Examinationsuppgifter, Talteori, TATM54. Blad 0.
n
A 33) a är ett nollskilt heltal, n > m positiva heltal. Visa att största gemensamma faktorn av a2 + 1 och
m
m
a2 + 1 är 1 eller 2. När gäller vilket? Ledning: Om p är ett udda primtal, och p|a2 + 1, så gäller
n
p|a2 − 1.
A 34) n positivt heltal. s(n) = t1 (n) − t3 (n) där t1 (n), t3 (n) är antalet faktorer i n vilka är kongruenta med
1, resp. 3, modulo 4. Visa att s(n) är en multiplikativ funktion. Uttryck (med hjälp av detta faktum)
s(n) i multipliciteterna för ingående primfaktorer kongruenta med 1, resp. 3.
A 35) Visa som uppmjukning att ekvationen φ(n) = 14 är olösbar. Visa sen att φ(n) = 24 har tio lösningar
och bestäm dessa. Svar finns i Rosens bok så jag begär en noggrann systematik för att verifiera att
dessa är de enda.
A 36) Anta att m, n är positiva heltal med (m, n) > 1. Visa att φ(mn) "= φ(m)φ(n), t ex genom att granska
den största gemensamma primfaktorn i m och n.
A 37) Låt h vara en multiplikativ funktion. Sätt vidare g(n) =
f (n) =
!
d|n
h(d) och f (n) =
" n
# $h(k)
k
!
k≤n
g(k) Visa att
k≤n
Visa vidare identiteten
1=
" n
# $µ(k)
k
k≤n
och bestäm summan
"
k≤n
n
φ(k)# $
k
Symbolen #x$ står för heltalsdelen av x, dvs. det största heltalet under x.
A 38) n är ett positivt heltal. Låt B(x) vara antalet m, 1 ≤ m ≤ x med (m, n) = 1. B(n) är den bekanta
φ(n) för vilken du känner ett summauttryck. Hur ska detta modifieras för att passa till det godtyckliga
x? Ledning: studera enkla exempel
och reflektera över vad summaformeln egentligen säger.
!"
A 39) n är ett positivt heltal. Låt 1≤k<n stå för summation över de k för vilka (k, n) = 1. Visa
"
"
k=
1
n · φ(n)
2
"
µ(d) · d
1≤k<n
A 40) Bestäm summorna
a)
d|n
1
b)
"
µ(d)φ(d)
d|n
Svaret kan uttryckas i Euler-funktionen och de olika primfaktorerna i det givna heltalet n ≥ 2. Börja
med primpotenser.
c) Visa att den funna summan s(n) i uppgift a) är Dirichletinvers till funktionen f (n) = n, dvs. att
Dirichletfaltningen (Dirichletprodukten) (s ∗ f )(n) är 1 då n = 1 och 0 annars.
A 41) Anta att
T (n) =
"
d|n
n
dk S( ))
d
för två aritmetiska funktioner S, T . Vad är S(n) uttryckt i T (d), d|n?
A 42) n är ett udda heltal ≥ 3. Vi vill bestämma summan
"
"
S(n) =
k
1≤k≤ 12 (n−1)
(summation över k relativt prima till n). Visa först
"
d|n
n
d · S( ) =
d
"
k,
1≤k≤ 12 (n−1)
en aritmetisk summa. Härur kan S(n) lösas, med hjälp av resultatet i A41 c). Du kan behöva Dirichletproduktens associativitet, övning i Rosen, eller s.22 i Chapter 17.
A 43) p är ett udda primtal. Anta
. Visa
xp ≡ 1 (mod pb )
(mod pa )
x≡1
för 1 ≤ a ≤ b − 1. Ledning: induktion.
n
A 44) Låt p vara en primfaktor i Fermattalet 22 + 1.
a) Visa att 2 har ordningen 2n+1 modulo p (inte mindre).
b) Visa att p = 2n+1 k + 1 för något lämpligt k.
A 45) p ≡ 1 (mod 8) är ett primtal. Visa att polynomet x4 + 1 är en faktor i polynomet xp−1 − 1 och visa
härur (Fermat, Lagrange!) att det har exakt fyra rötter modulo p; här ska alltså existensen av primitiva
rötter inte förutsättas. Uttryck därpå rötterna m h a en primitv rot. Ge åtminstone två exempel.
A 46)
A 47)
a)
b)
c)
a) Lös kongruensen x2 + x + 34 ≡ 0 (mod 3, 9, 27, 81) (fyra uppgifter)
b) Lös samma kongruens modulo 51 och 153.
För vilka högerled är följande kongruenser lösbara?
x6 ≡ y (mod 77)
x6 ≡ y (mod 91)
x7 ≡ y (mod 77)
Handräkning (faktorisera modulerna!)
2
A 48)
a)
b)
c)
d)
Bestäm
Bestäm
Bestäm
Bestäm
alla
alla
alla
alla
lösningar
lösningar
lösningar
lösningar
till
till
till
till
x3
x3
x3
x3
≡8
≡8
≡8
≡ 49
(mod 31)
(mod 961)
(mod 41)
(mod 412 )
A 49) Anknyt till uppgift A28. p är ett udda primtal som inte delar D. Anta att kongruensen
a2 − Db2 ≡ 4
har m lösningar. Vi vill visa att
a2 − Db2 ≡ 4
(mod pn )
(mod pn+1 )
har mp lösningar. Tips: Låt a = x, b = y vara en lösning till den första kongruensen. Visa att det finns
exakt p stycken heltalspar (j, k), modulo p, sådana att a = x + jpn , b = y + kpn är en lösning till den
andra (och att vi erhåller alla lösningar på detta sätt).
A 50) 5 är primitiv rot modulo p = 23, 3 är dito modulo p = 17. Verifiera. Bestäm (med de primitiva rötternas
hjälp) i båda fallen de tal m, (m, p) = 1 för vilka det finns d sådant att md = −1. Jämför resultaten
och förklara skillnaden.
A 51) Betrakta kongruensen X 4 − 15X 2 + 1 ≡ 0 (mod 1)6. Visa att vänsterledet kan delas upp i två
andragradsfaktorer modulo 16. Förklara hur denna faktorisering visar att kongruensen saknar rötter
visa vidare att vänsterledet inte kan delas upp i en lineär och en kubisk faktor. (obs. att 16 inte är ett
primtal !!!) Visa, till sist att vänsterledet inte kan faktoriseras modulo 32.
A 52) Låt p vara ett udda primtal. Visa att
1p−2 + 2p−2 + . . . + (p − 1)p−2 ≡ 0
A 53)
(mod p)
a) Ange en primitiv rot för p = 11, 13, 17, 22, 121, 35. och beskriv därpå, på lämpligt sätt, samtliga.
A 54) Verifiera att 2 är en primitiv rot modulo 29. Bestäm alla lösningar till kongruenserna xm ≡ 1
där m = 7, 14, 21, 4, 12.
(mod 29)
A 55) p är ett udda primtal. Visa (p − 3)! ≡ (p − 1)/2 (mod p).
A 56) p > 5 är ett primtal. Visa att (p − 1)! + 1 har minst två olika primfaktorer. (Wilsons sats ger oss en av
dem).
En möjlig väg kan vara att först bevisa att (p − 1)! är delbart med (p − 1)2 . Anta därpå att (p − 1)! + 1
är en p–potens och härled motsägelse.
A 57) Låt p1 , p2 , . . . , pn vara udda primtal och sätt N = (p1 · . . . · pn )2 + 1. Avgör om N kan vara kvadraten
av ett heltal. En kub? Högre potens?
3
