Repetition Matriser Matrisinverser
Linjär Algebra
F8
Matriser
Pelle
2016-02-08
Pelle
2016-02-08
Repetition Matriser Matrisinverser
bassatsen
Repetition
Bassatsen
För Rn gäller
varje bas består av n vektorer,
n vektorer bildar en bas, ⇔ de är linjärt oberoende, ⇔
dom spänner upp Rn .
Fler än n vektorer är linjärt beroende.
Färre än n vektorer kan inte spänna upp Rn .
Pelle
2016-02-08
Repetition Matriser Matrisinverser
bassatsen
Kvadratiska linjära ekvationssystem
Sats 3, s 127
Om A är en n × n-matris så är följande påstående ekvivalenta:
kolonnvektorerna i A bildar en bas i Rn ,
systemet AX = 0 har bara den triviala lösningen X = 0,
systemet AX = Y är lösbart för alla Y .
Jämför med bassatsen.
Pelle
2016-02-08
Repetition Matriser Matrisinverser
multiplikation transponat speciella
Repetition
Matrismultiplikation
Om A är n × p och p × m så definieras matrismultiplikationen C = AB
som n × m matrisen med element
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + aip bpj .
Element (i, j) = skalärprodukten mellan rad i och kolonn j.
Exempel
1 2
0 2 4
1·0+2·1 1·2+2·3 1·4+2·5
=
3 4
1 3 5
3·0+4·1 3·2+4·3 3·4+4·5
2 8 14
=
4 18 32
Obs! AB 6= BA för det mesta!
Pelle
2016-02-08
Repetition Matriser Matrisinverser
multiplikation transponat speciella
Transponat och symmetri
Transponat
Transponatet AT av en matris A får man genom att byta plats på rader
och kolonner.
Ex.
1 2 3
4 5 6
T
1 4
= 2 5
3 6
Symmetri
En kvadratisk matris A som uppfyller AT = A är symmetrisk.
Ex.
A=
1 2
2 3
Pelle
1 2
A =
.
2 3
T
2016-02-08
Repetition Matriser Matrisinverser
multiplikation transponat speciella
Räkneregler för transponatet
Sats 2, s 124
(AT )T = A
(A + B)T = AT + B T
(λA)T = λAT (λ är ett tal)
(AB)T = B T AT
Pelle
2016-02-08
Repetition Matriser Matrisinverser
multiplikation transponat speciella
Några speciella matriser
Enhetsmatrisen eller identitetsmatrisen
är en kvadratisk matris I med 1:or på diagonalen och 0:or utanför.
Storleken får bero på sammanhanget.
1 0 0
1 0
Till exempel I =
eller I = 0 1 0.
0 1
0 0 1
om A och B är matriser så gäller IA = A och BI = B.
Nollmatrisen
är en matris 0 med bara 0:or.
Storleken får bero på sammanhanget.
0 0
0 0 0
Till exempel 0 =
eller 0 =
.
0 0
0 0 0
om A och B är matriser så gäller 0A = 0 och B0 = 0.
Pelle
2016-02-08
Repetition Matriser Matrisinverser
motivation definition huvudsatsen räkneregler
Inverser
Ekvation ax = y
Ekvationen ax = y med ett obekant tal x löses genom multiplikation med
a−1 = 1a på båda sidor
a−1 ax = a−1 y
⇔
1x = a−1 y
⇔
IX = A−1 Y
⇔
x = a−1 y .
Matriskvationer AX = Y
Samma ide för matriser
A−1 AX = A−1 Y
Pelle
2016-02-08
⇔
X = A−1 Y .
Repetition Matriser Matrisinverser
motivation definition huvudsatsen räkneregler
Invers av matris
Invers av matris
Den kvadratiska matrisen A är inverterbar
om det finns en matris B så att AB = BA = I .
Matrisen B kallas inversen A−1 till A.
Det finns högst en invers till A.
Bevis för bara en invers.
Om B och C uppfyller BA = AB = I och CA = AC = I så gäller
B = BI = B(AC ) = (BA)C = IC = C .
Pelle
2016-02-08
Repetition Matriser Matrisinverser
motivation definition huvudsatsen räkneregler
Utvidgning av huvudsatsen
Sats 5, s 133
Om A är n × n-matris så är följande påstående ekvivalenta
(a) kolonnvektorerna i A bildar en bas i Rn ,
(b) systemet AX = 0 har bara den triviala lösningen X = 0,
(c) systemet AX = Y är lösbart för alla Y ,
(d) A är inverterbar.
Pelle
2016-02-08
Repetition Matriser Matrisinverser
motivation definition huvudsatsen räkneregler
Räkneregler för inversen
Sats 4, s 130
Räkneregler för inversen. Om A och B är inverterbara gäller
(A−1 )−1 = A,
(AT )−1 = (A−1 )T ,
(AB)−1 = B −1 A−1 .
Sats
Räcker att kontrollera att
AA−1 = I
(då gäller automatiskt att A−1 A = I .)
och vice versa.
Pelle
2016-02-08
