MATEMATISKA INSTITUTIONEN
STOCKHOLMS UNIVERSITET
Avd. Matematik
Christian Gottlieb
Att diskutera matematik
Tentamensskrivning
21 november 2009
LÖSNINGSANVISNINGAR
SÄKERHETSDEL
1.
2.
1
2
15
26 .
3. 7
1
7
· 22 · 3 · 55 .
√ √
5. 4 3 5
4.
UPPGIFTSDEL
1. Största gemensamma delaren beräknas med Euklides algoritm. Man får SGD(459,
351)=27. Man får dessutom att 459 = 27 · 17 och 351 = 27 · 13.
17
a) Bråket 459
351 kan alltså förkortas till 13 .
b) Vi förlänger det första bråket med 13 och det andra bråket med 17, så blir det
liknämnigt:
1
26
17
9
1
2
−
=
−
=
=
459 351
13 · 27 · 17 17 · 27 · 13
17 · 27 · 13
17 · 3 · 13
2
a) Den principala resten då ett positivt heltal n divideras med ett annat positivt heltal
m är den rest r som uppfyller 0 ≤ r < m, dv.s. den minsta icke-negativa resten.
b) En absolut minsta rest då ett positivt heltal n divideras med ett annat positivt
heltal m är en rest r som har minst absolutbelopp.
c) En äkta delare till ett tal är en delare som varken är 1 eller lika med talet självt.
d) En bisektris till en vinkel är en linje som delar vinkeln i två lika delar.
3. Låt oss börja med att primfaktorera termerna var för sig och därefter bryta ut gemensam faktor: 352 · 15 + 21 · 7000 = (5 · 7)2 · 3 · 5 + 3 · 7 · 7 · 53 · 23 = 3 · 53 · 72 + 3 · 72 · 23 · 53 =
3 · 53 · 72 (1 + 23 ) = 33 · 53 · 72 .
4. Vi räknar modulo 10. Då är 32 ≡ −1 och vi får 357 ≡ (32 )28 · 3 ≡ (−1)28 · 3 ≡ 3 modulo
10. Talets slutsiffra är alltså 3.
5. Vi beräknar först hur många kilometer sträckan är. Det är 4 12 ·1, 6 = 7, 2 km. Eftersom
7,2
· 2, 8 =
4,2 km i verkligheten svara mot 2,8 cm på kartan så svarar 7,2 km mot 4,2
72·2,8
12·2,8
= 1, 2 · 28
42 =
7
7 = 1, 2 · 4 = 4, 8.
6. Vi räknar modulo 3 och får 217 = 48 · 2 ≡ 18 · 2 = 2 modulo 3. Talet 217 + n är alltså
delbart med 3 t.ex. om n = 1 eller allmänt om n har resten 1 vid division med 3.
