Talteori för MM4000 Torbjörn Tambour 25 april 2017 Den här koncentrerade versionen av kapitel 8 i häftet Aritmetik innehåller den talteori som ingår i kursen. I häftet finns en del nödvändigt bakgrundsmaterial om delbarhet, Euklides algoritm med mera. Om du känner dig osäker på det här stoffet, så ska du absolut börja med att repetera avsnitt 8.1, 8.2, 8.4 samt definitionen av kongruens i 8.5. Som i Aritmetik använder vi gcd som beteckning för största gemensam delare (”greatest common divisor”). 1 Inverser modulo n I fortsättningen är n ett heltal > 1. Vi säger att heltalet a är inverterbart modulo n om det finns ett heltal x sådant att ax ≡ 1 mod n. Talet x säges vara en invers till a modulo n. Antag att a är inverterbart mod n och att både x och y är inverser. Då är ax ≡ ay mod n. Multiplicerar vi denna kongruens med x (eller y), så får vi (xa)x ≡ (xa)y mod n och eftersom xa ≡ 1 mod n, så betyder detta att x ≡ y mod n. En invers till a mod n är med andra ord entydigt bestämd modulo n. I fortsättningen kommer vi att tala om inversen till a modulo n i bestämd form och då menar vi den invers x som uppfyller 1 ≤ x ≤ n − 1. Inversen till a betecknas ofta a−1 och precis som i ”vanlig” aritmetik så definierar man till exempel a−m = (a−1 )m för m > 0 och de vanliga potenslagarna gäller. Sats 1. Talet a är inverterbart modulo n om och endast om a och n är relativt prima, det vill säga gcd(a, n) = 1. Bevis. Antag först att a är inverterbart och att x är en invers. Att ax ≡ 1 mod n betyder att ax = 1 + ny för något heltal y. Om gcd(a, n) = d, så ser vi att d delar ax − ny = 1, varför d = 1. Om å andra sidan gcd(a, n) = 1, så finns enligt Euklides algoritm heltal x och y sådana att ax + ny = 1. Men det innebär att ax ≡ 1 mod n. Låt a vara ett tal som är inverterbart mod n och beteckna resten då ak divideras med n med rk . Det finns bara ändligt många oika rester, nämligen talen 0, 1, 2, . . . n−1, så det finns heltal k > j sådana att rk = rj , det vill säga ak ≡ aj 1 mod n. Låt x vara inversen till a modulo n och multiplicera med xj . Eftersom xa ≡ 1 mod n, så har vi xj ak ≡ xj aj j j k−j ≡ xj aj x a a j k−j mod n mod n j ≡ (xa) (xa) a k−j ≡ 1 a mod n mod n. Det finns således tal m > 0 sådana att am ≡ 1 mod n. Det minsta av dessa kallas ordningen av a modulo n och vi ska beteckna den med on (a). Sats 2. Antag att am ≡ 1 mod n för något heltal m. Då gäller on (a) | m. Bevis. Sätt för enkelhets skull d = on (a). Dividera m med d: m = qd + r, där 0 ≤ r < d. Vi har am = aqd+r = aqd · ar = (ad )q · ar och då am ≡ ad ≡ 1 mod n, så ger detta att ar ≡ 1 mod n. Men d är det minsta positiva heltalet sådant att ad ≡ 1 mod n, så r = 0, vilket betyder att m = qd och således att on (a) = d | m. 2 Eulers ϕ-funktion Eulers ϕ-funktion ϕ(n) definieras som antalet positiva heltal a ≤ n sådana att gcd(a, n) = 1, det vill säga som är inverterbara modulo n. Sats 3 (Euler-Fermats sats). Om a är inverterbart modulo n, så gäller att aϕ(n) ≡ 1 mod n. Bevis. Låt c1 , c2 , . . . , cm vara alla positiva heltal ≤ n som är inverterbara mod n, så att m = ϕ(n). Talet a är alltså lika med något ck . Låt vidare rk vara resten då ack divideras med n. Vi påstår först att alla rk är olika. För om rj = rk , så gäller acj ≡ ack mod n och om vi multiplicerar detta med inversen x till a mod n, så får vi x(acj ) ≡ x(ack ) mod n (xa)cj ≡ (xa)ck mod n cj ≡ ck mod n eftersom xa ≡ 1 mod n. Då 1 ≤ ci < n, så ger detta att cj = ck och j = k. Produkten ack är inverterbar mod n, så rk måste vara något av talen 2 c1 , c2 , . . . , cm . Eftersom alla rk är olika, så måste r1 , r2 , . . . , rm vara en permutation av c1 , c2 , . . . , cm . Bilda produkten av alla ack : (ac1 ) · (ac2 ) · . . . · (acm ) ≡ r1 · r2 · . . . · rm mod n am (c1 c2 . . . cm ) ≡ (r1 r2 . . . rm ) mod n am (c1 c2 . . . cm ) ≡ (c1 c2 . . . cm ) mod n där den sista kongruensen följer av att r1 , r2 , . . . , rm är en permutation av c1 , c2 , . . . , cm . Sätt C = c1 c2 . . . cm ; då har vi visat att am C ≡ C mod n. Talet C är inverterbart mod n och om vi multiplicerar med inversen C −1 så får vi (am C)C −1 m a (CC −1 ≡ CC −1 mod n −1 mod n ) ≡ CC am ≡ 1 mod n. Beviset är klart. Om n = p är ett primtal, så gäller för alla tal a med 1 ≤ a < p att gcd(a, p) = 1, varför ϕ(p) = p − 1. Vi får således Sats 4 (Fermats lilla sats). Om p är ett primtal och a inte är delbart med p, så gäller ap−1 ≡ 1 mod p. Om man ska beräkna ϕ(n), så kan man använda följande sats: Sats 5. Om n har primfaktoriseringen n = pk11 pk22 . . . pkmm , där p1 , p2 , . . . , pm är olika primtal, så gäller ϕ(n) = pk11 −1 (p1 − 1)p2k2 −1 (p2 − 1) . . . pkmm −1 (pm − 1) = n(1 − 1/p1 )(1 − 1/p2 ) . . . (1 − 1/pm ). Bevis. Det finns flera olika bevis för det här resultatet och vi väljer ett som använder principen om inklusion-exklusion. Vi genomför det för m = 1 och 2. Antag alltså först att m = 1, så att n = pk för något primtal p. Talet ϕ(n) är antalet positiva heltal a ≤ n sådana att gcd(a, n) = 1. Ett tal har en gemensam faktor med n om och endast om det är delbart med p, så de tal som har en gemensam faktor med n är p, 2p, 3p, . . .. Antalet sådana tal är pk /p = pk−1 , varför ϕ(n) = n − pk−1 = pk − pk−1 = pk (1 − 1/p). Om m = 2, så är n = pk q l , där p och q är olika primtal. Vi börjar med att bestämma antalet tal som har en gemensam faktor med n. Ett sådant tal måste vara delbart med p eller q eller båda. Låt A vara mängden av heltal ≤ n som är 3 delbara med p och B mängden av dem som är delbara med q. Som ovan får vi att |A| = n/p och |B| = n/q. Snittet A ∩ B är mängden av tal som är delbara med både p och q, så |A ∩ B| = n/pq. Enligt principen om inklusion-exklusion gäller |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = n/p + n/q − n/pq. Alltså är ϕ(n) = n − |A ∪ B| = n − (n/p + n/q − n/pq) = n(1 − 1/p)(1 − 1/q). 3 Kinesiska restsatsen Som ytterligare ett exempel på hur man kan använda inverser modulo n ska vi visa hur man kan lösa system av kongruenser: mod m1 x ≡ a1 x ≡ a2 mod m2 .. . x ≡ ar mod mr Det är inte säkert att ett sådant system har lösningar. Exempelvis saknar x ≡ 0 mod 2 x ≡ 1 mod 2 lösningar – ett tal kan ju inte vara både jämnt och udda. Men antag att talen mi är parvis relativt prima, det vill säga att gcd(mi , mj ) = 1 för i 6= j. Sätt M = m1 m2 . . . mr och Mi = M/mi . Då är Mi produkten av alla mj utom mi , så gcd(mi , Mi ) = 1. Låt Ei vara inversen till Mi modulo mi och sätt x = a1 M1 E1 + a2 M2 E2 + . . . + ar Mr Er . Talen M2 , . . . , Mr är delbara med m1 , så termerna ai Mi Ei ≡ 0 mod m1 för i = 2, . . . , r. Vidare är M1 E1 ≡ 1 mod m1 , så x ≡ a1 mod m1 . På samma sätt visar man att x satisfierar de andra kongruensernra också och vi har hittat en lösning. Om y är en annan, så är x ≡ y mod mi för alla i, det vill säga mi | x−y för alla i. Eftersom mi :na är parvis relativt prima, så är då x − y delbart med produkten M = m1 m2 . . . mr . Lösningen till systemet av kongruenser är således entydigt bestämd modulo M . Det faktum att systemet är lösbart och metoden att lösa det kallas tillsammans Kinesiska restsatsen. 4 Övningar 1. Visa att om a och b är inverterbara mod n, så är även ab inverterbart och (ab)−1 = a−1 b−1 . 4 2. Bestäm alla tal som är inverterbara modulo 15 och deras inverser. Bestäm också deras ordningar modulo 15. 3. Visa att ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) om gcd(m, n) = 1. Tips: Använd Sats ??. Är påståendet sant om m och n inte är relativt prima? 4. Här är ett annat bevis för Fermats lilla sats. Visa först att om p är ett primtal, så är binomialkoefficienterna kp delbara med p för 1 ≤ k ≤ p − 1. Använd sedan induktion över a för att visa att p | ap − a, det vill säga ap ≡ a mod p. Hur följer det att ap−1 ≡ 1 mod p om gcd(a, p) = 1? 5. Bestäm det minsta positiva heltal som ger resten 2 vid division med 3, resten 3 vid division med 5 och resten 2 vid division med 7. Den här övningen finns i en bok av den kinesiske matematikern Sun-tzı̈, som levde på 300-talet v.t. Detta kan vara skälet till att satsen kallas Kinesiska restsatsen. 6. Betrakta systemet av kongruenser i avsnittet om Kinesiska restsatsen och låt x0 vara en lösning. Visa att samtliga lösningar ges av xn = x0 + nM , där n ∈ Z. 7. Bestäm alla lösningar till systemet 1 x ≡ x ≡ −2 x ≡ 3 mod 5 mod 7 mod 9 8. Bestäm alla lösningar till systemet 2x ≡ −7 x ≡ 4 5x ≡ 8 mod 9 mod 5 mod 11 5