Sammanfattning
Föreläsning 5 - Digitalteknik
I boken: avsnitt 3.2 ( -)
Att räkna modulo m samt algebraiska begrepp
Målet med dagens föreläsning är att kunna räkna modulo n samt att lära oss lite algebraiska
begrepp.
Talen modulo m skrivs Zm = {0, 1, 2, . . . , m − 1}.
För denna mängd element denierar vi två operationer ⊕ och ⊗ enligt:
• a ⊕ b = Rm (a + b),
• a ⊗ b = Rm (a · b).
Varje element a har en additiv invers, vilket betyder att det nns ett annat element som vi
betecknar −a, sådant att (−a) + a = 0.
Vissa element a har en multiplikativ invers, vilket betyder att det nns ett annat element som vi
betecknar a−1 , sådant att (a−1 ) · a = 1. Om a har invers kallar vi a för inverterbart eller enhet.
Vi kan nu beskriva vad vi menar med att subtrahera och dividera:
• a − b = a ⊕ (−b),
• a/b = a ⊗ (b−1 ), denierad endast om b är inverterbar.
Bra att veta, b har multiplikativ invers modulo m om och endast om gcd(m, b) = 1.
Den additiva inversen är enkel att hitta, −a = Rm (m − a). Den multiplikativa inversen är
svårare. Lösningen är att använda Bezouts identitet och Euklides algoritm. Använd först Euklides algoritm för att sätta upp ekvationerna som ger gcd(m, b) (som vi vet = 1). Gör sedan
stegen tillbaka via Bezouts identitet för att få fram två tal s, t så att 1 = gcd(m, b) = s · m + t · b.
Slutligen b−1 = Rm (t).
Denition.
(G, +) är en grupp om
(a + b) + c = a + (b + c)
(0 exists)
a+0=a
(−a exists)
a + (−a) = 0
Den kallas dessutom
Abelsk
eller
kommutativ
(associative)
om
a + b = b + a.
Denition.
(R, +, ·) är en ring om (R, +) är en kommutativ grupp samt följande gäller:
(a · b) · c = a · (b · c)
a·1=1·a=a
a · (b + c) = a · b + a · c
(associativ)
(1 existerar)
(distributiv)
(b + c) · a = b · a + c · a
En ring kallas för en
kommutativ ring
om dessutom
a · b = b · a.
(Zm , ⊕, ⊗) är en kommutativ ring.
Ett element a ∈ R har en (unik) multiplikativ invers (kallad enhet), om det nns ett annat
element betecknat a−1 ∈ R så att
aa−1 = a−1 a = 1.
Ett element a ∈ Zm är inverterbart om och endast om m och a är relativt prima, dvs gcd(m, a) =
1.
Denition (3.5).
(F, +, ·) är en kropp om det är en kommutativ ring och dessutom alla element
a 6= 0 är inverterbara.
(Zp , ⊕, ⊗) är en kropp om och endast om p är ett primtal.
Ett heltal p > 1 är ett primtal om och endast om gcd(p, i) = 1, 1 ≤ i < p.
Exempel: Att räkna i Z101 .
13 ⊕ 99
13 − 99
13 ⊗ 37
13/37
=
=
=
=
11
13 ⊕ (−99) = 13 ⊕ 2 = 15
R101 (481) = 77
13 ⊗ 37−1 = 13 · 71 = R101 (923) = 14
Lös ekvationen 37x ⊕ 14 = 88 i Z101 .
Lösning: 37x = 88 − 14 = 74 och sedan x = 74 ⊗ 37−1 = 74 ⊗ 71 = 2.
