Matemaattiset apuneuvot I, hösten 2008 Hemövning 3 Returneras senast 19.9. kl: 16.00 till MAPU lådan för de svenskspråkiga övningarna. Skriv assistentens namn på papret! Behandlas Ons. 24.9. w har representationen w = 4i + 6j − 12k i den rätvinkliga standardbasen. 0 0 0 w:s representation i basen {e1 , e2 , e3 }, som kopplar till standardbasen enligt 1. En vektor Bestäm följande. 0 e1 = i + j + k 0 e2 = 2i − j 0 e3 = i − k Är basen 0 {ei } ortonormal? 2. Föreläsarens laserpenna riktar en laserstråle längs vektorn vägg i xy -planet v = −6i + 3j + 4k mot en (se guren 1 på baksidan). Pä väggen nns en apparat som delar laserstrålen i två strålar riktade längs med väggen, som är vinkelräta i förhållande till den ursprungliga strålen riktad längs v. Bestäm enhetsvektorerna för de två delade strålarna. a:s längd är 4 och att vektorn b:s längd är 2. Ytterligare vet vi a − b är vinkelräta mot varandra. Bestäm m.h.a. denna information vektorerna a − 3b och a + b. 3. Vi vet att vektorn att a + 3b längden på och 4. Mot punkten P på ett objekt, riktas en kraft F = (2i − 3j − 6k) N a) Dela upp kraften i en vektor riktad längs vektorn nent vinkelrät mot F:s moment M = r × F. c) Beräkna kraften 5. r = (2i − j) m och en kompo- r. b) Beräkna vinkeln mellan vektorerna produkten (see. g. 2). F och r. i förhållande till punkten 0, d.v.s. beräkna kryss- a) Beräkna arean av parallellogrammet som späns upp av vektorerna 2j + 3k och b = −i + j − 4k. a = i− Hitta enhetsvektorerna som är vinkelräta mot parallellogrammets yta. b) Vi inför en ny vektor b bonus och c c = 5j + 2k i systemet. Tillsammans bildar vektorerna a, en parallellpiped. Beräkna volymen för denna. En 4-dimensionel hyperkub har 16 hörn P1 = (0, 0, 0, 0) P5 = (0, 1, 0, 0) P9 = (1, 0, 0, 0) P13 = (1, 1, 0, 0) P2 = (0, 0, 0, 1) P6 = (0, 1, 0, 1) P10 = (1, 0, 0, 1) P14 = (1, 1, 0, 1) P3 = (0, 0, 1, 0) P7 = (0, 1, 1, 0) P11 = (1, 0, 1, 0) P15 = (1, 1, 1, 0) P4 = (0, 0, 1, 1) P8 = (0, 1, 1, 1) P12 = (1, 0, 1, 1) P16 = (1, 1, 1, 1) Hur många hyperytor (begränsande sidor) har den? (Tips: Med en yta menas här den yta som begränsar objektet från den runtomliggande rymden. En vanlig 3-dimensionel kub t.ex., har 6 ytor, vilka alla är 2-dimensionella (kvadrater). Hurudanna är månne då de ytor som begränsar ett 4-dimensionelt hyperobjekt?). VÄND! ⇒ Hur många diagonaler har en 4-dimensionel hyperkub och vad är längden på en diagonal i den? (Tips: En diagonal är en sådan linje som går mellan kubens hörn via kubens mittpunkt ( 21 , 12 , 21 , 21 ).) Vi betraktar de tre diagonalerna −−−→ −−−→ a = P1 P16 , b = P8 P9 och −−−→ c = P4 P13 . Vi denie- rar den 4-dimensionella rymdens vinklar m.h.a den 4-dimensionella skaläprodukten. Beräkna vinklarna mellan diagonalerna ^(a, b), ^(a, c) och ^(b, c). optinen laite z y v Kuva 1: En laserstråle delar sig i en optisk apparat till två strålar (uppg. 2). F P r O Kuva 2: Kraftens uppdelning i komponenter och kraftens moment (uppg. 4).