Examinationsuppgifter, Talteori, TATM54, blad B
Lösningar lämnas i det röda tråget, c:a 2 meter nordväst om mitt rum. inte i mitt postfack!
Lösningarna ska vara välskrivna och läsliga, på ena sidan av varje ark. Jag tar inte emot lösningar per
epost!
B 1)
a) Ange en primitiv rot för p = 11, 13, 17, 22, 121, 35. och beskriv därpå, på lämpligt sätt, samtliga.
Redovisa nödvändiga verifikationer.
B 2) 5 är primitiv rot modulo p = 23, 3 är dito modulo p = 17, 2 är det modulo p = 13. Bestäm (med de
primitiva rötternas hjälp) i de tre fallen de tal m, (m, p) = 1 för vilka det finns d sådant att md ≡ −1
(mod p).
Jämför resultaten och förklara (dvs. generalisera) skillnaden mellan 23 å ena sidan, 13 och 17 å den
andra. Och vad skiljer 13 och 17 inbördes?
B 3) Vi vill lösa kongruensen 2x ≡ 3 (mod 5e ), e ≥ 1. Hensels lemma leder snabbt till ansatsen x =
k0 + k1 5 + k2 52 + . . . ke−1 5e−1 där ki :na enkelt kan bestämmas explicit. Gör det.
B 4)
a) Lös kongruensen x2 + x + 34 ≡ 0 (mod 3, 9, 27, 81) (fyra uppgifter; handräkning, kort lösning
finns)
b) Lös samma kongruens modulo 51 och 25.
c) Lös x2 + x + 5 ≡ 0 (mod 17) och (mod 172 )
Handräkning (med uppbådande av förenklande och förklarande teori!)
B 5)
a) Bestäm alla lösningar till x3 ≡ 8 (mod 31) och x3 ≡ 8 (mod 312 ). Handräkning. Den flrsta
delen kan återföras på en kvadratisk kongruense och tyåtföljande modulära kvadratrotsutdragning,
vilket är den enda accepterade sökningen (går fort!)
b) p udda primtal, d är ett positivt heltal. Beskriv medels primitiva rötter, lösningarna till kongruensen
(med rätt period!), xd ≡ 1 (mod p) och påvisa att de är potenser av en enda rot.
B 6) För
a)
b)
c)
vilka invertibla högerled (dvs. (y, 91)= 1, etc.) är följande kongruenser lösbara?
x6 ≡ y (mod 91)
x7 ≡ y (mod 77)
x5 ≡ y (mod 55)
Svaren ska ges med korrekta perioder; handräkning krävs för den teoretiska förklaringen av dessa.
B 7) . p är ett udda primtal som inte delar D. Anta att kongruensen
a2 − Db2 ≡ 4
1
(mod pn )
har m lösningar. Vi vill visa att
a2 − Db2 ≡ 4
(mod pn+1 )
har mp lösningar. Tips: Låt a = x, b = y vara en lösning till den första kongruensen. Visa att det finns
exakt p stycken heltalspar (j, k), modulo p, sådana att a = x + jpn , b = y + kpn är en lösning till den
andra (och att vi erhåller alla lösningar på detta sätt).
B 8)
Om du gjort uppgift A15: Är 81 den lägsta exponenten med den angivna egenskapen? Motivera noga.
Generalisera.
B 9)
2
a) p är ett udda primtal, p $ |y. Visa att kongruensen xp ≡ y (mod p2 ) är lösbar om xp ≡ y
(mod p2 ) är det.
b) Visa att xp ≡ y (mod p3 ) är lösbar om xp ≡ y (mod p2 ) är det.
2
c) Gäller b) om xp byts mot xp i båda kongruenserna?
B 10) p är ett primtal, q är en primfaktor i p − 1. Vi betraktar de invertibla klasserna modulo p, och vill
ange hur många av dem som har ordning delbar med q. Ange en lämplig överskattning, samt ett enkelt
villkor för likhet i denna.
B 11)
a) y, n är relativt prima heltal, n > 0. Vi vill lösa kongruensen xk ≡ y (mod n). Visa att lösningen
kan ges på formen x ≡ y u (mod n) om och endast om k och ordningen av y modulo n är relativt
prima.
b) Låt n = 29 och betrakta kongruensen x4 ≡ 16 (mod n). Verifiera att lösningarna kan skrivas
x = x0 z k , k ∈ Z (antal?) och att exakt en av dem är av formen y u , y = 16
B 12) Bestäm maximala ordningen av en invertibel klass modulo 1001, samt minst ett element av denna
ordning. Behövliga primitiva rötter kan tas ur en tabell.
B 13) p är ett udda primtal. Visa (p − 3)! ≡ (p − 1)/2 (mod p).
B 14) p > 5 är ett primtal. Visa att (p − 1)! + 1 har minst två olika primfaktorer. (Wilsons sats ger oss en av
dem).
En möjlig väg kan vara att först bevisa att (p − 1)! är delbart med (p − 1)2 . Anta därpå att (p − 1)! + 1
är en p–potens och härled motsägelse.
B 15) Låt p1 , p2 , . . . , pn vara udda primtal och sätt N = (p1 · . . . · pn )2 + 1. Avgör om N kan vara kvadraten
av ett heltal. En kub? Högre potens?
B 16) Vilka av talen 112, 851, 629, 605är summa av två kvadrater? Handräkning. Ge teoretiska förklaringar!
B 17) m är ett positivt udda heltal. Ange en explicit bijektion mellan lösningsparen (x, y) till de diofantiska
ekvationerna x2 + y 2 = m och x2 + y 2 = 2m. Med “explicit” bijektion menar jag en avbildning och dess
invers, och vederbörliga verifikationer.
B 18)
a) Anta att N 3 = a2 + b2 . Visa att även N har en sådan representation.
b) Vi vill visa att den diofantiska ekvationen y 2 = x3 + 7 är olösbar. Addera en etta till båda leden
och visa att inte alla primfaktorer i högerledet kan vara ≡ 1 (mod 4) (faktorisera högerledet!))
2
c) Anta att N = a2 + b2 där a och b är relativt prima. Låt k|N . Visa att även k = c2 + d2 , där c, d
är relativt prima. (antagligen svårt utan faktoriseringsteorin i ringen Z[i])
B 19) Anta a $ |p, p primtal. a ej delbar med p. Visa att kongruensen x2 + y 2 ≡ a (mod p) är lösbar. Tips:
titta på antalet inkongruenta element av typen a − x2 resp. y 2 i jämförelse med antal inkongruenta
element modulo p. Dirichlet rycker i lådorna!
B 20) Skriv 9061 som summa x2 + y 2 , x ≥ y ≥ 0, av två kvadrater, på fyra olika sätt.
Via faktoriseringsteorin i Z[i] kan man visa att antalet sätt är exakt lika med fyra.
Hur många heltalspunkter finns det på cirkeln x2 + y 2 = 9061?
B 21) Det positiva heltalet n kan skrivas på formen e2 + f 2 med relativt prima e, f om och endast om primfaktorn 2 ingår högst en gång och primfaktorer p ≡ 3 (mod 4) inte alls.
Visa nödvändigheten, genom reduktion modulo flera lämpliga tal.
B 22) (forts., men kan lösas oberoende av B21).
Här hjälper du till med tillräckligheten för udda n
a) Låt p = a2 + b2 vara ett primtal ≡ 1 (mod 4). Låt e + if = (a + ib)n , n > 1. Visa först att enda
möjliga gemensamma primfaktorn i e, f är p
b) Visa därpå att e + if ≡ (2bi)n−1 (a + ib) (mod p); slut härur att (e, f ) är relativt prima. Kongruensen ska tolkas som kongruens för realdel och imaginärdel var för sig. Börja med n = 2.
c) Anta till sist att n = (a2 + b2 )(c2 + d2 ) där (a, b) = (c, d) = (a2 + b2 , c2 + d2 ) = 1. Visa att realdel
och imaginärdel i (a + ib)(c + id) är relativt prima.
Ur allt detta följer satsen genom induktion över antalet primfaktorer i n.
B23)
Anta att N = a2 + b2 = c2 + d2 är två olika framställningar av N som summa av två kvadrater.
“Olika” betyder att a2 , b2 $= c2 , d2 . Vi ska visa att N är sammansatt. Visa, t ex m h a omskrivningen
a2 − c2 = d2 − b2 $= 0, och faktoriseringar, att 4N = (e2 + f 2 )(g 2 + h2 ) där e, f, g, h ≥ 1, dra slutsatser.
(med finess kan 4:an undvikas).
Detta bevis är oberoende av satser om entydig faktorisering av komplexa heltal. Kommer du på ett
bättre bevis blir jag glad.
B 24) Låt 4 · P (n) vara antalet lösningspar (x, y) till ekvationen x2 + y 2 = n. Visa, t ex med hjälp av den
komplexa teorin, att P (n) är en multiplikativ funktion, dvs. P (mn) = P (m)P (n) om (m, n) = 1
B 25) Ett inslag i en del klassiska primtalstest är följande: Om
x2 ≡ a2
men
(mod N ),
x $≡ ±a (mod N )
så är N ett sammansatt tal (varför?).
På detta bygger ett test av Euler. Alla bokstäver står för positiva heltal.
Anta D ≥ 2 (fallet D = 1 täcks av annan uppgift.)
a) Visa först att (a2 + Db2 )(c2 + Dd2 ), kan skrivas på formen (m2 + Dn2 ) på två olika sätt.
b) Anta nu att s2 + Dt2 = u2 + Dv 2 = N
är två olika framställningar av talet N på denna speciella form. Visa att (sv)2 ≡ (tu)2 (mod N ), men
sv $≡ ±tu (mod N ). För den senare olikheten, utnyttja a).
N är alltså, under den angivna förutsättningen, ett sammansatt tal.
3
