Matrisens rang

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Matrisens rang.
MATRISENS RANG
Definition 1. Inom matematiken är en matris ett rektangulärt schema
 a11 a12 ... a1n 
a
a 22 ... a 2 n 
21

A=
 ...
... ... ... 


a m1 a m 2 ... a mn 
av reella eller komplexa tal.
En matris med m rader och n kolonner sägs ha typen m × n som vi skriver då
typ(A)= m × n .
Man skriver ofta
A = [aik ]m×n
eller kortare A = [ aik ] .
Talet aik är alltså matriselement i rad i och kolonn k.
Definition 2. Två matriser A = [aik ] och B = [bik ] är lika om
1) typ(A)=typ(B)
och
2) aik = bik för alla i, k.
Exempel 1. Bestäm x, y och z så att A=B då
5 ( x + 3) 5
5 1 z + 2 
, B=
A=


4
8
3
3 4 ( y − 1)
Lösning: A och B är av samma typ 2 × 3 . De är lika om motsvarandeelement är lika
d v s om följande villkor är uppfyllda
5=5 ,
3=3 ,
x+3 = 1 ,
4= 4 ,
5= z+2
8=y−1.
Alltså x= −2, z=3 och y=9.
Svar: x= −2, z=3 och y=9.
MATRISENS RANG
Vi upprepar att en matris kan, med hjälp av elementera radoperationer, överföras till sin
trappstegsform. I matrisens trappstegsform är varje element till vänster och under
ledande ettan lika med 0).
Ett exempel på en matris på trappstegsform.
𝟏𝟏 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ∗ ∗ ∗
�
�
𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ∗
𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎
--------------------------------------------------------------------Om vi fortsätter och eliminerar alla element ovanför de ledande ettorna får vi s.k.
REDUCERAD TRAPPSTEGSFORM.
En matris på reducerad trappstegsform
Sida 1 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
𝟏𝟏 ∗
𝟎𝟎 𝟎𝟎
�
𝟎𝟎 𝟎𝟎
𝟎𝟎 𝟎𝟎
Matrisens rang.
𝟎𝟎
𝟏𝟏
𝟎𝟎
𝟎𝟎
∗
∗
𝟎𝟎
𝟎𝟎
𝟎𝟎
𝟎𝟎
𝟏𝟏
𝟎𝟎
∗
∗
�
∗
𝟎𝟎
I ovanstående exempel står * för ett (vilket som helst) tal.
--------------------------------------------------------------------Definition 3. Med elementära rad operationer menas:
(1) multiplikation av en rad med ett tal ≠ 0
(2) platsbyte mellan två rader
(3) Addition av en multipel av en rad till en annan rad.
Definition 4. Vi säger att två matriser A och B är ekvivalenta, och betecknar A~B, om
matrisen A kan ombildas till B med hjälp av elementära radoperationer.
Definition 5. Matrisens rang definieras som antalet ledande ettor i matrisens
trappstegsform (=antalet ledande ettor i reducerade trappstegsform .
Rang till en matris A betecknas rang(A)
---------------------------------------------------------------------------------------------------Senare i kursen visar man att
Rang (A) = (det maximala antalet linjärt oberoende rader i A) =
= ( det maximala antalet linjärt oberoende kolonner i A )
Anmärkning: Ekvivalenta matriser har samma rang. (Båda kan ombildas till samma
trappstegsform).
Låt AT vara transponatet till matrisen A dvs den matris som vi får genom att skriva
rader i A som kolonner i matrisen AT. Från ovanstående har vi att
Rang (A)= Rang (AT)
ÖVNINGAR:
Uppgift 1. Bestäm rang(A) då
1
a) A = 1

2
2
3
3
0
5
3
4
3

7
1
b) A = 1

2
2
3
2
3
4
6
1
4
0

4 c) A = 

2
8

3
1
1
2
4
1
1

2

4
 1 1 0
 1 1 0
3 4 
 3 4

d)
e) A = 
f) A = 
A=


 2 2 0
5 6
6 8 


 3 3 0
Lösning:
a) Med elementära radoperationer överför vi matrisen A till trappstegsform:
Sida 2 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
1
1

2
1
~ 0

0
2 3 4
3 0 3

5 3 7
2 3
4
1 − 3 − 1

1 − 3 − 1
Matrisens rang.




 rad1 * (−1) + rad2 
 rad1 * (−2) + rad3 








 rad2 * (−1) + rad3 


4
1 2 3

~ 0 1 − 3 − 1


0 0 0
0 
Två ledande ettor i matrisens trappform medför att rang(A)=2.
Svar: a) rang(A)=2
d) rang(A)=1
b) rang(A)=1
e) rang(A)=2
c) rang(A)=2
e) rang(A)=1
Uppgift 2. Bestäm rang(A) för olika värden på parametern p där
1 1 3 4 
1 1 3 4 


b) Låt A = 2 3 p 3 .
a) A = 2 3 p 3




3 4 1 7
3 4 1 1
Lösning:
a)
3
4  1 1
3
4
1 1 3 4 1 1
A = 2 3 p 3 ~ 0 1 p − 6 − 5 ~ 0 1
p−6
− 5

 
 

3 4 1 7 0 1 − 8 − 5 0 0 ( − p − 2) 0 
Vi har följande två fall:
1 1
i) Om p = −2 så är A ~ 0 1

0 0
4
p − 6 − 5 och rang(A)=2

0
0 
3
(två ledande ettor).
1 1
ii ) Om p ≠ −2 kan vi dela sista raden med ( − p − 2) . Då blir A ~ 0 1

0 0
rang(A)=3 (tre ledande ettor).
Svar a: rang(A)=2 om p = −2 ,
rang(A)=3 om p ≠ −2 .
Sida 3 av 4
4
p − 6 − 5 och

1
0 
3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Matrisens rang.
3
4  1 1
3
4
 1 1 3 4  1 1
b) A = 2 3 p 3 ~ 0 1 p − 6 − 5  ~ 0 1
p−6
− 5
 

 

3 4 1 1 0 1 − 8 − 11 0 0 ( − p − 2) − 6
Vi betraktar två fall:
3
4  1 1
3
4
1 1



i) Om p = −2 så är A ~ 0 1 p − 6 − 5 ~ 0 1 p − 6 − 5

 

0 0
0
− 6 0 0
0
1 
och rang(A)=3 (tre ledande ettor).
ii) Om p ≠ −2 kan vi dela sista raden med ( − p − 2) .


3
4 
1 1
Då blir A ~ 0 1 p − 6
− 5  och rang(A)=3


−6 
0 0
1

− p − 2 
Svar b: rang(A)=3 för alla p.
Sida 4 av 4
(tre ledande ettor).