Matriser
Linjär Algebra
F9
Matriser
Pelle
2016-02-11
Pelle
2016-02-11
Matriser
invers ortogonala rang nollrum dimensionssatsen
Matrisinvers
Invers av matris
Den kvadratiska matrisen A är inverterbar
om det finns en matris B så att AB = BA = I .
Matrisen B kallas inversen A−1 till A.
Det finns högst en invers till A.
Sats
Räcker att kontrollera att
AA−1 = I
(då gäller automatiskt att A−1 A = I .)
och vice versa.
Pelle
2016-02-11
Matriser
invers ortogonala rang nollrum dimensionssatsen
Ortogonala matriser
ON-bas
Basen e1 , e2 kallas ortonormerad om
e1 ⊥ e2 (basvektorerna är ortogonala)
|e1 | = |e2 | = 1 (basvektorerna är normerade, längden 1)
En matris kallas ortogonal om kolonnvektorerna utgör en ortonormerad bas.
(Borde hetat ortonormerad matris!)
Sats 7, s 139
Om A är n × n är följande ekvivalenta:
(i) A är ortogonal.
(ii) AT A = I
(iii) AAT = I
(iv) A−1 = AT
Pelle
2016-02-11
Matriser
invers ortogonala rang nollrum dimensionssatsen
Allmänna (m × n) linjära system
För en matris A = (A1 A2 ... An ) definierar vi
kolonnrummet som alla linjärkombinationer av A1 , A2 , ..., An ,
rangen som max antal linjärt oberoende vektorer bland A1 , A2 , ..., An ,
nollrummet som alla lösningar till AX = 0,
nolldimensionen max antal linjärt oberoende lösningar till AX = 0.
Pelle
2016-02-11
Matriser
invers ortogonala rang nollrum dimensionssatsen
Allmänna (m × n) linjära system
Ex 2.
x
0
1 −2 −1 0 1 1
x2
0
0 −1 1 1 −3
x3 =
−1
−4
2
0 2 2
x4
0
0
0
1 2 5
|
{z
} x5
A
Kan även skrivas
1
−2
−1
0
1
0
0
0
−1
1
1 −3
x1
−1 + x2 2 + x3 0 + x4 2 + x5 2 = −4
0
0
1
2
5
0
VL är en linjärkombination av kolonnvektorerna.
Pelle
2016-02-11
Matriser
invers ortogonala rang nollrum dimensionssatsen
Kolonnrummet
Systemet är lösbart om HL kan skrivas som en linjärkombination av
kolonnvektorerna.
Kolonnrummet är alla Y som kan skrivas som en linjärkombination av
kolonnvektorerna A1 , A2 , ..., An i matrisen A = (A1 , A2 , ..., An ).
Dvs. alla Y där vi kan hitta x1 , x2 , ..., xn så att
Y = x1 A1 + x2 A2 + ... + xn An
Med andra ord: Kolonnrummet är alla Y där vi kan hitta en lösning X till
AX = Y .
Pelle
2016-02-11
Matriser
invers ortogonala rang nollrum dimensionssatsen
Rang
Rangen är maximala antalet linjärt oberoende kolloner i A.
Rangen talar om ”hur stor” kolonnrummet är.
Ex. Om rangen är 1 finns bara en linj. ober. vektor i kolonnrummet.
Dvs. kolonnrummet är lika stort som R (en linje).
Om rangen är 2 finns 2 linj. ober. vektorer i kolonnrummet.
Dvs. kolonnrummet är lika stort som R2 (ett plan).
Om rangen är 3 finns 3 linj. ober. vektorer i kolonnrummet.
Dvs. kolonnrummet är lika stort som R3 (ett 3D-rum).
Pelle
2016-02-11
Matriser
invers ortogonala rang nollrum dimensionssatsen
Allmänna (m × n) system
Fortsättning Ex 2. Efter elimination får vi trappsystemet
x
1 −2 −1 0 1 1
0
x2
0
0 −1 1 1 −3
x3 =
0
0
0 1 2
−1
x4
0
0
0 0 0
0
|
{z
} x5
G
Systemet får lösningarna
2
−2
2
x1
x2 0
0
1
x3 = 2 +s −1 +t 0
−2
0
x4 −1
x5
0
1
0
| {z } | {z }
| {z }
| {z }
X
Xp
Pelle
Xh1
2016-02-11
Xh2
Matriser
invers ortogonala rang nollrum dimensionssatsen
Nollrum
Sats 8, s 141
Om systemet AX = Y har en lösning Xp så kan alla lösningar skrivas
Xallm = Xp + Xh
där Xh löser AX = 0.
Nollrummet till A är alla vektorer Xh som uppfyller AXh = 0.
Skillnaden mellan 2 lösningar ligger alltid i nollrummet.
Pelle
2016-02-11
Matriser
invers ortogonala rang nollrum dimensionssatsen
Nolldimension
Nolldimensionen är maximala antalet linjärt oberoende vektorer i
nollrummet.
Nolldimensionen talar om ”hur stor” mängden av lösningar till AX = Y är.
I Ex 2. är nolldimensionen 2 eftersom nollrummet kan skrivas
sXh1 + tXh2
där Xh1 och Xh2 är linjärt oberoende.
Om nolldimensionen istället är 4 kan man skriva den allmänna lösningen till
AX = Y som
X = Xp + t1 Xh1 + t2 Xh2 + t3 Xh3 + t4 Xh4 .
(alltså med 4 parametrar.)
Pelle
2016-02-11
Matriser
invers ortogonala rang nollrum dimensionssatsen
Pivåelement
I Ex 2 fick vi efter elimination matrisen
1 −2 −1
0
0 −1
G =
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
2
0
De röda elementen kallas pivåelement.
Man ser att
antal parametrar i lösningen = antal kolonner i G − antal pivåelement i G
Dvs.
nolldim(A) = antal kolonner i A − antal pivåelement i G
Pelle
2016-02-11
Matriser
invers ortogonala rang nollrum dimensionssatsen
Dimensionssatsen
Lemma 5
Om AX = 0 ⇔ GX = 0, där G har trappform så är
rang(A) = rang(G ).
nolldim(A) = nolldim(G ).
Man ser att rang(G ), dvs. max antal linjärt oberoende kolonner i G , blir
samma som antalet pivåelement i G .
Dimensionssatsen
Antal kolonner i A = rang(A) + nolldim(A).
Pelle
2016-02-11
