Kombinatorik

Kombinatorik
Teori ▪ Multiplikationsprincipen………………………………..2
Teori ▪ Permutationer………………………………………………3
Teori ▪ Kombinationer……………………………………………...5
Modell ▪ Dragning utan återläggning & sannolikheter…8
Teori ▪ Duvslageprincipen………………………………………11
Teori ▪ Pascals triangel & Mosertal……………………..….13
Facit…………………………………………………………………….16
Bilder: Akvareller gjorda av Ramon Cavallers, övriga diagram och foton av Nils-Göran
© Författarna och Bokförlaget Borken, 2011
Kombinatorik - 1
Teori ▪ Multiplikationsprincipen
Om du vill ha både en grönsaksrätt och en potatisrätt på Blaise Bistro så
kan var och en av fem grönsaksrätter kombineras med en av fyra potatisrätter. Alltså blir det totala antalet val 5 ⋅ 4 = 20.
Om man skall göra två val där det första kan utföras på n 1 olika sätt
och det andra på n 2 olika sätt (efter det att det första utförts) så har
man totalt n 1 ∙n 2 valmöjligheter. Om det finns ytterligare val
n 1 ∙n 2 ∙n 3 …..n k så har man totalt n 1 ∙n 2 ∙n 3 ∙…..∙n k valmöjligheter
G1.1
Du har tänkt köpa en ny bil och kan välja mellan tre modeller
av en Volvo samt fyra olika färger. Hur många valmöjligheter
har du totalt?
G1.2
Du vill ha både en grönsaksrätt , en potatisrätt och dessert på
Blaise Bistro. Det finns tre sorters desserter. På hur många olika
sätt kan du beställa en måltid?
G1.3
Registreringsskyltarna i Sverige har tre bokstäver och tre siffror.
Antag vidare att man bara använder sig av 25 bokstäver. Hur
många skyltar finns det om a) alla tecken får upp upprepas,
b) varje tecken bara får användas en gång?
G1.4
Adrian har 6 par strumpor, 2 par långbyxor och 3 T-shirts. På
hur många olika sätt kan han klä sig i dessa plagg?
G1.5
Ett hexadecimalt tal kan skrivas med ”siffrorna”: 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. På hur många sätt kan ett sådant
tal skrivas med 3 ”siffror” eller färre?
G1.6
Henri tippar en stryktipsrad på måfå. På hur många olika sätt
kan han tippa en rad?
G1.7
Morsealfabetet består av två olika signaler, en kort och en lång.
Dessa sätts samman till en signalföljd som får vara högst fem
signaler lång. Hur många morsesignaler kan man åstadkomma?
Kombinatorik - 2
G1.8
Vilken är sannolikheten för att man får tre hjärter om man drar
tre kort ur en kortlek och efter varje dragning lägger tillbaks
g
kortet? (I modulen Sannolikhetslära ges formeln P = )
m
Teori ▪ Permutationer
Exempel 1 Bostadsrättsföreningen Ekorren skall välja en styrelse
bestående av ordförande, vice ordförande, sekreterare och ytterligare en
ledamot. Av föreningens 9 medlemmar kan alla tänka sig att ingå i
styrelsen. På hur många olika sätt kan styrelsen sättas samman?
Lösning Ordförande kan väljas på 9 olika sätt, därefter kan vice
ordförande väljas på 8 olika sätt, sekreteraren på 7 olika sätt och till slut
den siste ledamoten på 6 olika sätt. Enligt multiplikationsprincipen kan
styrelsen väljas på 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3024 olika sätt.
Exempel 2 Samma bostadsrättsföreningen skall året därpå välja en ny
styrelse och nu kan endast 4 av föreningens medlemmar tänka sig att
ingå i styrelsen. På hur många olika sätt kan styrelsen sättas samman?
Enligt den generaliserade multiplikationsprincipen kan styrelsen väljas
på 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 olika sätt.
Definition Om n är ett positivt heltal så definieras n! ( n-fakultet)
enligt n! = n(n-1)(n-2)·… ·2·1. Vi definierar vidare 0! =1
I det första exemplet kan vi skriva =
9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 9!
9!
= 9 ⋅8⋅ 7 ⋅ 6 =
= =
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
5! (9 − 4)!
Definition Antag att vi har n objekt.
(i) Varje ordnad uppräkning av alla n objekt kallas en permutation.
(ii) Varje ordnad uppräkning av k st av dessa n objekt kallas en
permutation av ordning k.
Antalet permutationer av ordning k (av våra n objekt) där 1 ≤ k ≤ n
n!
ges av funktionen P(n, k) =
(n - k)!
Kombinatorik - 3
Antag att a, b och c är tre objekt. Alltså är ab c , ac b , b ac , bca, c ab
och c b a de sex permutationerna P( 3 , 3 ) av ordning 3 och ab , ac ,
ba, b c , c a och c b de sex permutationerna P( 3 , 2 )av ordning 2 och
a, b och c de tre permutationerna P( 3 , 1 ) av ordning 1.
G1.9
Hur många ”ord” med olika bokstäver kan man bilda med
bokstäverna N, I, L och S?
G1.10 Beräkna P(7, 2).
G1.11 Hur många ”ord” kan man bilda genom att ta ut tre bland
bokstäverna N, I, L och S?
G1.12 En lärare skall testa sina elever på ordkunskap rörande 8 olika
ord. På hur många olika sätt kan han skriva dessa 8 ord i följd?
G1.13 En palindrom är ett ”ord” som ser likadant ut både framlänges
och baklänges som t ex ajabaja. Hur många palindromer med
sex bokstäver kan man bilda om ingen bokstav får användas
mer än två gånger?
G1.14 Visa att P(n, n) = P(n, n-1)
a)
b)
c)
På hur många sätt kan siffrorna 1, 2, 3, 4 och 5 permuteras?
Hur många av permutationerna i a) börjar med 3?
Hur många av permutationerna i a) börjar med 1 och slutar
med 5?
G1.15 I Elitserien skall varje lag spela mot varje annat lag två gånger.
Om serien omfattar 12 lag, hur många matcher har då spelats
då serien är färdig?
G1.16 På hur många sätt kan fem personer sitta runt ett bord? På hur
många sätt kan n personer sitta runt ett bord?
G1.17 Finn två heltalslösningar till ekvationen n! + 1 = x2.
G1.18 Antag att vi har siffrorna 1, 2, 4, 5 och 7 som bara får användas
en gång vardera.
a)
Hur många tresiffriga tal kan man bilda?
b)
Hur många tresiffriga jämna tal kan man bilda?
c)
Hur många tresiffriga udda tal kan man bilda?
Kombinatorik - 4
d)
Hur många tresiffriga tal som är delbara med 5 kan man bilda?
e)
Hur många tresiffriga tal som är delbara med 4 kan man bilda?
Fundera på detta!
Teori ▪ Kombinationer
På hur många olika sätt vi kan välja ut k objekt bland n objekt, där
1≤k ≤n?
Antag att vi har tre objekt a, b och c. Alltså är ab, ac, ba, bc, ca , cb de
3!
sex
permutationerna av ordning 2.
(3 − 2)!
Om den inbördes ordningen av bokstäverna i permutationen inte spelar
någon roll så är ab ekvivalent med ba, bc med cb samt ac med ca.
Permutationen av objekten a och b (eller b och c, eller a och c) är 2!
Alltså blir antalet sätt vi kan välja ut 2 objekt bland 3 objekt:
3!
3!
(3 − 2)!
eller
2!
(3 - 2)! ⋅ 2!
n
n
Detta värde tecknas   . (Hur beräknar du   med din miniräknare?)
k
k
Kombinatorik - 5
Vårt resonemang för objekten a, b och c gäller oberoende av antalet
element, n, och hur många vi väljer ut, k. För värdena n och k blir
n!
antalet
(n − k )!⋅ k !
Antalet sätt på vilket vi kan välja ut k objekt bland n objekt, där
n
n!
.
1 ≤ k ≤ n skrivs   (läses: n över k) och är lika med
(n - k)! ⋅ k!
k
G1.19 Ulla har tänkt ta med sig 3 böcker på sin semester. På hur
många olika sätt kan detta urval göras om hon har att välja
bland 10 olika böcker?
G1.20 Beräkna på hur många sätt man kan välja ut 4 objekt bland 10
om ordningen bland de 4 är oviktig.
G1.21 Låt oss åter betrakta vår bostadsrättsförening Ekorren som skall
välja en styrelse bestående av ordförande, vice ordförande,
sekreterare och ytterligare en ledamot. Av föreningens
medlemmar kan 9 medlemmar tänka sig att ingå i styrelse. På
hur många olika sätt kan styrelsen sättas samman om styrelsen
själva får fördela förtroendeposterna?
G1.22 I en bägare har vi fem olikfärgade kulor. På hur många olika
sätt kan man ta upp tre kulor ur bägaren?
G1.23 Ett personalmöte samlar 15 män och 10 kvinnor. En
festkommitté på 3 personer ses ut genom sluten omröstning.
Vilken är sannolikheten att den bara består av män?
G1.24 En matematikskrivning har 39 uppgifter och deluppgifter, som
maximalt ger 26 poäng för G och 13 poäng för VG. För att få
VG på skrivningen måste man ha 15 G-poäng och 7 VGpoäng. På hur många sätt kan man får precis det antal poäng
som behövs för VG?
G1.25 På ett plan befinner sig 6 punkter där inga tre punkter ligger på
en rät linje. Hur många trianglar kan du rita med hjälp av dessa
6 punkter?
Kombinatorik - 6
G1.26 Med hjälp av mängden A = {a, b, c} kan vi bilda mängden av
alla delmängder till A.
Dessa är {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, ∅ }.
De är alltså 23 = 8 stycken.
Visa att en godtycklig mängd på n element har 2n delmängder.
G1.27 Bilden nedan visar en oktav. Vi antar att en hand bara når över
en oktav. Ett ackord är en kombination av tre eller flera toner
som ljuder samtidigt. Vad är antalet unika ackord som kan
spelas med en hand (alla är kanske inte fysiskt möjliga att
utföra)?
G1.28 Bilden på första sidan i modulen Mängdlära visar hur mängden
{1, 2, 3, 4, 5} kan illustreras i 52 uppdelningar. Kan du teckna
svaret för mängden {1, 2, 3, 4}?
Kombinatorik - 7
Modell ▪ Dragning utan återläggning & sannolikheter
Exempel En urna innehåller tre svarta och fyra
vita kulor. Man tar på måfå och utan återläggning
tre kulor ur urnan. Beräkna sannolikheten för att
man får två svarta och en vit kula. Man kan plocka
7
3
ut tre kulor bland sju på   olika sätt (= n).
3
 2
Antalet sätt att plocka ut två svarta kulor bland tre är   . Antalet sätt
 4
1 
att plocka ut en vit kul bland fyra är   . Alltså är antalet sätt att
3   4
 2  1 
plocka ut två svarta och en vit   ⋅   . Sannolikheten för två svarta
 3  4 
  
g  2 1  12
och en vit är =
=
n
35
7
 
3
Låt oss definiera det n:te katalantalet som C n =
1  2n 
 
n +1  n 
De sju första katalantalen är C 0 , C 1 ,…..C 6 = 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132.
Kontrollera några av dessa beräknade katalantal.
Kombinatorik - 8
G1.29 Johan har fyra semesterveckor per år. På hur många olika sätt
kan han få sin semester? De behöver inte ligga i följd.
G1.30 Johan har fem semesterveckor per år. På hur många olika sätt
kan han få sin semester, om han måste välja två semesterveckor
under 12 sommarveckor?
G1.31 En urna innehåller två röda, tre blå kulor och två vita kulor.
Man tar på måfå två kulor ur urnan. Beräkna sannolikheten för
a) två röda kulor
b) två blå kulor
c) en röd och en blå kula
d) en röd och två vita.
G1.32 Jevgenij har tvättat strumpor och lagt sex par i en låda, av vilka
två par är röda, två par blå och två par gröna. Bortsett från
färgen är de tolv strumporna lika och väl blandade. Nästa
morgon, när det är mörkt ute och ljuset strejkar, tar han på
måfå två strumpor ur lådan. Beräkna sannolikheten för att han
får två strumpor av samma färg.
G1.33 Åtta personer i en bostadsrättsförening skall få varsin
parkeringsplats. De åtta platserna lottas ut bland dessa
personer. Beräkna sannolikheten för att ett gift par som har
varsin bil får två platser bredvid varandra.
Kombinatorik - 9
G1.34 Man drar två kort ur en kortlek. Bestäm sannolikheten för
a)
b)
c)
följande händelser:
man får två hjärter
man får en ruter och en spader
man får en kung och en dam.
G1.35 En person byter sina sommardäck mot vinterdäck och placerar
dem på måfå. Vad är sannolikheten för att däcken hamnar på
samma plats som föregående vinter?
G1.36 På hur många olika sätt kan man ta fem kort ur en kortlek,
a)
b)
c)
en s k pokerhand?
Vad är sannolikheten att få en Royal flush (ess, kung, dam,
knekt, tia i samma färg) när man tar fem kort?
Vad är sannolikheten att få en Straight flush , fem kort i
samma färg och direkt ordningsföljd när man tar fem kort?
Vad är sannolikheten att få Fyrtal, som t ex kan vara fyra 7:or?
V1.37 I en enkätundersökning deltog 500 personer. Av dessa var 310 st
gifta, 110 st var gifta och under 25 år, 60 st var ogifta och 25 år
eller äldre. Hur många var under 25 år?
V1.38 I en påse ligger det 10 röda kulor och 20 svarta kulor, alla av
samma storlek. Du plockar på måfå fem stycken kulor. Hur
stor är sannolikheten att du får minst fyra röda kulor?
Kombinatorik 10
Teori ▪ Duvslageprincipen
Om du placerar 6 duvor i 5 duvslag så måste åtminstone ett duvslag
hysa mer än en duva.
Om n + 1 objekt skall placeras i n fack eller lådor, så måste minst ett
fack ha två eller flera av dessa objekt.
Om n·k + 1 objekt skall placeras i n fack eller lådor, så måste minst ett
fack ha k + 1 eller flera av dessa objekt.
G1.40 Varför måste det i en grupp på 55 stycken personer som är
högst 50 år gamla finnas åtminstone två som är födda samma
år?
G1.41 In en bägare har du nio tärningar. Hur många måste du ta upp
för att säkert få upp två med samma antal ögon?
G1.42 In en bägare har du tjugo tärningar. Hur många måste du ta
upp för att säkert få upp tre med samma antal ögon?
G1.43 Visa att om 13 punkter placeras i rutnätet här bredvid så måste
två av dem ha ett avstånd på högst 2 från varandra.
Kombinatorik 11
V1.44 Visa att om 9 punkter placeras slumpmässigt i en rektangel
med sidorna 9 cm och 12 cm så måste det finnas minst två
punkter vars inbördes avstånd är högst 5 cm.
V1.45 Jevgenij har tvättat strumpor och lagt sex par i en låda, av vilka
två par är röda, två par blå och två par gröna. Bortsett från
färgen är de tolv strumporna lika och väl blandade. Nästa
morgon, när det är mörkt ute och ljuset strejkar, tar han på
måfå två strumpor ur lådan. Hur många måste han minst ta för
att få ett par av samma färg?
V1.46 15 studenter skrev en diktamen. Johan gjorde 13 fel, alla andra
gör mindre än 13 fel. Bevisa att minst två elever gjorde lika
många fel.
V1.47 Antag att vi har 101 tresiffriga tal, lika eller olika, som börjar med
samma siffra. Visa att det finns minst två vars skillnad är delbar med 100.
Kombinatorik 12
Teori ▪ Pascals triangel och Mosertal
Om vi skulle beräkna (a + b)n för allt större värden på n med våra
kunskaper i algebra från tidigare kurser så skulle det bli ganska
tidskrävande.
(a + b)0
1
(a + b)1
a+b
(a + b)2
a2 + 2ab + b2
(a + b)3
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4
a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b3
(a + b)5
a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b4
Vi anar utifrån tabellen ovan att:
(a + b)6 = a6 + __a5b + __a4b2 + __a3b3 + __a2b4 + __ab5 + __b6
Dvs summan av gradtalen för a och b i varje term är 6.
Hur får vi nu koefficienterna till de olika ab-termerna?
Jo, (a + b)6 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)(a + b)(a + b)

a 6 – termen får vi genom att ta ett a från varje parentes. Detta kan
bara göras på ett sätt. Alltså är koefficienten till a6 en etta.

a 5b – termen får genom att välja ut ett b från de parenteserna.
6
Detta kan göras på   = 6 olika sätt. Koefficienten till a5b en sexa.
1 

a4b2 – termen får genom att välja ut två b:n från de parenteserna.
6
 2
Detta kan göras på   = 15 olika sätt. Alltså är koefficienten till
a4b2 talet femton.
Kombinatorik 13
6
0
6
1 
6
 2
6
3
Vi får till slut: (a + b)6 =   a6 +   a5b +   a4b2 +   a3b3 +
6
 4
6
5
6
6
+   a2b4 +   ab5 +   b6
(a + b)6 = a 6 + 6 a 5b + 15a 4b2 + 20a 3b3 + 15 a 2b4 + 6ab5 + b6
Binomialsatsen fås genom att föra liknande resonemang för godtyckliga
värden n.
 n
0 
 n
1 
n
k
 n
 n
(a + b)n =   a n +   a n-1 b + ...+   a n-k bk +...+   bn
n 
Koefficienterna   kallas binomialkoefficienter
k 
Med Pascals triangel kan man lätt hitta koefficienterna till (a + b)n, hur?
Detta sätt att beräkna koeficienterna kan även fås med Pascals formel:
 n - 1  n - 1  n 

+
=
 
 k - 1  k   k 
Kombinatorik 14
Mosertal
Placera fyra sju punkter på en
cirkel. Fördela punkterna någorlunda jämnt runt periferin som i
figuren nedan. Förena varje
punkt med alla övriga punkter.
Man kan dra 21 kordor (Varför
just 21?) som delar in cirkeln i
57 (ett Mosertal) områden.
Genom att summera de färgade
raderna i Pascals triangel får vi
Moser-talen: 1, 2, 4, 8, 16, 31,
57, 99, 163, 256, 386,…som
motsvaras av antalet punkter på
cirkeln: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 11,...
G1.48 Använd Pascals triangel för att fylla i det som fattas i
identiteten nedan: (a + b)9 = __a 9 + __a 8b + __a 7b2 +
+ __a 6b3 + __a 5b4 + __a 4b5 + __a 3b6 + __a 2b7 + __ab8 + __b9
8
G1.49 Vad är värdet på   enligt Pascals triangel?
 3
V1.50 Bevisa Pascals formel.
G1.51 Verifiera att antalet kordor för en regelbunden sexhörning inuti
en cirkel har 15 kordor samt att antalet områden är __?
G1.52 Bestäm tredje och fjärde termen i binomialutvecklingen av
(3a + 4b)7.
n n
V1.53 Visa att 2   +   =
n2
2
1
   
Kombinatorik 15
Facit
G1.1
G1.2
Du har 3·4 valmöjligheter.
3·4·5 =60
G1.3
a)
25 ⋅ 25 ⋅ 25 ⋅10 ⋅10 ⋅10 =
15625000
b)
25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅10 ⋅ 9 ⋅ 8 =9936 000
G1.4
På 6 ⋅ 2 ⋅ 3 =
36 olika sätt.
G1.5
Det finns 163 = 4096 olika tal med tre eller färre siffror.
G1.6
313 = 1594323 olika sätt
G1.7
25 + 24 + 23 + 22 + 2 =
62
=
P
G1.8
gynnsamma fall 13 ⋅13 ⋅13
1
= =
möjliga fall
52 ⋅ 52 ⋅ 52 64
G1.9
256
G1.10
P(7, 2) = P(n, k=
)
G1.11
4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24
G1.13
29 ⋅ 28 ⋅ 27 = 21924
G1.14
P(n, n) =
7!
= 42
5!
G1.12
8! = 40320
n!
n!
= = n ! och
(n - n)! 0!
P(n, n-1) =
n!
n!
= = n ! Alltså är P(n, n) = P(n, n-1).
(n -[n − 1])! 1!
a)120
b)60
c)24
G1.15
66 matcher
G1.17
Heltalslösningar får vi om n! + 1 är en jämn kvadrat. Prövningar ger
n = 4 med lösningarna x = ±5 (även n = 5 med lösningarna x = ±11)
G1.18
.
G1.16
24 respektive (n – 1)!
a)
60
c)
36
b)
24
d)
12
e)
Ett tal är delbart med 4 om talet i de två sista siffrorna är delbart med 4, dvs
talen 12, 24, 52 och 72, fyra möjligheter därefter återstår tre siffror. Alltså
blir resultatet 4·3·2=24
Kombinatorik 16
G1.19
15 
  = 455
3 
G1.20
10 
  = 210
4 
G1.23
15 
15!
 
g  3  12!3! 13 ⋅14 ⋅15 13 ⋅ 7 ⋅ 3
91
13 ⋅ 7
=
=
=
=
=
P= =
25!
n  25 
23 ⋅ 24 ⋅ 25 23 ⋅12 ⋅ 5 23 ⋅ 4 ⋅ 5 460
 3  22!3!
 
G1.24
 26  13 
26838 240
 ⋅  =
15   7 
G1.25
6
  = 20
3
G1.26
G1.21
G1.22
9
  = 126
 4
5
  = 10
3
För varje element finns det två möjligheter, en delmängd innehåller
elementet eller inte. Eftersom vi har n element i mängden får vi 2 n
delmängder.
G1.27
12  12   12 
  +   +   = 220 + 495 + 924 = 1639
3  4  5 
G1.28
 4   4  2   4   4 
15
  +    +   +   =
1   2 1   3   4 
G1.29
 52 
  = 270725
4 
G1.30
12  40 
   = 652080
 2  3 
G1.31
.
 2
 
2 1
g
a) P= =  =
n  7  21
 
 2
 2  2 
  
1 2 2
g
d) P= =   =
n
21
7
 
2
 
3
 
2 1
g
b) P= =  =
7
n   7
 
 2
c)
Kombinatorik 17
 2   3
  
1 1 2
g
P= =    =
n
7
7
 
2
 
G1.32
G1.33
G1.34
G1.35
G1.36
Han ar 4·3 möjligheter att ta två röda eller två blå eller två gröna strumpor.
3 ⋅ (4 ⋅ 3)
Det finns totalt 12 strumpor. Alltså är P=
12 ⋅11
Det finns sju möjligheter (=g) att få platser bredvid varandra. Det finns
8 
8 
  möjligheter att välja ut två godtyckliga platser. Alltså är P= 7 ⋅  
 2
 2
 4 4
13 
13   13 
  
 
  
1 1
2
1 1
3
13
8
a)   =
b)     =
c)   =
≈ 0, 012
102
663
 52 
 52  51
 52 
 
 
 
2 
2 
2 
g
1
=
m 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
g
g
9
4
= =
≈ 0, 0000035
= =
≈ 0, 0000015 b) P
a) P
52
52
m  
m  
 
 
5 
5 
g 4 ⋅13
= =
≈ 0, 00005
c) P
m  52 
 
5 
P
=
V1.37
Kombinatorik 18
−1
V1.38
10   20  10   20 
   +   
0 
11
 4   1   5  =
≈ 0, 0032
3393
 30 
 
5 
G1.40
Efter att ha tagit ut 50 personer så har alla olika ålder eller åtminstone två
samma ålder och då är saken klar. Om alla har samma ålder så kommer den
femtioförsta få en ålder som redan ”är upptagen”.
G1.41
10 stycken
G1.43
Om 16 punkter har tagit upp alla rutorna så måste den 17:de hamna i en
upptagen ruta. Längsta avståndet till den punkten kan vara diagonalen 2 .
G1.42
41 stycken
V1.44
V1.45
4 strumpor
V1.4 6
Låt oss låtsas att eleverna är "duvor" och lägg dem i 14 hål numrerade 0, 1,
2, ... , 13, beroende på antalet gjorda fel. I hålet 0 sätter vi de elever som
gjort något fel, i hål 1 dem som gjort exakt 1 fel, i hål 2 som gjort 2 fel, och
så vidare. Hål 13 upptas endast av Jimmy. Alltså måste något hål upptas av
minst två elever.
V1.47
Använd duvslageprincipen!
V1.48
1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1
V1.49 56
Kombinatorik 19
 n -1   n -1 
(n -1)!
(n -1)!
V .L. = 
+
=
+
=


 k -1   k  (n - k )!(k -1)! (n -1- k )! k !
V1.50
k(n -1)!+ (n - k )(n -1)! (n -1)![k + (n - k )]
n!
=
= =
V.S.B
(n - k )! k !
(n - k )! k !
(n - k )!(k )!
V1.51
V1.52
81648
V1.53
 n   n  2(n -1)n 2n
2   + =
+ = n 2 V.S.B

2
1
2
2
   
Kombinatorik 20