Om logaritmer och potensfunktioner: Keplers tredje lag
Anders Källén
March 26, 2013
Johannes Kepler (1571–1630) formulerade på grundval av empiriska observationer tre lagar för planeternas banor runt solen. Den första lagen säger att planeterna rör sig runt solen i elliptiska banor med
solen i ena fokuset. Efter att observerat detta fenomen, och mätt ut ellipsernas storlekar, så jämförde
han omloppstiden T (dvs tiden för ett helt varv runt solen) med den större halvaxeln a för planetbanans
ellips. Resultatet kan (till dels i varje fall) ha varit något som liknar följande tabell:
Planet
Merkurius
Venus
Jorden
Mars
Jupiter
Saturnus
Uranus
Neptunus
Pluto
T (s)
7.60 · 106
1.94 · 107
3.16 · 107
5.94 · 107
3.74 · 108
9.30 · 108
2.66 · 109
5.20 · 109
7.82 · 109
a (m)
5.79 · 1010
1.08 · 1011
1.49 · 1011
2.28 · 1011
7.78 · 1011
1.43 · 1012
2.87 · 1012
4.50 · 1012
5.91 · 1012
I och för sig kände Kepler inte till fler än de första fem av dessa, och visserligen har Pluto 2006 omklassats
till dvärgplanet, och borde inte vara med i listan, men vi tar med alla nio i resonemanget.
Frågan är nu, finns det något enkelt samband mellan omloppstiden och ellipsens storlek som kan utläsas
av detta? Det är stora tal involverade, och för att plotta dem är det därför naturligt att göra det i en
s.k. log-log-plot. Det betyder att vi plottar logaritmen lg a på x-axeln och lg T på y-axeln, men vi anger
inte logaritmen för talet utan talet själv på axlarna (det är därför de små strecken ligger ojämnt). Denna
figur finns på nästa sida.
Vad vi ser är att alla punkter ligger på en rät linje. För att bestämma denna linje väljer vi ut koordinaterna för Merkurius och Pluto, vilka är (10.762679, 6.880814) respektive (12.771587, 9.8932068) (lägg
märke till att vi här har logaritmen för värdena), och bestämmer den räta linje som går igenom dessa.
Riktningskoefficienten är
9.8932068 − 6.880814
= 1.4995175,
k=
12.771587 − 10.762679
så enpunktsformeln ger att linjens ekvation är
lg T − 6.880814 = 1.4995175(lg a − 10.762679)
⇔
lg T = 1.4995175 lg a − 23.019640.
Men detta betyder att
lg T = lg a1.4995175 + lg 10−23.019640 = lg(10−23.019640 · a1.4995175 ),
vilket betyder att (eftersom 10-logaritmen är en strängt växande funktion)
T = ka3/2 .
1
1013
Pluto
Neptunus
Uranus
Omloppstid T (s)
Saturnus
Halley’s komet
1012
Jupiter
Mars
Jorden
Venus
11
10
Merkurius
107
108
109
Langsta halvaxel a (m)
1010
Här har jag skrivit k = 10−23.019640 och jämställt 1.4995175 med 3/2. Kvadrerar vi denna ekvation for
vi Keplers tredje lag:
T 2 = Ka3 ,
där jag låtit K beteckna kvadraten på den gamla konstanten k. I ord:
Kvadraten för en planets omloppstid är proportionell mot kuben på dess ellipsbanas större
halvaxel.
Konstanten K:s värde beror av i vilka enheter vi mäter tid och sträcka, så den är inte intressant i den
allmänna lagen.
Det kan vara intressant att komplettera denna figur med motsvarande data för Halley’s komet, som ju
har en väldigt eccentrisk (alltså icke-cirkulär) bana. Denna har T = 2.661012 och a = 2.38109 och finns
som en grön punkt i figuren.
Vi ser här en allmän observation. Om två variabler y och x är förenade av en potensfunktion:
y = Kxα ,
där K och α är konstanter, så gäller att
log y = α log x + log K.
Det betyder att vi kan skatta ett empiriskt samband på detta sätt genom att mäta upp ett antal par
(x, y), plotta dem i log-log-skala och bestämma en rät linje som approximerar data, liksom ovan. Det är
vanligtvis α som den intressanta konstanten. Detta förfarande är vanligt inom biologin när man jämför
olika aspekter av olika djur, t.ex. för att se hur ämnesomsättning beror av kroppsvikt, eller något sådant.
Lagar som tas fram på detta sätt kallas empiriska lagar, eftersom de är framgissade ur data.
Keplers tredje lag var alltså från början en empirisk lag. Den blev en naturlag när Newton härledde den
som en konsekvens av sin gravitationsteori.
2
