Decimalutveckling av rationella tal genom ett
konkret exempel
Torbjörn Tambour
25 april 2016
De flesta viktiga egenskaperna hos decimalutvecklingar av rationella tal kan man
se i konkreta exempel. Det första vi ska göra är dock att undersöka vilka tal
som har avslutade decimalutvecklingar. Lägg märke till att ”decimal” visar att
vi arbetar i bas tio.
Låt oss ta en konkret avslutad utveckling, säg 0.476. Vi har
0.476 =
476
476
119
= 3 3 =
.
1000
2 ·5
2 · 53
Nämnaren är en delare i 1000. Allmänt gäller att ett rationellt tal med avslutad
decimalutveckling har en nämnare som är en delare i någon potens av 10, vilket
betyder att den är av formen 2r 5s . Å andra sidan har tal av formen p/2r 5s
avslutade utvecklingar, vilket man lätt inser med ett exempel:
27
27
27
= 3
= 52 ·
= 52 · 0.027.
40
2 ·5
1000
Nu ska vi studera rationella tal p/q, där gcd(p, q) = 1 och q inte är delbart med
vare sig 2 eller 5, det vill säga gcd(q, 10) = 1. Som konkret exempel ska vi ta
8/13:
8
80
2
2
= 10−1 ·
= 10−1 · 6 +
= 6 · 10−1 + 10−1 · .
13
13
13
13
Den första decimalen i utvecklingen av 8/13 är tydligen 6 och vi ser att 6 är
kvoten och 2 är resten då 10 · 8 divideras med 13. Vi fortsätter:
8
7
−1
−2 20
−1
−2
= 6 · 10 + 10 ·
= 6 · 10 + 10 · 1 +
13
13
13
7
= 6 · 10−1 + 1 · 10−2 + 10−2 · .
13
Den andra decimalen är alltså 1, som är kvoten då 10 · 2 divideras med 13.
1
Resten är 7. Nästa steg är
8
13
=
=
=
70
13
5
6 · 10−1 + 1 · 10−2 + 10−3 · 5 +
13
6 · 10−1 + 1 · 10−2 + 10−3 ·
6 · 10−1 + 1 · 10−2 + 5 · 10−3 + 10−3 ·
5
.
13
Här är 5 kvoten och 5 resten då 10 · 7 divideras med 13. Den tredje decimalen
är alltså 5. Vi fortsätter i lite högre tempo:
8
13
5
13
50
= 0.615 + 10−4 ·
13
=
0.615 + 10−3 ·
=
0.615 + 10−4 · 3 + 10−4 ·
=
0.6153 + 10−5 ·
=
0.6153 + 10−5 · 8 + 10−5 ·
=
0.61538 + 10−6 ·
=
0.61538 + 10−6 · 4 + 10−6 ·
=
0.615384 + 10−6 ·
11
13
110
13
6
13
60
13
8
13
8
.
13
Här kommer räkningarna att börja om, vilket visar att utvecklingen av 8/13
faktiskt är periodisk. Det vi måste göra nu är att förklara varför den är det.
Räkningarna ovan kan sammanfattas så här:
10 · 8
=
6 · 13 + 2
10 · 2
=
1 · 13 + 7
10 · 7
=
5 · 13 + 5
10 · 5
=
3 · 13 + 11
10 · 11
=
8 · 13 + 6
10 · 6
=
4 · 13 + 8
Decimalerna i 8/13 är som vi ser kvoterna i de successiva divisionerna. I ett
visst steg dividerar vi 10 gånger resten i föregående steg med 13. Resterna är
alltid mindre än 13, så förr eller senare måste något tal återkomma som rest
och då börjar räkningarna om. Detta visar varför decimalutvecklingen av 8/13
är periodisk.
2
Vi fortsätter utredningen och lägger märke till att vi har visat ett antal kongruenser:
10 · 8
≡ 2
mod 13
10 · 2
≡ 7
mod 13
10 · 7
≡ 5
mod 13
10 · 5
≡ 11
10 · 11 ≡ 6
10 · 6
≡ 8
mod 13
mod 13
mod 13
Vi kan skriva dem så här i stället:
10 · 8
≡
2
2
10 · 8
≡
10 · 2 ≡ 7
3
10 · 8
≡
5
4
10 · 8
≡
11
105 · 8
≡
6
mod 13
106 · 8
≡
8
mod 13.
mod 13
mod 13
mod 13
mod 13
Av den sista kongruensen ovan följer att 106 ≡ 1 mod 13 eftersom 8 och 13 är
relativt prima. Lägg märke till att den minsta exponenten sådan att 10k ≡ 1
mod 13 måste vara 6, för annars skulle 10k · 8 ≡ 8 mod 13 för någon exponent
k < 6. Med andra ord har 10 ordning 6 modulo 13. Å andra sidan innebär det
faktum att 10 har ordning 6 modulo 13 att 6 är den minsta exponenten sådan
att 106 · 8 ≡ 8 mod 13.
Resonemanget kan genomföras för alla rationella tal p/q, där gcd(p, q) = 1
och gcd(10, q) = 1 och resultatet är att följden av rester är periodisk och att
perioden är lika med ordningen av 10 modulo q. Det följer att följden av kvoter,
det vill säga siffror i utvecklingen, också är periodisk. Av detta följer dock bara
att perioden för kvoterna är en delare i ordningen av 10, men det går att visa
att det råder likhet även här. Vi hoppar över beviset.
Anmärkning: Decimalerna i utvecklingen av till exempel 8/13 är som sagt kvoterna i de successiva divisionerna. Erfarenhetsmässigt vet vi att dessa alltid är
< 10, det vill säga en av siffrorna 1, 2, . . . , 9. Nu kan vi bevisa att det måste
vara så. för säg att vi har 10 · r = 13 · c + r0 i något steg. Nästa decimal är då c
och vi har
10r − r0
10r
r
c=
<
= 10 ·
< 10.
13
13
13
Vad händer om q och 10 har några gemensamma faktorer? Vi tittar på ett
exempel:
3
3
5·3
15
1
1
=
=
= 10−1 ·
= 10−1 · 1 +
= 0.1 + 10−1 · .
14
2·7
5·2·7
7
7
7
3
Så när som på en inledande första decimal 1, så har alltså 3/14 samma utveckling
som 1/7. Ett annat exempel:
3
12
5
5
3
= 2
= 10−2 ·
= 10−2 · 1 +
= 0.01 + 10−2 · ,
175
5 ·7
7
7
7
så utvecklingen av 3/175 börjar med 0.01 och sedan kommer utvecklingen av
5/7.
Vi vet nu att alla rationella tal har periodiska decimalutvecklingar och den
sista frågan är om periodiska utvecklingar alltid representerar rationella tal.
Svaret är ja och det är inte svårt att inse det. Vi tittar på ett par exempel.
Låt a = 0, 151515 . . .. Då är 100a = 15, 151515 . . . = 15 + a, så 99a = 15 och
a = 15/99 = 5/33.
Låt nu b = 0, 73081081081 . . .. Då är 100b = 73, 081081 . . . och 100000b =
73081, 081081 . . ., så (100000 − 100)b = 73081 och b = 73081/99900.
Utvecklingen 0, 999 . . . kan vålla bekymmer första gången elever ser den. Om
vi sätter a = 0, 999 . . ., så har vi 10a = 9, 999 . . . = 9 + a, vilket ger a = 1.
Detta kan se lite mystiskt ut: är inte 0, 999 . . . trots allt lite mindre än 1? Jag
tror att det är bra att använda flera olika sätt för att övertyga elever att a
faktiskt är 1. Här är två sätt till: Att 1/3 = 0, 333 . . . tror de flesta på och om
man multiplicerar båda leden med 3, så får man 1 = 3 · 0, 333 . . . = 0, 999 . . ..
Fungerar inte det heller, så sätt an = 0, 999 . . . 9 där antalet nior är n. Då är
1 − an = 10−n , vilket ju går mot 0 då n går mot oändligheten.
Exemplet 0, 999 . . . visar att vissa tal har två decimalutvecklingar. Detta gäller
närmare bestämt alla tal med avslutade utvecklingar; exempelvis är 0, 753 =
0, 752999 . . .. Frånsett detta är decimalutvecklingar entydigt bestämda.
4
