080108 - Lunds Tekniska Högskola

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
Helsingborg
TENTAMENSSKRIVNING
SANNOLIKHETSTEORI OCH
DISKRET MATEMATIK
2008-01-08 kl. 8.00-13.00
Hjälpmedel: miniräknare och utdelat formelblad.
Lösningarna skall kommenteras och motiveras utförligt.
1. Hur många vägar i xy -planet finns det från (0,0) till (7,7),
om en väg går ett heltalssteg antingen åt höger eller rakt uppåt?
(0.6)
2. a) Låt den s.v.   Bin (5, 0.3) . Beräkna P  3 .
(0.3)
b) Beräkna P2    4 då den s.v.   Exp(3) .
(0.3)
3. Låt A  0, 2, 3, 4, 8 och B  1, 4, 6, 9,10 . Definiera relationen
R : A  B genom aRb  a b . Bestäm R . Vad är relationens
definitionsmängd (domain) och värdemängd (range)?
4. Ur en urna med 5 vita, 4 svarta och 3 röda kulor drar man
på måfå 3 kulor utan återläggning.
Beräkna sannolikheten för att man får
a) en kula av varje färg.
b) alla kulor av samma färg.
(0.6)
(0.3)
(0.3)
5. Antalet lussebullar man kan sätta i sig till kaffet innan man blir mätt
kan betraktas som en stokastisk variabel  med följande
sannolikhetsfunktion:
=x
p
1
0.60
2
0.25
3
0.15
a) Beräkna väntevärdet för antalet lussebullar.
(0.3)
b) Bestäm fördelningsfunktionen F (x) .
(0.3)
Var god vänd!
6. Man har två mängder A  1, 2, 3,...,10 och B  a, b, c,..., j, k.
C är den delmängd till A  B där den första positionen är ett
udda tal, D är den delmängd till A  B där bokstaven är en vokal.
Beräkna C  D .
(0.6)
7. I ett land bor det två folk, merer och mindrer. Bland mererna är 60%
långa, bland mindrerna 18%. En besökande turist träffade på måfå
en person, som visade sig vara lång. Hur stor är sannolikheten att det
var en mer, om 2/3 delar av landets befolkning är mindrer?
(0.6)
8. Antag att ett kreditkortsföretag belastar ditt konto med 1,5% i
slutet av varje månad för utestående krediter. Antag vidare att
du har en kredit på 2 kr men struntar i att betala den.
Ange skulden efter n månader, t.ex. genom att först
finna en rekursiv formel.
(0.6)
9. Visa att (12  1)  (2 2  2)  (32  3)  ...  (n 2  n) 
för alla heltal n  1.
n3  n
3
10. I en kullagerfabrik tillverkar man ett kullager med kullagerkulor
med nominell diameter 8 mm. Man godkänner kulorna genom att
de skall trilla genom ett hål med diameter 8.1 mm och att de inte
skall trilla genom ett mindre hål (diameter 7.9 mm).
De förkastade kulorna smälts ner och återanvänds.
Av erfarenhet vet man att den genomsnittliga diametern på
de godkända kulorna är 8 mm och standardavvikelsen för
diametern är 0.5 mm. För att kunna beställa stål till kulorna,
och vara säker på att stålet räcker, behöver man beräkna
kulornas approximativa genomsnittliga volym och dess
tillhörande approximativa standardavvikelse.
 d3
Ledning: Sfärens volym är V 
.
6
SLUT!
(0.6)
(0.6)