Institutionen för matematik och statistik
Linjär algebra och matrisräkning II
Övning 1, 8.–12.11.2010
1. Repetitionsuppgift från del I. Låt v1 = [1 2 − 2]T , v2 = [4 3 2]T och v3 = [1 2 1]T vara
vektorer i rummet 3 . Visa, att följden S = (v1 , v2 , v3 ) är en bas för 3 .
"
#
"
#
4/3
5
−2
−3
2. Låt a =
,b=
, c = −1 och d = 6 .
1
1
2/3
−1
!
a·b
a·b
(a) Beräkna
och
a.
a·a
a·a
(b) Bestäm en med vektorn c likriktad enhetsvektor u (det måste alltså gälla kuk = 1).
(c) Visa, att c och d är ortogonala.
3. Låt a, b ∈ . Visa, att
sa,b (x, y) = sa,b
"
# "
#!
x1
y1
,
= ax1 y1 + bx2 y2
x2
y2
(a) definierar en inre produkt i 2 , om a > 0 och b > 0,
(b) inte definierar en inre produkt i 2 , om a 6 0 eller b 6 0.
"
#
" #
−3
2
4. Fortsättning till uppgift 3. Låt a = 3, b = 2, x =
och y =
.
1
9
(a) Konstatera, att Schwarz olikhet och triangelolikheten gäller för vektorerna x och y i
förhållande till inre produkten s3,2 .
(b) Är vektorerna x och y ortogonala i förhållande till inre produkten s3,2 ?
(c) Är vektorerna x och y ortogonala i förhållande till den vanliga inre produkten i planet
2 ?
5. Låt V vara ett inre produktrum och v1 , v2 , u ∈ V. Visa, att om både vektorerna u och v1 och
vektorerna u och v2 är ortogonala, så är vektorerna u och v1 + v2 ortogonala.
6. Fortsättning till uppgift 1.
(a) Bestäm 3 :s ortonormala bas S 0 genom att tillämpa Gram–Schmidts metod på följden
S.
(b) Skriv vektorerna för basen S som en linjärkombination av vektorerna för basen S 0 .
