Malin Runeson Na3d
Spyken
Gymnasiearbete
VT 2015
Förekomsten av Fibonaccis talföljd
i fyllotaktiska formationer i floran
Malin Runeson
Na3d
Roger Bengtsson
Lund 2015-05-13
1
Malin Runeson Na3d
Abstract
The purpose of this paper is to investigate if, how and why the Fibonacci numbers occur in
phyllotaxy formations in the flora. The study method consists of literary study of three
papers on phyllotaxy from different fields of science, compared with an empirical study of
pine cones. Results clearly indicate adherence to Fibonacci patterns and the literature
supports the thesis. A relationship between vegetation and mathematical patterns really
does exist through the pattern of phyllotaxic arrangements and the spreading of primordia
in the meristem. The arrangement is advantageous when it comes to transportation within
the plant. The so called hard disk limit might explain why the pattern continues in the
phyllotaxy even in larger scales. In conclusions, the Fibonacci numbers are visible in the flora
because of the spreading of primordia which creates a phyllotaxic formation.
2
Malin Runeson Na3d
Innehåll
Abstract ................................................................................................................................................... 1
1. Inledning .............................................................................................................................................. 4
2. Teori..................................................................................................................................................... 5
2.1 Matematiken bakom fibonaccitalen ............................................................................................. 5
2.1.1 Talföljden ................................................................................................................................ 5
2.1.2 Det gyllene snittet .................................................................................................................. 7
2.2 Biologin bakom fibonaccitalen ...................................................................................................... 9
3. Metod ................................................................................................................................................ 11
4. Resultat.............................................................................................................................................. 12
4.1 Matematikerns perspektiv .......................................................................................................... 12
4.2 Biologens perspektiv ................................................................................................................... 14
4.3 Fysikerns perspektiv .................................................................................................................... 15
4.4 Empiriska observationer av kottar .............................................................................................. 18
5. Diskussion .......................................................................................................................................... 19
5.1 Sammanfattning .......................................................................................................................... 19
5.2 Varför Fibonacci i naturen? ......................................................................................................... 21
5.3 Fel slutsatser................................................................................................................................ 22
5.4 Ändra mönstret ........................................................................................................................... 22
5.4 Avslutning .................................................................................................................................... 23
6. Acknowledgement............................................................................................................................. 24
7. Referenser ......................................................................................................................................... 24
3
Malin Runeson Na3d
1. Inledning
År 1202 färdigställer Leonardi Pisano av Pisa, numera mer känd under namnet Fibonacci, sitt
handskrivna exemplar av Liber Abaci, som betyder boken om räkning. 1 I denna skrift
introducerar, han på 600 sidor, de matematiska erfarenheter han har fått sig till godo under
sina resor på Medelhavet. Han börjar med att presentera de 9 hindu-arabiska tecken med
vilka man, teoretiskt sätt, kan skriva alla tal i hela världen; det är de tecken vi använder idag.2
Ironiskt nog redogör han, endast på en enda sida i sin skrift, för den rad av tal som gjort
honom känd och som uppsatsen kommer kretsa kring, nämligen Fibonaccis talföljd. 3 Talen i
denna talföljd påstås förekomma på oförklarligt många olika ställen i naturen och har lockat
forskares nyfikenhet under tidsperioder, men även konstnärer och arkitekter har fascinerats
över talföljden i fråga. Kan det då verkligen stämma att naturen följer ett matematiskt
mönster? Det är på denna punkt åsikterna forskare emellan glider isär. Vissa menar att dessa
tal går att återfinna i växtriket vart än du tittar, att de är naturens favorittal som återkommer
i floran om och om igen. Andra forskare menar att mönstren i naturen inte är knutna särskilt
till Fibonaccis talföljd och att de resultat som andra forskare fått fram bara är
önsketänkande. Hur menar då fibonacciförespråkarna att ett matematiskt mönster kan
bildas i växter och genomsyra stora delar av vår flora? Mönsterbildningen handlar om mer
än endast skönhetsideal. Det grundar sig i spridning, fördelning och effektiv packning, något
som mänskligheten, efter observationer, klätt i matematiska termer.
Figur 1: Solrosens frön är tätt packade i frökapseln.
1
Horadam, A.F. Eight hundred years young. University of Evansville;
http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/fibo.html (hämtad 2014-11-12)
2
Fibonacci, Leonardo. Fibonacci´s Liber abaci : a translation into modern English of Leonardo Pisano`s Book of
calculation / [translated by] Laurence Sigler. New York: Springer-Verlag, 2002, 15-16.
3
Leonardo. Fibonacci´s Liber abaci : a translation into modern English of Leonardo Pisano`s Book of calculation
/ [translated by] Laurence Sigler, 404-405.
4
Malin Runeson Na3d
2. Teori
2.1 Matematiken bakom fibonaccitalen
2.1.1 Talföljden
I sin skrift, Liber Abaci, inleder Fibonacci avsnittet om talföljden med en matematikuppgift
som presenterar läsaren för just dessa tal. Uppgiften lyder: ”En man har ett kaninpar på
ingärdat område och önskar veta hur många kaninpar som det paret ger upphov till på ett år
under förutsättningarna att kaninerna är dräktiga och föder ett annat kaninpar under en
månad och att det tar en månad för kaninerna att bli könsmogna.”4(egen översättning)
För att lösa denna uppgift använder Fibonacci inga algebraiska symboler i sin lösning (som +,
− osv.). 5 Istället tar han sig an problemet genom att med ett mycket varierat språk förklara
varje steg. Detta är förklarligt eftersom det additionstecken vi använder idag inte
introducerades förrän ca 100 år efter Fibonacci6.
Emellertid visar Fibonacci även en sammanfattning av sin uträkning genom den tabell som
följer:
månad
antal
kaninpar
början 1
första
2
andra
3
tredje
5
fjärde
8
femte
13
sjätte
21
sjunde 34
åttonde 55
nionde 89
tionde 144
elfte
233
slut
377
Eftersom ursprungsparet redan är könsmogna från början föds nästa par efter den första
månaden. När den andra månaden har gått har ursprungsparet fått ett par ungar till medan
det andra paret inte är könsmogna än. Efter tredje månaden kommer två nya kaninpar till
4
Ibid, 404-405.
McClenon, R. B. Leonardo of Pisa and his Liber Quadratorum. American Mathematical Monthly. 26. No. 1 (1919): 1-8.
http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28191901%2926%3A1%3C1%3ALOPAHL%3E2.0.CO%3B2-U (Hämtad 2015-03-30)
5
6
Lustigova, Zdena. The birth of symbols. the University of British Columia.
http://courses.educ.ubc.ca/etec540/Sep02/ResearchAssignment/LustigovaZ/words.htm (Hämtad 2015-03-30)
5
Malin Runeson Na3d
världen eftersom paret som föddes förra månaden inte är mogna att skapa ungar än, och så
vidare. Svaret är alltså 377 par. 7
Med de senare påkomna algebraiska symboler skulle man kunna presentera lösningen såhär:
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5=8
5+8=13 osv
Talföljden är sammanfattningsvis:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584….
Definitionen av talföljden är som följer här beskriven med en rekursionsformel:
F(n)=F(n−1) + F(n−2)
F(0)=1
F(1)=1
där n är talets plats i talföljden.
Fibonaccis talföljd kan också användas som stöd vid uppritande av en approximation av en
logaritmisk spiral, det vill säga en spiral som får större och större avstånd mellan sina linjer.
Så här går man till väga:
Rita en kvadrat med sidan 1 och en likadan bredvid den. Nu har det bildats en sida som är 2
lång. Där ritar du en kvadrat med sidan 2. Nu har det bildats en rektangel med brädden 2 och
med längden 3. Där ritar du en kvadrat med sidan 3, och så vidare. För att skapa själva
spiralen börjar du längst in och ritar kvartscirklar i varje ruta.
Figur 2 En gyllene spiral bildas genom att rita
välvda diagonaler i kvadraterna kopplade till
Fibonaccis talföljd.
7
Fibonacci, Leonardo. Fibonacci´s Liber abaci : a translation into modern English of Leonardo Pisano`s Book of
calculation / [translated by] Laurence Sigler. New York: Springer-Verlag, 2002, 405.
6
Malin Runeson Na3d
2.1.2 Det gyllene snittet
Om man dividerar två på varandra följande fibonaccital, f(n)/f(n+1), får man en ny talföljd.
Denna talföljd närmar sig det så kallade gyllene snittet ett tal som skrivs ϕ, uttalas ”fi” och
kan definieras just genom kvoten ovan.
Rektanglarna på bilden ovan har sidlängder som är intilliggande Fibonaccital, och
förhållandet mellan deras lång-och kortsidor kommer alltså att närma sig det gyllene snittet.
Den rektangel som har sidförhållande som är precis det gyllene snittet ϕ kallas, kanske inte
helt oväntat, för den gyllene rektangeln.
För att bestämma ϕ algebraiskt somt få ett närmevärde kan man utgå från
rekursionsformeln F(n)=F(n−1) + F(n−2).
Dividerar man med F(n-1) ger det:
𝐹(𝑛)
𝐹(𝑛 − 2)
1
= 1+
=1+
𝐹(𝑛 − 1)
𝐹(𝑛 − 1)
𝐹(𝑛 − 1)
𝐹(𝑛 − 2)
Låter man n gå mot oändligheten kommer de båda kvoterna F(n)/F(n-1) och F(n-1)/F(n-2) att
närma sig ϕ och i ”gränsläget” får vi ekvationen
𝜑 =1+
1
⇔ 𝜑2 − 𝜑 − 1 = 0
𝜑
Denna andragradsekvation har två lösningar, och den positiva av dessa är det gyllene snittet
𝜑=
1 + √5
≈ 1,6180339
2
Detta är ett irrationellt tal, det vill säga att det inte kan skrivas som ett bråk, utan har en
oändlig icke-periodisk decimalutveckling.
Med hjälp av 𝜑 kan man skriva upp en sluten formel för Fibonaccis talföljd:
𝐹(𝑛) =
𝜑 𝑛 − (−𝜑)−𝑛
√5
där n är talets plats i talföljden.
Denna formel gör det mycket lättare att bestämma ett visst fibonaccital eftersom man inte
behöver veta de tidigare talen i följden. Beviset för denna formel utelämnas.
Vidare är också gyllene snittet det förhållande som man ska dela en sträcka l i så att hela
sträckan förhåller dig till den längre biten som den längre förhåller sig till den kortare.
𝑙
𝑎
𝑙
= 𝑙−𝑎 ⇔ 𝑎 =
𝑎
1
𝑙
−1
𝑎
𝑙 2
𝑙
⇔ (𝑎) − 𝑎 − 1 = 0
7
Malin Runeson Na3d
Vi ser att ekvationen ovan överensstämmer med den tidigare för 𝜑 och alltså är
sidförhållandet l/a= 𝜑. Notera också att förhållandet mellan hela sträckan och den minsta är
𝜑2.
Figur 3: Förhållandet mellan l-a och a är samma
som det mellan a och l.
8
Det gyllene snittet är ett mycket omtyckt tal och
har genom historien använts inte minst inom
Figur 4: Parthenon är, menar vissa, baserat på det gyllene snittet.
konsten och arkitekturen. Huruvida kända verk
är baserade på det gyllene snittet är omdiskuterat. Ett par exempel som det tvistas om är
Parthenon där formen av fasaden sägs vara formad utifrån den gyllene rektangeln, liksom
andra proportioner i byggnadens fasad9. Vidare lyfts Leonardo Da Vincis Mona Lisa fram,
vars ansikte bland annat kan ramas in av en gyllene rektangel. Idag talar man även mycket
om gyllene snittet inom fotografering och skapande av kompositioner.10
Det finns även en vinkel kopplad till det gyllene snittet, nämligen den gyllene vinkeln. Denna
vinkel v fås genom att dela ett varv (360°) i två delar, v och 360-v, så att följande
”vinkelförhållanden” är lika
360
360 − 𝑣
=
360 − 𝑣
𝑣
Detta är motsvarande att dela en sträcka som vi gjorde ovan (med l=360) och vi får
360
= 137,508 ° …
𝜑2
om vi låter v vara den minsta vinkeln i delningen.
8
Swanye, Steve. https://en.wikipedia.org/wiki/Parthenon#/media/File:The_Parthenon_in_Athens.jpg (Hämtad
2015-04-21)
9
Van Mersbergen, Audrey M. Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis. Philosophical
Polemic Communication Quarterly. 46 (1998) 194–195. doi:10.1080/01463379809370095 (Hämtad 2015-04-21)
10
Brandon, James. Divine Composition With Fibonacci´s Ratio (The Rule of Thirds on Steroids). http://digitalphotography-school.com/divine-composition-with-fibonaccis-ratio-the-rule-of-thirds-on-steroids/ (Hämtad
2015-03-24)
8
Malin Runeson Na3d
2.2 Biologin bakom fibonaccitalen
Det som i första anblicken bara verkar vara en intressant matematisk talföljd baserad på ett
hypotetiskt och osannolikt antagande rörande kaniner visar sig vara något mer. Fibonaccis
talföljd återfinns nämligen enligt vissa på fler ställen än i Liber Abaci. Oavsett sanningshalt
(det diskuteras senare i uppsatsen) följer tre av många exempel där Fibonaccis talföljd sägs
förekomma: antalet kronblad, antalet spiraler på kottar och vinklar mellan blad.
Kronblad är nog det som är enklast att räkna och förstå mönstret i. Det sägs nämligen att
antalet kronblad är ett tal i Fibonaccis talföljd. Här följer några exempel:
3
5
Lilja, iris
Smörblomma,
vildros
8
Riddarsporre,
ögonblomssläktet
13 Tagetes, stånds
21 Aster, Sommar
Rudbeckia
34 Prästskrage,
solros
55 Prästskrage,
solros, solbrudar
89 Prästskrage,
solros,
144 Solros
11
Figur 5: En prästkrage som påstås ha mellan 34 och 89 kronblad.
Förutom att bladen kan vara ett fibonaccital till antalet kan man hitta spiraler i de blommors
frökapslar med en platt fröställning där fröna mognar och är kransad av kronblad.
Även kottar och andra liknande fröbärare som t.ex. ananas har spiraler som enligt
förespråkarna alltid har lika många element som ett av talen i Fibonaccis talföljd. 12
11
12
Stewart, Ian. Mathematics of Life. New York: Basic Books. 2011
Stewart, Ian. Mathematics of Life. New York: Basic Books. 2011
9
Malin Runeson Na3d
Ett tredje sätt Fibonaccis talföljd kan visa sig på i naturen påstås vara i växternas fyllotaxi.
Fyllotaxi kommer från de grekiska orden blad och ordning/arrangemang13 och är det sätt
som blad är placerade i på stjälken.14 Även detta har en koppling till Fibonacci och hans
talföljd. Mäter man nämligen vinkeln mellan två på varandra följande blad, kan cirkelsektorn
som bildas beskrivas med en kvot av två fibonaccital. Många gräs, och även majsplantan har
1/2 cirkel mellan varje blad. Björk och hassel har 1/3 cirkel mellan varje blad. Ek och
aprikosträd, 2/5 av en cirkel, poppel och päron, 3/8, pil och mandelträd 5/13.15
Figur 6: En planta ovan ifrån. Få blad växer ovanför varandra.
När bladen är placerade på detta sätt bildas en spiral av blad längst med stjälken och ser
man plantan ovanifrån är det väldigt få blad som hamnar över varandra.
13
Liddell, Henry George och Scott, Robert. A Greek-English Lexicon at the Perseus Project.
http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus:text:1999.04.0057:entry=fu/llon,
http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus:text:1999.04.0057:entry=ta/cis. (Hämtad 2015-03-12)
14
van der Linden, F M J. Creating phyllotaxis: The stack-and-drag model. Mathematical Biosciences 133 no. 1
(1996): 21-50. doi:10.1016/0025-5564(95)00077-1. (Hämtad 2015-04-21)
15
Stewart, Ian. Mathematics of Life. New York: Basic Books. 2011
10
Malin Runeson Na3d
3. Metod
En tvådelad undersökning utfördes; en litteraturanalys utifrån tre kritiskt granskade
dokument med olika perspektiv, samt en empirisk undersökning av kottar som jämfördes
med resultaten från studien av litteraturen.
Tre olika citerade publikationer från forskare med tre olika professioner: matematik, biologi
respektive fysik, med det gemensamma nyckelordet och fyllotaxi söktes. Sökord som
fibonacci och fyllotaxi användes bland annat på sökmotorerna google scholar, lub och Lunds
biblioteksportal. Vidare praktiserades metoden att söka bland de källor som det länkades till
på wikipediasidor och i youtube-klipp om ämnet. Resultaten granskades och ett dokument
per profession valdes ut utifrån dess tillförlitlighet. Denna tillförlitlighet bedömdes genom en
kort research på författaren och vederbörandes forskning samt dokumentets källor. Var
forskarens huvudsakliga ämne något annat än fyllotaxi sorterades de bort. Likaså om
underbyggande källor till forskarens tyckande saknades. Eftersom det inte fanns några
ekonomiska resurser att tillgå användes inte heller några rapporter man måste betala för att
få tillgång till.
I studien av kottar identifierades ett område i närheten av Lund med tallar, i detta fall Habo
Ljung, vid infarten till Bjärreds golfbana. Väl på plats valdes tre tallar av varierat utseende ut.
Koordinaterna för varje träds placering samt utseende dokumenterades. Därefter plockades
fem respektive sex slumpmässigt valda kottar med undantag för de exemplar som ekorrar
hade ätit på. Kottarna sorterades efter vilket träd de hade legat under samt fick en
identitetssiffra för att underlätta analysen. I analysen identifierades samt räknades antalet
spiraler av varje sort på varje exemplar. Resultaten fördes in i en tabell i Excell.
11
Malin Runeson Na3d
4. Resultat
4.1Matematikerns perspektiv
Ian Stewart skriver i sin bok ”Mathematics of life” att det kan verka vara svårt att hitta en
orsak till att blommor ”föredrar” vissa tal, och speciellt det begränsade antal tal som har en
plats i Fibonaccis talföljd. Att samma art har samma antal kronblad är förståeligt eftersom
det är kodat i deras genom men rent statistiskt skulle det då innebära att alla olika antal av
kronblad skulle förekomma. Om antalet kronblad inte spelar någon roll så kan alla blommor
föra sitt genom vidare oavsett antal kronblad. Dock finns det några gränser, blommans
kronblad har ju till exempel en viss funktion. Har en blomma så många kronblad att dess
funktion, eller någon annan funktion i blomman, inte fungerar kan den inte föra sitt genom
vidare. Stewart menar dock att det finns fler parametrar än så.
När det gäller fyllotaxi menar författaren att Fibonaccis
talföljd även har en given plats. Vissa plantor, skriver han,
använder sig av mycket enkla arrangemang, till exempel
med bladen två och två, på varsin sida om stammen,
medan de flesta av växtrikes blad är arrangerade i
spiraler som slingrar sig upp längst stjälken. Detta
innebär att bladen placeras i en viss vinkel i förhållande
till föregående blad. Vinklarna har även de, menar
Stewart, att göra med Fibonaccis talföljd, de kan
nämligen beskrivas som bråk av en hel cirkel där
nämnaren och täljaren är fibonaccital.
Ian Stewart tar även upp botanikern Wilhem Hofmeisters
observationer och liknar växtsättet hos ett litet skott vid Figur 7: Vinkeln mellan de två på varandra
följande bladen är 1/3 av en cirkel.
en fontän där vattnet sprutar rakt upp och därefter faller
åt sidorna. Plantans växtkraft kommer inifrån, upp genom toppen och sedan ut. Detta
innebär att det som händer i yttersta toppen av plantan är mycket centralt för plantans
utseende.
Varför vinklar mellan bladen ofta är bråk av fibonaccital förklarar Stewart såhär: Placeringen
av bladen börjar i växtcellernas primordia. Primordia är vävnad eller organ i sitt tidigaste
igenkänningsbara stadium av utveckling16. Varje primordum (sing. av primordia) kommer
tillslut att bli ett blad och det är geometrin av denna cellklump som bestämmer bladets
placering. Bladplaceringsprocessen börjar med två primordia, placerade på vars en sida av
centrum på skottets topp. När de börjar ”vandra” ut från centrum kommer en ny primordia
mellan de tidigare två. Även denna cellklump ”vandrar” ut från centrum. Samspelet mellan
16
MedecineNet. Definition of Primordium. MedecineNet; 2012.
http://www.medicinenet.com/script/main/art.asp?articlekey=33809 (Hämtad 2015-03-26)
12
Malin Runeson Na3d
dessa primordia orsakar en omarrangering cellklumparna emellan, så att vinkeln mellan
första och andra samt andra och tredje närmar sig den gyllene vinkeln.
Detta är kraften bakom alla spiralformationer i växten, skriver Stewart, bladens position,
men även orsaken till att fröna packas i en spiralstruktur och att antalet kronblad är ett
fibonaccital.
Fröställningens spiralformation syns inte alltid förrän blomman är mogen, men orsaken till
dess positionering är även primordias interaktion med varandra. Detsamma gäller med
kronbladen, som ju bildas i ytterkanten av fröformationen. Deras position är även de ett
direkt resultat av primordias reaktion och genetiska programmering. Detta resonemang
bidrar till att den enda frågan som behöver förklaras är varför fibonaccital är så djupt
sammankopplade med primordias genomsyrande spiraler.
Ian Stewart skriver vidare om Helmut Vogel, på tekniska universitet i München, som 1979
med matematiken som grund förklarat varför den gyllene vinkeln passar så väl in i
sammanhang som till exempel i solrosen där små former ska packas in i en stor cirkel. Detta
gjorde han genom att rita upp modeller där det n:te primordium är placerad med ett
avstånd roten ur n från centrum 137,5 grader från föregående primordium (eller n med
vinkeln n × 137.5). Justerar man därefter gradtalet mellan primordium till 137 eller 138 får
man spiralformationer där primordium inte alls är packat lika effektivt:
17
Figur 8: Vänster: har 137 grader mellan prickarna, mitten: 137,5 (gyllene vinkeln), höger: 138 grader.
Med dessa enkla modeller förklarar Vogel varför den gyllene vinkeln är så speciell.
Stewart avslutar dock sitt kapitel i sin bok med att peka på att det finns växter som inte ens
följer en mer generell form av fyllotaxi. Det verkar till och med som om deras placering av
blad sker helt slumpartat. Detta pekar på att naturen är kanske mer komplicerad än man
kanske kan tro och att det fortfarande finns mer att upptäcka och utforska. 18
17
18
Stewart, Ian. Mathematics of Life. New York: Basic Books. 2011. S.49
Stewart, Ian. Mathematics of Life. New York: Basic Books. 2011
13
Malin Runeson Na3d
4.2 Biologens perspektiv
Scott Hotton med medförfattare skriver inledningsvis att det egentligen inte är så konstigt
att proteinstrukturer som mikrotubuli (del av cellens ”skelett”), som bara är lite större än
oorganiska kristaller, är formande i kristalliknande formationer. Det oväntade är att hela
levande organismer följer ett mönster på samma sätt. Men det är påfallande ofta fyllotaxin
bildar matematiska mönster. Symmetrin i växter och kristaller påvisar två enkla regler:
1 Enheter som motsvarar varandra placeras i följd.
2 Interaktionen mellan den nyuppkomna enheten och de som var till sedan innan definierar
den nya enhetens placering.
Hotton och hans medskribenter förklarar vidare om den process som även Stewart
beskriver, med primordia som ”vandrar” och i samspel med varandra placeras i en viss
formation. Detta skapar två olika sorters spiraler skriver författarna, vilka till antalet är
Fibonaccital samt att vinkeln mellan två på varandra följande utskott ofta närmar sig det
gyllene snittet.
Forskargruppen menar är att det mest fascinerande är formationernas förekomst i så
spridda delar av floran, och ställer sig frågan: Varför är det just detta mönster som
återkommer om och om igen?
Ett sätt att ta sig an denna problematik, fortsätter biologerna, är att göra en modell av den
enklaste formen av fyllotaxi som man kan återfinna i floran. Därefter kan en jämförelse
mellan modellen och verkligheten bidra till fler svar och förklaringar.
Det finns två olika hypoteser som kan förklara fenomenet: Hoffmeisterhypotesen, som
innebär att man antar att primordia bildas i samma takt hela tiden. Snowhypotesen, som
innebär att primordia bildas när och där det finns mer plats. Till skillnad från
Hoffmeisterhypotesen tillåter Snowhypotesen att många primordia bildas samtidigt. I
artikeln använder forskarna sig av en Snowmodell och målet är att återskapa fyllotaktiska
mönster på ett så enkelt sätt som möjligt.
Med hjälp av sina modeller drar forskargruppen slutsatsen att primordium endast ”känner
av” sina jämlikar i en viss utsträckning. Det innebär att när primordium har ”vandrat” ut från
centrum tillräckligt länge är den fixerad i sin bana i mån att något annat primordium inte kan
påverka vilken väg den tar. Detta kan jämföras med ett par magneter som inte känner av
varandra efter ett visst avstånd. Fenomenet biologerna räknat fram kallas ”the hard disk
limit” och innebär i praktiken att det lilla mönstret i växten speglas i placering av blad till
exempel, utan att vinkeln mellan bladen egentligen behöver spela någon större roll.
Detta fenomen är inspirerat av experimentella observationer av andra forskare. Paret Snow
visade i en studie de gjorde 1932, samt Reinhart och hans kollegor 2003, att det bara är de
senast formade primordia runt meristems centrum (meristem är den vävnad som i de flesta
14
Malin Runeson Na3d
plantor innehåller likadana celler som man hittar i delar av plantan där den växer) som är
med och avgör den nya primodiums plats. Reinhart och hans medskribenter visade
dessutom att de nybildade primordia bestämmer storleken på de senaste.
Avslutningsvis fick författarna fram resultatet på sin studie genom att sammanställa alla
studerade exemplar (solrosor) i samma sorts presentationsform, i detta fall en ontogenetisk
karta som förenklar verkligheten så att man lättare kan se och förstå mönstret på respektive
objekt. Analysen av dessa pekade på att fibonaccis talföljd dominerade i de fyllotaktiska
mönstren.
Scott Hotton och hans kollegor skriver även att enkla regler om hur den cellulära och
molekylära utvecklingen ska ske kan framkalla och kontrollera fyllotaktiska formationer.
Effektivisering av diffusion och transport av auxin mellan cellerna kan även i en större skala
överensstämma med den enkla regeln som antagandet om the hard disk innebär. Det
viktigaste med de geometriska modeller forskargruppen med Hotton i täten skapat är att
reducera komplexa fyllotaktiska mönster till lokala regler som upprepas om och om igen. De
avslutar med att det kanske snarare är de lokala reglerna, än det stora mönstret som är det
som tillslut behöver förklaras på mekanisk nivå. 19
4.3 Fysikerns perspektiv
Fysikerna Stephén Douady och Yves Couder har genomfört en modell av hur primordia
sprider sig. Målet med deras undersökning var att få reda på om de regler man satt upp
verkligen är allt som behövs för att få den formation som önskas. Experimentet gick ut på att
de har en cirkulär horisontell teflonplatta med silikonolja på som står i ett vertikalt,
magnetiskt fällt. Magnetismen är lite starkare vid utkanterna av teflonplattan vilket gör att
den magnetiska vätskan som droppas i centrum av plattan och som ska motsvara primordia,
rör sig ut i periferin. För att inte den magnetiska droppen ska ”fastna” i mitten placeras en
liten bula i teflonplattans centrum. De magnetiska dropparna repellerar varandra inom
varandras magnetfält. Studien undersöker vilka förutsättningarna måste vara för att mönster
ska bli kopplingsbara till Fibonacci.
19
Hotton, Scott et al. The Possible and the Actual in Phyllotaxis: Bridging the Gap between Empirical
Observations and Iterative Models. Journal of Plant Growth Regulation. 25 (2006): 313-323. doi:
10.1007/s00344-006-0067-9
15
Malin Runeson Na3d
20
Figur 9: Försöket går ut på att droppa magnetiska droppar ner i ett oljebad med magnetfält.
Hur får då primordia sina platser? Det börjar med att ett primodium lämnar centrum. När
nästa primodium ska ut från mitten dras den bort från centrum men även bort från det
tidigre primordium. Därav bildas en 180 gradig vinkel mellan de två primordia. När sedan
primordia nummer tre kommer blir det hela lite mer komplicerat. Eftersom den första
primordium är lite längre bort än nummer två och därmed påverkar nummer tre mindre
finner primordium nummer tre sin plats en vinkel som främst beroende på dropphastigheten
närmar sig 137,5 grader från föregående primordium.
21
Figur 10: Douady och Counder lyckades få fram fibonaccimönster i sitt experiment.
Detta kan man se i grafen som forskarparet har fått fram ur sin matematiska undersökning
över vilken vinkel man kan förväntas få i förhållande till vilken hastighet dropparna droppas.
20
Douady, Stephén. och Couder, Yves. Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process
Part I] The Spiral Modes Resulting from Time-Periodic Iterations. Journal of Theoretical Biology. 178 no. 3
(1996) 255-273. doi:10.1006/jtbi.1996.0024.2098.
21
Douady. Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process
Part I] The Spiral Modes Resulting from Time-Periodic Iterations. 2099
16
Malin Runeson Na3d
22
Figur 11: Visualisering av matematisk undersökning av förhållandet mellan dropphastighet och vinkel mellan dropparna.
På y-axeln är vinkeln mellan två primordium utmarkerade. G, som är utmarkerad på x-axeln
skulle man, förenklat kunna säga, är hastigheten mellan att två droppar droppas där stora
värden på G innebär låg hastighet. Som man kan se ligger den längsta, något så när vågräta
linjen kring 137,5 grader.
Det visar även att när primordia bildas långsamt blir vinkeln mellan bladen 180 grader. Så är
det som sagt bland många gräsväxter som majs och timotej. När G är drygt 0,85 händer det
något. Primordium bildas så ofta att även det första primorda börjar påverka det tredje.
Vinkeln förändras och blir nu mindre än 180 grader. Följer man sedan linjen utmärkt med
trianglar åt vänster ser man hur den börjar närma sig den gyllene vinkeln, 137,5 grader. Då G
är drygt 0,35 händer det något spännande igen. En ny, nästan parallell linje går att följa runt
100 grader. Denna kallas ibland Lucas grenen. 23 Det finns nämligen en till talföljd som kan
upptäckas i naturen och som på många sätt är en skugga av Fibonaccis talföljd. Lucas talföljd
växer på samma sätt som Fibonaccis men istället för att börja följden med 1, 3, 4, 7, 11, …
istället för Fibonaccis 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... det innebär också att de två första talen inte följer
mönstret. Tillbaka till grafen så förgrenar sig linjerna i en mängd olika då G är mindre än 0.2.
Detta innebär att en mängd olika vinklar kan skapas om primordia skapas ofta.
Att säga att anledningen till att det finns fyllotaxi är att växten då får så mycket sol som
möjligt, är att förenkla för mycket, skriver Douady och Couder, eftersom det förutsätter att
plantans stam ska vara riktad helt vertikalt och att solen alltid står högt på himlen, något
som sällan sker i verkligheten. Dessutom, fortsätter författarna, kan blad dessutom vrida sig
mot solen vilket denna hypotes helt frånser.
När det gäller naturligt urval, skriver Douady och Couder, kan de inte förneka att växter
påverkas och att vissa av växtens funktioner kan lyftas fram, men de menar dock att
22
23
Ibid 2099
Stewart, Ian. Mathematics of Life. New York: Basic Books. 2011
17
Malin Runeson Na3d
mekanismerna som skapar dessa formationer är så grundläggande att de måste ha funnits
redan innan de hade kunnat väljas.24
4.4 Empiriska observationer av kottar
Vid Habo Ljung, strax utanför Lund valde jag ut tre tallar som hade varierat utseende i
förhållande till varandra. Jag dokumenterade noga trädens koordinater, samt deras
utseende. Vidare plockade jag fem respektive sex slumpmässigt valda kottar med undantag
för de exemplar som ekorrar hade ätit på. Därefter analyserade jag mina exemplar och
sammanförde resultatet i nedanstående tabell.
Tabell 1: Antal spiraler per del av kotte.
Övre delen av kotten
Spiral
Spiral
åt
åt
Kotte vänster höger Övrig
1.1
5
8
3
1.2
8
5
3
1.3
5
8
3
1.4
5
8
3
1.5
8
5
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
8
3
3
5
5
5
5
5
3
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3
3
3
5
3
3
5
2
8
3
5
5
3
8
8
5
Nedre delen av
kotten
Spiral
åt
Spiral
väns- åt
ter
höger Övrig
5
8
13
8
13
5
5
8
13
8
5
8
5
13
8
8
8
13
5
13
5
5
8
8
8
8
13
5
8
8
5
5
8
8
13
13
13
13
5
13
13
13
5
5
Alla spiralerna på kottarna är antingen 2, 3, 5, 8 eller 13 till antalet, tal som alla förkommer i
Fibonaccis talföljd. Hälften av kottarna har fler spiraler åt höger än åt vänster. Den andra hälften har
fler spiraler åt vänster än åt höger. Bilder på samtliga kottar återfinns i bilaga.
24
Douady, Stephén. och Couder, Yves. Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process
Part I] The Spiral Modes Resulting from Time-Periodic Iterations. Journal of Theoretical Biology. 178 no. 3
(1996) 255-273. doi:10.1006/jtbi.1996.0024
18
Malin Runeson Na3d
Tabell 2: Trädens position och utseende under vilka kottarna plockades.
Träd Latitud
Longitud Utseende
1
55,69336 13,05685
2
55,69314 13,05709
3
55,69342 13,05717
5. Diskussion
5.1 Sammanfattning
Konklusionen börjar i den empiriska studien och avslutas i litteraturanalysen.
Samtliga kottar som undersöktes i den empiriska studien hade ett fibonaccital till antalet
spiraler av respektive sort. Detta faktum kan leda till många olika slutsatser: Att kottarna
som plockats slumpmässigt inte alls visar ett korrekt urval av kottar utan är just den andel
som verkligen följer mönstret. För att motbevisa detta krävs en större, och mer omfattande
studie av kottar. En partisk observatör kan också leda till felaktiga och resultat som i
19
Malin Runeson Na3d
verkligheten är rent önsketänkande. Detta problem kringgås eftersom fotografier av
samtliga undersökta objekt är bifogade i bilagan. Slutligen kan man även dra slutsatsen att
undersökningen faktiskt indikerar ett naturligt mönster som är grundat i spiralformad
fyllotaxi och kopplat till Fibonaccis talföljd. Det skulle innebära en indikation om att
Fibonaccis talföljd verkligen kan förekomma i fyllotaktiska formationer i naturen, vilket i sin
tur öppnar upp för omfattande och mer vetenskapligt stabila forskningsstudier än den som
presenterats i detta arbete.
Som man kan se i tabellen av kottarna har exakt hälften av kottarna fler spiraler i högervarv
än vänstervarv och vice versa. Min hypotes, utifrån fysikernas studie är att det är slumpen
som avgör då det tredje primordium kommer in i bilden. När det nybildade primordium
bildas placeras det antingen till höger eller till vänster om föregående primordium och det
bestämmer plantans vidare utseende. Enligt mina resultat verkar sannolikheten för att en
tallkotte skulle vrida sig åt ett speciellt håll vara 50 %. Antagandet baseras på den jämna
fördelningen samt att det inte verkar bero på vilket träd de har vuxit på. Den slutsatsen kan
man dock inte dra med någon större säkerhet eftersom min studie endast baserar sig på 16
exemplar från 3 träd. En annan svaghet med studien är på vilket sätt kottarna valdes ut. Det
är mycket svårt att plocka någonting helt slumpmässigt, men det som talar för tesen om
slumpen är dock att det kräver ganska noggranna studier för att undersöka en kotte, något
som gör att jag på det sättet inte kunde vara partisk i vilka kottar jag plockade.
Undersökningens styrkor är bland annat den noga definieringen av vilka träd jag undersökte,
eftersom någon annan då kan göra studien igen, samt att de hade inbördes olikheter som
ökar chansen för att få reda på vad som är inomartligt och vad som bara är specifikt för det
exemplaret. Vidare är det lättare att ta till sig mina resultat då de är fotograferade och
bifogade och därmed tillgängliga för läsaren att själv undersöka.
Litteraturstudien ger fler ledtrådar till att det verkligen finns någon form av lag och ordning i
naturen, i alla fall när det gäller fyllotaxi, men som matematikern Ian Stewart skrev, så följer
inte alla växter detta mönster. För att ta reda på varför, som mänskligheten har gjort i alla
tider, är att ställa sig den mycket nära sammankopplade frågan hur. Vet man hur det går till
kan man analysera vilka mekanismer som är beroende av varandra och på så sätt få reda på
varför Fibonaccis talföljd kan återfinnas i just spiralformade växtmönster. Det mest basala är
att förstå växters växtsätt, som Stewart presenterade med bilden av fontänen. På det byggs
kunskapen om primordia och deras interaktion och påverkan på växten. Men det är där,
tillsammans med informationen om att den gyllene vinkeln, 137,5 grader, har en roll i det
hela som Stewart lämnar oss. 25
Biologen Scott Hotton och hans medförfattare börjar med att dra en parallell till andra delar
av naturen, om än delar som är mikroskopiskt små. Detta ger oss ytterligare en ledtråd om
hur det faktiskt kan finnas mönster i det som först verkar så slumpartat. Efter att de också
25
Stewart, Ian. Mathematics of Life. New York: Basic Books. 2011
20
Malin Runeson Na3d
förklarat principen om hur primordium ”vandrar” tar de tag om frågan varför. Inte frågan
varför mönster, utan frågan varför detta mönster. Författarna skapar modeller byggda
utifrån olika hypoteser. Utifrån resultaten av dessa studier funderar de vidare kring
mönstrens egentliga betydelse. Finns det verkligen någon mening med att ha mönster i så
stor skala, eller är det bara så det blir när de lokala reglerna och mönstren
följs?
Om inte Hotton och hans kollegor kunde se någon rimlig funktion av mönstret i stor skala,
kan fysikerna Douady och Couders i alla fall förklara lite djupare varför det bildas ett
spiralmönster. Deras försök bekräftar primordias interaktion med varandra och att denna
ömsesidiga påverkan kan ha matematiska, fibonaccirelaterade mönster som utfall. Om deras
försök är förenligt med naturen förklaras, visuellt i försöket, hur primordia påverkar
varandra och genom maximal spridning skapar de ett mönster med starka kopplingar till
Fibonaccis talföljd. I sin matematiska undersökning visar de på en eventuell förklaring till den
variation av vinklar mellan blad som det finns i naturen. Det kan helt enkelt bero på i vilken
hastighet primordia bildas.
Men trots dessa djupgående undersökningar är det fortfarande inte helt klart vad motivet till
dessa formationer är.
5.2 Varför Fibonacci i naturen?
Allt verkar så spretigt. Douady och Counder tror sig veta att det inte har någonting med
naturligt urval att göra eftersom detta är så essentiellt i växtens utveckling att det fanns där
redan innan någon eller något kunde välja det. Teorin om att det är effektivare
solupptagningsförmåga om bladen inte skuggar varandra och därför bättre om vinkeln
mellan bladen är irrationell menar de också är en teori att förkasta. Stewart menar att det
finns många växter vars fyllotaxi inte följer detta mönstret och Hotton och hans kollegor drar
slutsatsen att de är de små mönstren som är det intressanta.
Men varför använder sig plantorna av speciella mönster då? Är det för att primordum vill ha
så mycket näring som möjligt? För att det är effektivare sätt att packa? För att det blir lättare
att transportera? Kan det verkligen vara så att det är mikromönstret som är viktigt för växten
och att det syns i det stora bara är en medföljande effekt? Är det bara slump att mönstret
plantorna bär råkar vara kopplat till Fibonaccis talföljd och gyllene snittet? Detta är för stora
frågor för att behandla i ett litet gymnasiearbete framför allt för att vidare undersökningar
och studier krävs för att kunna fastställa några säkra svar.
Den uppfattning jag dock skapat genom denna studie är dock att många växter bär detta
mönster på grund av det som händer inuti växten. Primordia repellerar varandra, kanske för
att få så mycket näring som möjligt eller att kunna packa eller placera växtdelar så effektivt
som möjligt. Jag tror även att transporten kan förenklas om avstånden är kortare och
därmed är en orsak till de fyllotaktiska formationerna. Frågan om huruvida kopplingen
21
Malin Runeson Na3d
mellan talföljden och gyllene snittet är en slump eller inte är så matematiskt filosofisk att
den går över mitt huvud. Hur kan man ens undersöka det?
5.3 Fel slutsatser
Det finns en risk att dra forskningsresultaten ovan, eller tankarna om naturens matematik
för långt. Gyllene snittet kan komma att presenteras som ett skönhetsideal och på alla sätt
det eftersträvansvärda. Simon Cox skriver till exempel i sin bok om Dan Browns Da
Vincikoden att gyllene snittet dyker upp på osannolika ställen som på storbildsskärmar,
vykort, kreditkort.26 Gyllene snittet påstås vara det eftersträvansvärda i arkitektur- 27och
konstproportioner.28 Det är dock ingenting som forskningen ovan ger grund för. Att vissa
mönster i naturen kan kopplas till Fibonaccis talföljd eller gyllene snittet innebär inte, trots
att naturen må vara vacker, att just de proportionerna är vackrare än andra. Dessutom är
det en mycket begränsad del av naturen som här har undersökts.
29
Vidare belägger inte heller forskningen ovan att alla spiraler som
återfinns i naturen är kopplande till Fibonaccis talföljd. Ett
exempel är nautilussnäckan formad i en logaritmisk spiral, men
absolut inte Fibonaccis spiral . Det finns många olika logaritmiska
spiraler och kurvor i naturen men det räcker inte bara med att
placera en fibonaccispiral på fotografiet för att bevisa dess
Figur 12: Den logaritmiska
spiralen i nautilussnäckan följer
tillhörighet till Fibonacci. Ett enda fenomen i växters växtsätt har
inte den gyllene (blå) spiralen.
undersökts vilket gör det omöjligt att dra allmängiltiga slutsatser
om vare sig skönhet eller samtliga logaritmiska spiraler i naturen. Och precis som Stewart
skriver i slutat av sin text, finns det så många ställen där vi inte kan se eller förstå mönstret
(än), om det nu finns något.
5.4 Ändra mönstret
Av ren nyfikenhet har jag räknat kronblad och olika spiralformationer på många av de växter
som passerat och ibland faller fokus på exemplar som skapar misstro till tesen om den
ständiga närvaron av fibonaccital i naturen. Det är nämligen inte bara missbildningar som
har bidragit till att kronbladen fått ”fel” antal utan en hel del svenska blommor har endast 6
kronblad. Exempel på sådana är krokus, påsk- och pingstlilja. En tafatt förklaring till denna
problematik är att 6/2=3 och 3 är ett fibonaccital. Det är i och för sig ett alldeles korrekt
påstående men det är fortfarande 6 kronblad på blomman.
26
Simon Cox Cracking the Da Vinci code: the unauthorized guide to the facts behind Dan Brown's bestselling
novel. Barnes & Noble Books, 2004.
27
Nilsson, Sven-Arne. Luca Paciolo. Nationalencyklopedin.
http://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/luca-paciolo (hämtad 2015-04-21)
28
Sandström, Sven. Nationalencyklopedin. proportionslära.
http://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/proportionslära (hämtad 2015-04-21)
29
Peck, Akkana. http://shallowsky.com/blog/science/fibonautilus.html (hämtad 2015-04-21)
22
Malin Runeson Na3d
5.4 Avslutning
Sammanfattningsvis finns det en koppling mellan fyllotaktiska formationer i floran och
Fibonaccis talföljd. Det finns verkligen ett matematiskt mönster som bildas i växter och
genomsyrar stora delar av vår flora. Mönstret som skapas grundar sig på mekanismer inne i
växten men det syns på långt ifrån alla arter. Men trots svaret på frågeställningen känner jag
mig fortfarande inte nöjd, för som med all forskning ger svar på en fråga upphov till fem
andra obesvarade följdfrågor. Jag har fallit i forskningens nyfikenhetsgrop och kommer nog
aldrig kunna ta mig upp ur denna vetgirighetens fälla.
23
Malin Runeson Na3d
6. Acknowledgement
Tack till Roger Bengtsson för att du trodde att min idé var genomförbar, för all övertid du
lagt ner på mitt arbete, och att du är så engagerat och intresserat följt mitt arbetes
utveckling. Tack även till pappa, Per Runeson, som delat med sig sina kunskaper när det
gäller vetenskapliga rapporter, studier med mera, samt läst och kommenterat mitt arbete.
7. Referenser
Brandon, James. Divine Composition With Fibonacci´s Ratio (The Rule of Thirds on Steroids).
http://digital-photography-school.com/divine-composition-with-fibonaccisratio-the-rule-of-thirds-on-steroids/ (Hämtad 2015-03-24)
Cox, Simon. Cracking the Da Vinci code: the unauthorized guide to the facts behind Dan Brown's
bestselling novel. Barnes & Noble Books, 2004.
Douady, Stephén. och Couder, Yves. Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process
Part I] The Spiral Modes Resulting from Time-Periodic Iterations. Journal of
Theoretical Biology. 178 no. 3 (1996) 255-273. doi:10.1006/jtbi.1996.0024
Fibonacci, Leonardo. Fibonacci´s Liber abaci: a translation into modern English of Leonardo
Pisano`s Book of calculation / [translated by] Laurence Sigler. New York:
Springer-Verlag, 2002
Horadam, A.F. Eight hundred years young. University of Evansville;
http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/fibo.html (hämtad 2014-11-12)
Hotton, Scott et al. The Possible and the Actual in Phyllotaxis: Bridging the Gap between
Empirical Observations and Iterative Models. Journal of Plant Growth
Regulation. 25 (2006): 313-323. doi: 10.1007/s00344-006-0067-9
Lustigova, Zdena. The birth of symbols. the University of British Columia.
http://courses.educ.ubc.ca/etec540/Sep02/ResearchAssignment/LustigovaZ/w
ords.htm (Hämtad 2015-03-30)
McClenon, R. B. Leonardo of Pisa and his Liber Quadratorum. American Mathematical
Monthly. 26. No. 1 (1919): 1-8. http://links.jstor.org/sici?sici=00029890%28191901%2926%3A1%3C1%3ALOPAHL%3E2.0.CO%3B2-U
(Hämtad 2015-03-30)
MedecineNet. Definition of Primordium. MedecineNet; 2012.
http://www.medicinenet.com/script/main/art.asp?articlekey=33809 (Hämtad
2015-03-26)
Nilsson, Sven-Arne. Luca Paciolo. Nationalencyklopedin.
http://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/luca-paciolo (Hämtad 201524
Malin Runeson Na3d
04-21)
Sandström, Sven. Nationalencyklopedin. proportionslära.
http://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/proportionslära (Hämtad
2015-04-21)
Stewart, Ian. Mathematics of Life. New York: Basic Books. 2011
Van Mersbergen, Audrey M. Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the
Acropolis. Philosophical Polemic Communication Quarterly. 46 (1998) 194–195.
doi:10.1080/01463379809370095 (Hämtad 2015-04-21)
25
Malin Runeson Na3d
Bilaga:
Från vänster till höger: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5.
Från vänster till höger: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5.
Från vänster till höger: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6.
26
