Innehåll

Innehåll
introduktion
7
Håkan Lennerstad
matematikens två språk
19
Christer Kiselman
matematik och matematiska – om språnget
mellan betydelser och formler 43
Håkan Lennerstad
tecknet och det betecknade
75
Lars Mouwitz
att kommunicera matematik i skolan
91
Madeleine Löwing
vetenskapsfilosofi och metod
105
Bo Göranzon
har matematiken ett språk, egentligen?
119
Östen Dahl
några aspekter av matematikens formelspråk
Christer Bergsten
5
127
Introduktion
Håkan Lennerstad
Ett verktyg vi alla använder
För många är matematikens ord, siffror och formler ett lika självklart
verktyg som bilmekanikerns skiftnyckel, konstnärens pensel eller
skräddarens nål – kanske alltför självklart. Det kanske är något som
behöver en genomlysning.
Elever umgås i skolan nästan dagligen med matematikens siffror
och symboler. Lärare och didaktiker försöker förstå och genomföra vad
som krävs för att dessa möten ska gå väl och få mening för eleverna.
Handlare och ekonomer kan utveckla stor skicklighet i såväl huvudräkning som överslag. Ingenjörer demonstrerar varje dag de matematiska
symbolernas relevans genom sin användning. Matematikhistoriker
påvisar både språkets och idéernas framväxt och fantastiskt stora
förändringar genom åren, som ger perspektiv på dagens matematik.
Matematikerna är den grupp som har mest långtgående vana vid att
umgås med formler och med dess mer abstrakta betydelser. Men den
ojämförligt största gruppen av användare av matematiska ord, siffror
eller formler är dock den förstnämnda – eleverna.
7
8
HÅKAN LENNERSTAD
Vad är människan utan språket? Vad är matematiken?
Språk är ytterst centralt för oss människor i nästan allt vi gör. Hur är
då matematik relaterat till språk? Man kan med fog hävda att matematik är ett ämne med ett stort antal språkliga sidor. I denna bok tar
sju personer från skilda områden upp matematikens språkligheter ur
sina respektive synvinklar. Resultatet är ett brett och fascinerande
landskap, där matematik som rent räknande är en smal och porlande
rännil.
Författarna
Författarna som i denna bok beskriver sin syn på matematikens språkliga kvaliteter är de följande, i artikelordning :
Christer Kiselman, professor i matematik, Uppsala universitet
Håkan Lennerstad, docent i tillämpad matematik, Blekinge Tekniska
högskola
Lars Mouwitz, matematiklärare och doktor i teknologi och yrkeskunnande, Nationellt Centrum för Matematikutbildning, Göteborg
Madeleine Löwing, doktor i matematikdidaktik, Göteborgs universitet
Bo Göranzon, professor i yrkeskunnande och teknologi, Kungliga
Tekniska Högskolan, KTH i Stockholm
Östen Dahl, professor i lingvistik, Stockholms universitet
Christer Bergsten, docent i matematikdidaktik, Linköpings universitet
Samtliga författare har, som alla människor, flera strängar på sin lyra
än vad som syns av deras titel, till och med sådana som är relevanta
för detta sammanhang. Exempelvis arbetade Göranzon med matematiska modeller innan han bytte riktning mot yrkeskunnande. Dahl
Introduktion
9
har skrivit boken Logik för lingvister. Kiselman behärskar esperanto
och arbetar med ett matematiskt terminologiprojekt. Mouwitz har
filosofisk bakgrund och vana vid dialog med elever genom mångårig
matematisk problemlösningsverksamhet. Bergsten har tidigt tagit upp
”symbolkänsla” som en motsvarighet till ”taluppfattning” för tal med
siffror. Lennerstad har skrivit om matematikens formelspråk och om
dialogens betydelse mellan elever/studenter och lärare inte minst för
att matematiklärare ska bli medvetna om detta språk – som kan vara
förbluffande okänt bakom all användarskicklighet. Löwings doktorsavhandling handlar mycket om svårigheterna för elever och lärare att
förstå varandra i matematikämnet.
Återstoden av denna inledning ger en överblick av bokens innehåll
sedd ur olika perspektiv.
Historiskt perspektiv
Flera har använt ett historiskt perspektiv. Längst tillbaka har Lennerstad gått med det berömda 30 000 år gamla vargbenet med sina streck
i grupper om fem. Han använder det för att diskutera vilken kraft och
användning symboler kan ha. Symboler kan uttrycka tankar som inte
direkt motsvaras av konkreta föremål, som kanske är abstrakta men
viktiga. Och symboler är betydligt lättare att manipulera än de flesta
föremål. Men symboler har också en baksida – de kan utestänga de inte
invigda. Bergsten startar med Descartes La Géométrie som utkom 1637.
Han framhåller att Descartes algebraisering av geometrin var dubbelriktad – genom denna kunde man även göra sifferkalkyler med hjälp
av geometriska konstruktioner. Hans algebraisering gör att matematiska formler får två funktioner : en representativ, genom att de betyder
något, men också en operationell, genom att man kan räkna ut saker
med dem. I dagens skola har den operationella blivit ytterst dominerande, se mera nedan. Descartes menade inte att algebran syftar till
att fördjupa tanken, utan snarare fungerar som ett problemlösningsverktyg. Bergsten diskuterar detta, och beskriver algebra inte som ett
innehållsområde utan som ett modelleringsverktyg för matematiska
10
HÅKAN LENNERSTAD
innehållsområden. Det gör algebran också till ett didaktiskt verktyg.
Även Göranzon hänvisar till Descartes, men mera till hans jämförelse mellan människa och maskin, och att denne framhåller att
maskinen saknar det universalverktyg som förnuftet är. Göranzon
citerar även La Mettrie som menar att lära sig förstå ett språk, att lära
sig använda symboler, är att bli människa. Mouwitz använder medeltidens teologiska universaliestrid som utgångspunkt för att beskriva
olika ståndpunkter om vad matematik är – mer om detta senare.
Räcker orden?
Nej, svarar Göranzon på rubrikens fråga genom att citera Denis
Diderot, ledare för den franska upplysningstidens encyklopediprojekt.
Diderot beskriver hur vi kan ha en mycket exakt idé om något, men
det slinker ändå genom alla verbala formuleringsförsök, som om
språket vore ett nät vars maskor kan vara för stora. Det finns något
mer. Vad kan vi göra då? Jo, vi kan minska vår fokusering på abstrakta
begrepp, vi kan öppna våra sinnen för det konkreta, och även uppfatta
rytmens och känslans betydelse för intellektet. Sådan konkretion kan i
matematik till exempel vara elevers faktiska tänkande. Det är fullständigt normalt att yrkesverksamheters praxis innehåller viktig kunskap
som svårligen kan infångas med ord. Om användningen av ett begrepp
är avgörande för dess innehåll, som Wittgenstein menar, och som
gäller i skolans räkneorienterade (operationella) verksamhet, så blir
användning och praxis centralt.
Hur nå förståelse, hur nå under orden?
Alla matematiklärare vill att elever ska förstå matematik, och inte bara
kunna göra rätt. Varför är då detta så svårt? Löwing beskriver den
operationella matematikens närmast extrema dominans, och skolans
praxis, på följande sätt :
Introduktion
11
Den matematik ungdomar möter under de första skolåren handlar mer om
att göra än att förstå sammanhang. När de senare möter mer formell matematik har de tvingats att utan förklaring acceptera formler, som för dem är
helt obegripliga. Vad som saknas är enligt min uppfattning en teori som knyter samman enkla grundläggande begrepp med den mer formella matematik
som efter hand krävs. Jag kallar detta för en didaktisk ämnesteori för matematikundervisning.
Dahl betonar hur påståenden på alla språk kräver ett sammanhang för
att över huvud taget kunna tolkas. Som exempel beskriver han den
bakgrundskunskap som behövs för att förstå Pythagoras sats. Ensamt
betyder formeln a2 + b2 = c2 knappast någonting.
Matematikens två språk
Dahl och Kiselman utforskar matematikens språk genom att jämföra
dem med naturliga språk. Båda börjar med att konstatera att det finns
två uttryckssätt : matematiskt fackspråk och formelspråk. Fackspråket
är kanske mindre framträdande, men ord som till exempel dividera,
kontinuerlig, funktion, grupp, har matematiska betydelser som kan
skilja sig på viktiga punkter från allmänspråkets. Formelspråket framträder som avvikare redan från början genom sina speciella symboler.
Kiselman ger rika exempel på jämförelser mellan dessa båda språk och
säregenheter som kan inträffa vid översättning mellan dem. Talat och
skrivet språk spelar dessutom ganska olika roller.
Dahl beskriver hur man gärna gör en arbetsfördelning mellan
språken genom att vanligt språk står för sammanhanget och formelspråket för det precisa påståendet. Han beskriver formelspråket som
ett hjälpspråk till det vanliga språket, något som även till exempel
schack och bridge också har. Matematikens formelspråk är ett hjälpspråk som dock oftast uttrycker det mest centrala – det vanliga språket
”pekar” på det.
12
HÅKAN LENNERSTAD
Naturliga språk och matematikens språk
Kiselman tar upp räkning i språket kaurna, som dog ut men återuppväcktes och nu återigen har talare. I detta språk saknades generella
räkneord för talen fem och uppåt, men de fanns däremot för räkning
av söner och för döttrar – olika räkneord. Löwing visar skillnaderna i
räkning mellan svenska, finska, italienska, polska, vietnamesiska. Hon
tar också upp ett fall i Sydafrika där den engelskinspirerade didaktiska
metoden kollapsade för att den inte alls stämde med strukturen i elevernas hemspråk, som är tsuana.
Matematik och språk som nästan sammanfaller
Kiselman ger exempel på matematiska strukturer som kan ses som
en språklig grammatik. Om matematiken är maximalt generell, så
att dess symboler kan betyda ”vadsomhelst” som följer reglerna, så
blir matematiken på gränsen till en form av ren grammatik. För en
matematik som är tänkt att vara mycket generell är reglerna allt och
innebörderna nästan inget.
Regelföljande som en praxis
Bergsten talar om hur varje sätt att läsa en formel bygger på en tidigare teckenpraxis. Han definierar symbolkänsla som kännedom och
omdöme om symbolanvändningens praxis och relevans. Göranzon
diskuterar regelföljande inte bara i matematiken. Han menar med
Wittgenstein att centralt för regelföljande är gissande – som hänger på
att man vet vad som kommer att ske i nästa steg. När erfarenhet byggs
upp genom allt fler exempel har vi börjat behärska en praxis. Detta är
i stor samklang med kunskap ”över matematiskan” som beskrivs i Lennerstads text. Detta är kunskap om regelföljande, medan kunskap ”på
matematiskanivå” är kunskap om själva reglerna. Symbolkänsla är till
stor del kunskap ”över matematiskan”.
Introduktion
13
Här finns också ett viktigt intersubjektivt inslag : praxis och regelföljande tillhör en grupp människor. Det gör att det finns en naturlig
potential för dialog och utbyte. Sådan dialog behöver ett effektivt språk, vilket bör vara modersmålet. Lennerstad framkastar att
modersmålet får en svagare ställning i matematikämnet på grund av
konkurrens från formelspråket, som kan uppfattas som språket med
högst prestige i ett matematikklassrum. Det kan göra elever/studenter
tysta. Lingvister talar inte sällan om konkurrens mellan språk.
Språk i skolan
Många språk förekommer i skolan. Löwing framhåller hur elever lär sig
inte så mycket av att ”göra matematik”, utan snarare av att reflektera
över det som görs. Sådan reflektion är ”mångspråklig”. Ty det är avgörande att lärare kan ta elevens perspektiv och kommunicera med elevers språk, men även att synliggöra de abstrakta storheter som är inneboende i konkretionernas mångfald, det vill säga att även lyfta samtalet
till ett mer abstrakt matematiskt språk. Denna sammanknytning är
central. Den är beroende av dialogen i klassrummet, där det förekommer såväl reglerande språk som formella och informella undervisande
språk. Det handlar om att det språk som är karaktäristiskt för denna
klassrumspraxis blir levande och kraftfullt för de närvarande.
Lennerstad menar att matematikens formelspråk, som han kallar
”matematiska”, kan jämföras med ett främmande språk som gradvis
introduceras för eleverna i skolan. Man bör se det som ett språk, och
introducera det med språklig medvetenhet. För detta behöver matematiklärare språklig kompetens. Formelspråket används idag alltför intuitivt, vilket lätt leder till den språkliga utestängning som kännetecknas
av att symbolerna saknar mening. Han förespråkar att de lärande bygger upp det nya språket med hjälp av modersmålet. Ett mycket tydligt
sätt att göra detta är genom översättningar, som ställer de två språken
direkt bredvid varandra på ett mycket konkret sätt, så att samma betydelse är synlig i båda. Översättningar gör även det nya språkets struktur synlig, utan att nödvändigtvis formulera grammatiska regler.
14
HÅKAN LENNERSTAD
Eleven, matematiken, datorn
Göranzon ställer frågan om datorn kan vara ett hjälpmedel på människans villkor eller ett dressyrinstrument. Det är en fråga som också kan
ställas om matematiken, alltför många elever upplever kanske matematik som en form av dressyr. En dator är en matematikmaskin, matematiken kan ses som en icke-elektronisk dator. Elever kan uppleva det
som att matematiken kräver att man uppför sig som en dator.
En humanistisk matematik
Mouwitz beskriver Reuben Hersh’ humanistiska matematik. Den
postulerar att matematiken är mänsklig, den är inte ofelbar, det finns
många uppfattningar om vad ett bevis är, och att den är en kulturell
företeelse och bör uppfattas så. Det är en diskussion som får symbolerna, och begreppen som eventuellt är ”under” dem, att vibrera.
Hersh säger att matematiken inte behöver vara mer än sociokulturell:
Glöm immatriell, icke-mänsklig ”verklighet”. Humanistisk matematik
kan vara en matematikuppfattning som gör det naturligare att få syn
på det konkreta i matematikklassrummet – nämligen de närvarande
individernas faktiska tänkande.
Exemplets makt
En praxis är ett socialt sammanhang. Göranzon beskriver gestaltning av exempel som en avgörande kompetens, det kan ge liv åt det
abstrakta. Det kan också synliggöra andan i en praxis, som är central
bland annat för framgångsrikt regelföljande, även om den inte låter
sig fångas i en formell beskrivning. Det handlar om kunskap som lever
mellan de som deltar i praxisen. Denna kunskap lever i en kultur, eller
i en grupp. Löwing understryker kompetensen att använda exempel
på ett bra sätt. Hon menar att många lärare arbetar med konkreta
exempel, men att man inte alltid lyckas knyta ihop dem med matema-
Introduktion
15
tikens betydelser. Här vill Lennerstad gärna se en distinktion mellan
abstrakt formell och abstrakt idémässig matematik. Dessa två skiljer
sig åt främst i hur de uttrycks, med matematiska eller med svenska,
och kan kopplas ihop med översättningar. Många elever har god
abstrakt förståelse, men sammankopplar inte sina abstrakta insikter
med rätt symboler.
Vad är matematik, vad uttrycker dess språk?
Mouwitz’ tema är : vad betyder de matematiska symbolerna? Som
beskrivits tidigare är även Lennerstad och Dahl inne på denna fråga.
Mouwitz beskriver den teologiska universaliestriden under medeltiden, med många paralleller till matematiken. Här förekom fyra
uppfattningar om begreppens natur : 1 – Begreppen finns oberoende
av oss och vad vi ser omkring oss är bara kopior av dem (platonism);
2 – Begreppen finns dolda i vad vi kan se omkring oss (matematiken
som naturens språk); 3 – Människorna skapar begreppen under vårt
studium av omvärlden (konstruktivism); 4 – Det finns inga begrepp,
bara symboler som beskriver en praxis (nominalism). Den sista
ståndpunkten kan tyckas extrem, men en tolkning av den är att vi
kanske går direkt från ett tecken till en handling utan mellanliggande
begrepp, annat än en mångfald av minnesbilder. Men kanske är en
sådan mångfald just ett begrepp? Bergsten beskriver med Leibniz hur
vissa formler påminner om sitt innehåll, som att till exempel bokstaven v kan vara lämplig för att beteckna en vinkel inte bara för det är
den första bokstaven i ordet ”vinkel”, utan även för att tecknets form
är lik en vinkel. Formelspråkliga uttryck som inte har en sådan ikonisk
eller strukturell likhet med sitt innehåll ger större svårigheter.
16
HÅKAN LENNERSTAD
Formlernas språkliga egenskaper
Kiselman ger talande exempel på hur ordet om, parenteser och
kommatecken används på skilda sätt i matematik och utanför.
Sådana skillnader kan orsaka stora problem om man inte är medveten om dem. Dahl jämför matematiska variabler med pronomen, medan ekvationer kan jämföras med frågor. Exempelvis kan
2x = 5 – 7x språkligt jämföras med en implicit fråga : Vilka x uppfyller
2x = 5 – 7x?
Även om det finns betydelser utanför språklig formulering, som
är skissat ovan, finns det naturligtvis också betydelser hos språkliga
uttryck – semantik.
Bergsten beskriver hur formelspråket använder överraskande få
olika former. Det är huvudsakligen linjärt, från vänster till höger, som
europeiska skriftspråk, men index, exponenter och bråk kan vara radbrytande. Han menar med Peirce att formler ändå läses mer som en
bild än som en teckensträng – som en liten maskin. Det är en ikonisk
betydelse vid sidan om den representativa och den operationella.
Lennerstad beskriver som nämnts tidigare skilda typer av matematisk kunskap relativt matematikens formelspråk, men han urskiljer
också hela tre stycken olika semantiker hos formelspråket, där naturliga språk har en. En av de två extra semantikerna utöver den idémässiga (”naturliga”, som är geometrisk-intuitiv) är den tillämpade. Den
följer av matematikens generalitet – siffror och formler kan ha specifika betydelser för en ekonom eller en ingenjör, till exempel. Den
tredje semantiken följer av dess precisa språk, ty matematiska bevis
handlar enbart om formell/numerisk semantik. Här upplever man ofta en
avsaknad av ”naturlig” semantik – den idémässiga.
Denna matematikens semantiska uppsplittring kan också vara en
reaktion på en observation som Mouwitz gör : det finns inget att peka
på när man tar ett matematiskt exempel, annat än tecknet för det.
Tecknet räcker ju inte, för det vore som att peka på ordet mössa för att
visa vad en mössa är.
Löwing tar upp de alltför vanliga problemen med bråkräkning i
skolan. Hon föreslår en struktur för detta genom tre grundtankar :
Introduktion
17
A. En nämnare är en enhet för ett bråk. B. En täljare är antalet enheter. C. Varje bråk kan skrivas på oändligt många sätt genom förlängning. Detta synsätt på bråkräkning kolliderar inte med allmänspråkets
uttryckssätt, och tillåter stabil hantering av de flesta bråkräkningssituationer.
En väg framåt – dialog
Du har just läst en serie glimtar från denna bok. En sak är framträdande : frågorna om matematiken och dess språk är mångfacetterade,
brännande viktiga, konkreta och abstrakta. Det är viktigt att få tag
på och belysa dem med dialog, på alla nivåer. Denna bok är en dialog
mellan personer med skilda matematikrelaterade kompetenser, och
genom ditt läsande av den, kära läsare, fortsätter dialogen.