
aluminium
70
0.34
2700
duraluminium
72
0.32
2800
koppar
120
0.35
8900
volfram
360
0.17
19300
magnesium
45
0.33
1730
Stålkvalitéer E[kN/mm2] ν [−]
SS1550-01
205
0.3
SS2090-04
206
0.3
SS2172-00
205
0.3
SS2331-43
206
0.3
1
2 σ [N/mm2 ]
s
260
1300
310
980
Elasticitetsmodulen för stål varierar mellan 180 och 240 kN/mm2 .
2 Variationer
beroende på materialets volym förekommer.
