Kinematik, en dimension

Mekanik
”Maskinlära”, här: klassisk mekanik
Gammal vetenskap,grundläggande,
många tillämpningar
Grekiska:
mechane = maskin
1
Indelning
Kinematik(kap 2,4) Dynamik(5,6)
Rörelse,ej krafter
Rörelse,krafter
Statik
Vila,krafter
Typer av rörelse: translation,rotation,vibration
Begrepp/modeller: Partikel, partikelsystem,stel
kropp, (deformerbar kropp,fluid)
2
Stort giltighetsområde men måste ersättas av
Relativitetsteori vid höga hastigheter
(”Tumregel”: minst 3107 m/s som är 10 % av
ljushastigheten i vakuum,c)
Kvantmekanik vid beskrivning av små system
(”Tumregel”: 1010 m eller mindre)
3
Kinematik, en dimension(Kapitel 2)
Förflyttning (displacement):
x
x1
x2
x = x2 – x1 (slutpunkt –startpunkt)
x
Medelhastighet: vavg = t
(average velocity)
dx
Momentanhastighet: v = dt
(instantaneous velocity)
4
1
x
x2
1:Går genom
(t1,x1) och
(t2,x2),lutning
vavg
1
2
x1
2:Tangent i
(t1,x1), lutning
v
t
t1
t2
1
Fart (speed) ges av beloppet v
v
Medelacceleration: aavg = t
dv
Momentanacceleration: a = dt
5
Förflyttning på integralform:
t2
t2
dx
dt   vdt
dt
t1
t1
x  
Kan vara positiv, negativ eller 0.
Tillryggalagd väg (distance):
t2
 v dt
t1
Alltid  0
Genomsnittsfart (average speed)
savg = (tillryggalagd väg)/t
6
Exempel 1,endimensionell rörelse
Hastigheterna för två tåg på väg rakt mot varandra
visas i figuren som funktioner av tiden. Skalan i
vertikalled ges av att vs = 40.0 m/s. Vid t = 0 är
avståndet mellan tågen 200 m. Bestäm avståndet
när bägge tågen har stannat.
7
Kinematik, tre dimensioner(Kap. 4)
Vektorstorheter behövs
Förflyttning (displacement):
r  r (t 2 )  r (t1 )
(slutpunkt –startpunkt)
r
r (t1)
r (t2)
O
Medelhastighet:
v avg
=
(x, y, z ) r

t
t
8
Bankurvan ges av punkterna (x(t),y(t),z(t)) då t varierar.
dr
dt
r
t+t
t
dr
Momentanhastighet: v = dt
v är tangent till bankurvan i varje punkt.
Farten ges av beloppet  v 
OBS: Skilj på hastighet (velocity) som är en
vektor och fart (speed) som är en skalär.
9
v
Medelacceleration: aavg = t
Momentanacceleration:
a
dv
= dt
På integralform:
t2
t
2
dr
r   dt   v dt
dt
t1
t1
Tillryggalagd väg (distance):
t2
 v dt
t1
10
Derivatan av en vektor blir en vektor och beräknas
genom komponentvis derivering , t ex
d
(t , t 2 , t 3 )  (1,2t ,3t 2 )
dt
Integralen av en vektor blir en vektor och beräknas
genom komponentvis integration, t ex
t2
t

t 22
t2
t
(
t

1
,
e
,
cos
t
)
dt

(

t
,
e
,
sin
t
)

(

t
,
e
 1, sin t 2 )
2


0
2
 2
0
t2
2
t
Exempel 2:
Accelerationen för en partikel är a(t)  (0,2t,9.8 ) m/s2.
Bestäm partikelns hastighet v(t) .
11
Exempel 3,rörelse i cirkelbana
En partikel rör sig i cirkelbana (radie r). Bestäm dess
hastighet och acceleration (bägge är vektorer) om
a) farten är konstant och lika med v.
b) farten inte är konstant.
12
Transformation av hastighet och acceleration
mellan olika referenssystem
Fig 4.19
Partikel P kan beskrivas utgående från referenssystem
A eller B, där B har konstant hastighet
relativt A.
13
Derivera vektorsambandet
m a p tiden, detta ger
och en derivering till ger
Slutsats: Observatörer i olika referenssystem men med
konstant relativ hastighet mäter samma acceleration hos partikeln.
14