Isotrop elasticitet
1
σzz
z
σ xx σ y y
x
y
σy y
σ xx
σzz
Figur 1: Kub med sidor parallella med koordinat planen.
0.1
Isotrop elasticitet
Låt oss nu använda superpositionprincipen för att härleda Hookes generaliserad lag för ett isotropt material (dvs ett material med samma egenskaper
i alla riktningar). För enaxligt spänningstillstånd har vi
(1)
σ = Eε
där E som tidigare nämnts är elasticitetsmodulen. Dessutom har vi, att den
transversella töjningen εtr är relaterad till den axiella töjningen εax genom
(2)
εtr = −νεax
där ν = Poissons tal eller tvärkontraktionskoefficienten.
Betrakta först ett belastningsfall där den enaxliga spänningen σxx belastar
kuben illustrerad i figur 1. Med (1) och (2) får vi
εxx =
σxx
E
εyy = −ν
σxx
E
εzz = −ν
σxx
E
(3)
Betrakta sedan en belastning som enbart består av den enaxliga spänningen
σyy . Detta resulterar i
εxx = −ν
σyy
E
εyy =
σyy
E
εzz = −ν
σyy
E
(4)
Slutligen, betrakta en belastning som enbart består av den enaxliga spänningen σzz . Detta ger
εxx = −ν
σzz
E
εyy = −ν
σzz
E
εzz =
σzz
E
(5)
Nu betraktas effekten av den kombinerade belastningen av spänningarna σxx ,
σyy och σzz , dvs responsen fås genom addition av (3), (4) och (5). Resultatet
2
blir
σyy
σxx
σzz
−ν
−ν
E
E
E
σyy
σzz
σxx
+
−ν
= −ν
E
E
E
σyy
σxx
σzz
= −ν
−ν
+
E
E
E
εxx =
εyy
εzz
(6)
I Ljung et al. [2007] diskuteras Hookes lag för skjuvning på formen τ = Gγ,
där G är skjuvmodulen. Detta leder till
τxy
G
τyz
=
G
τzx
=
G
γxy =
γyz
γzx
(7)
Ekvationerna (6) och (7) uttrycker Hookes generaliserad lag för ett isotropt
material. Skrivna i matrisformat blir ε = Cσ då
1
εxx
E
εyy − ν
E
ε − ν
zz E
=
γxy 0
γyz 0
0
γzx
− Eν
1
E
− Eν
0
0
0
− Eν
− Eν
0
0
0
0
0
0
1
G
1
E
0
0
0
0
0
0
1
G
0
σxx
0
σyy
0
0
σzz
0 τxy
0 τyz
1
τzx
G
(8)
Uppenbarligen existerar tre material parametrar i ovanstående matris: E, ν
och G, men vi har tidigare nämnt i Ljung et al. [2007] att G ges av
G=
E
2(1 + ν)
(9)
dvs i ett isotropt material existerar bara två oberoende materialparametrar.
Vi ska snart bevisa ekvation (9).
Om koordinatsystemet väljs så att τxy = τyz = τzx = 0, dvs att koordinatsystemet väljs parallellt med huvudspänningsriktningarna, visar (8) då att
γxy = γyz = γzx = 0, dvs att vi bara har normaltöjningar. Följaktligen
I ett elastiskt isotropt material sammanfaller
huvudspänningsriktningarna med huvudtöjningsriktningar
(10)
Isotrop elasticitet
3
Samband mellan G, E och ν
Vi ska nu bevisa sambandet (9). Betrakta ett spänningstillstånd där τxy 6= 0
och alla andra komponenter är noll, se figur 2. Enligt (8) ger detta
γxy =
τxy
G
(11)
och alla andra töjningskomponenter är noll. Mohrs spänningscirkel och Mohrs töjningscirkel är då illustrerade i figur 3.
Det följer från figur 3a) att
σ1 = τxy
2ψ1 = 90◦
σ2 = −τxy
där ψ1 är vinkeln till den största huvudspänningsriktningen. På samma sätt
ger figur 3b)
γxy
γxy
ε2 = −
2χ1 = 90◦
ε1 =
2
2
där χ1 är vinkeln till den största huvudtöjningsriktningen. I överensstämmelse med (10) gäller ψ1 = χ1 och i vårt speciella fall har vi ψ1 = χ1 = 45◦ .
Låt oss nu rotera koordinatsystemet 45◦ kring z-axeln, se figur 2, så att det
nya koordinatsystemet x′ , y ′ , z fås (z = z ′ ). I detta nya koordinatsystemet
y
y
x′
′
τyx
τxy
τxy
45◦
z=z
′
τyx
x
Figur 2: Spänningstillstånd där τxy 6= 0 och alla andra spänningskomponenter är
noll.
τ
a)
b)
(0, τxy )
2ψ1
(σ2 , 0)
(0, −τxy )
(σ1 , 0)
γ/2
(0, 21 γxy )
2χ1
σ
(ε1 , 0)
(ε2 , 0)
(0, − 21 γxy )
Figur 3: a) Mohrs spänningscirkel och b) Mohrs töjningscirkel.
ε
4
har vi då
σy′ y′ = σ2 = −τxy
σx′ x′ = σ1 = τxy
εx′ x′ = ε1 =
1
2 γxy
εy′ y′ = ε2 = − 12 γxy
(12)
och vi har att σzz = εzz = 0. I detta koordinatsystem ger (6)
σy′ y′
σx′ x′
−ν
E
E
σy′ y′
σx′ x′
+
= −ν
E
E
εx′ x′ =
εy′ y′
och vid insättning av (12) fås
1
2 γxy
− 21 γxy
τxy
τxy
+ν
E
E
τxy
τxy
= −ν
−
E
E
=
Dessa två ekvationer visar sig vara identiska och kan skrivas som
γxy =
2(1 + ν)
τxy
E
och en jämförelse med (11) visar att
G=
som redan fastställt i (9).
E
2(1 + ν)
(13)
Litteraturförteckning
C. Ljung, N. S. Ottosen, and M. Ristinmaa. Introduktion till Hållfasthetslära.
Enaxliga tillstånd. Studentlitteratur, Lund, 2007.
